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角 (消歧义) 」。
Unicode 中的角符號，碼位為U+2220 在几何学 中，角 （ jiǎo ） angle ）或精确用语平面角 ，是由两条有公共端点的射线 组成的几何对象。这两条射线叫做角的边 ，它们的公共端点叫做角的顶点 。一般的角會假設在欧几里得平面 上，但在非欧几里得几何 中也可以定義角，特別是在球面幾何學 中的球面角 大圓 的圓弧代替射线。角在几何学 和三角学 中有着广泛的应用。
几何之父欧几里得 曾定义角为在平面 中两条不平行 的直线 的相对斜度。普罗克鲁斯 認為角可能是一種特質、一種可量化的量、或是一種關係。歐德謨 直線 的偏差，安提阿的卡布斯 [ 1]
平面角大小的计量单位制 常用的有360度制 、弧度制 等[ 2] [ 3]
角通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间。图中的角用∠AOB或 A O B ^ {\displaystyle {\widehat {AOB}}}
在數學式中，一般會用希臘字母 （ α , β , γ , θ , φ , . . . {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\theta ,\varphi ,...} π 一般不用來表示角度。
以角的端点为圆心 做圆弧 。由于圆弧的半径 和弧长成正比 ，而角是长度的比例 ，所以圆的大小不会影响角的测量。
角度 角度 在天文学 和全球定位系统 中有重要应用。弧度 圆弧 的长度除以圆的半径，單位是rad（中文名：弳）。弧度在数学 中有广泛的应用。弧度 還是国际单位制 中规定的角的標準度量，但却不是中国法定计量单位，角度 则是角在中国的法定计量单位。採用弧度時，通常不會標示單位，例如： sin π = sin 180 ∘ = 0 {\displaystyle \sin \pi =\sin 180^{\circ }=0} 百分度 角度的量測可以視為弧長s 和半徑r 的比例，再依選用單位乘以一比例係數 2 π n {\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}
θ = n 2 π s r {\displaystyle \theta ={\frac {n}{2\pi }}{\frac {s}{r}}} 例如以上的弧度、角度和百分度，其轉換係數 n {\displaystyle n} 2 π {\displaystyle 2\pi }
以下是一些其他的测量单位，對應不同的 n {\displaystyle n}
圈數或轉數 （ n = 1 {\displaystyle n=1} cyc 、rev 或rot ，不過在每分鐘轉速 （RPM）的單位中，只用一個字母r表示。 直角 （ n = 4 {\displaystyle n=4} 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} 幾何原本 中用的角度單位，直角 = 90 ∘ = π 2 r a d = 1 4 t u r n = 100 g r a d {\displaystyle =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\mathrm {rad} ={\frac {1}{4}}\mathrm {turn} =100\mathrm {grad} } ⌞ {\displaystyle \llcorner } 時角 （ n = 24 {\displaystyle n=24} 天文學 中，是 1 24 {\displaystyle {\frac {1}{24}}} 角分 及角秒 不同，前者大小為後者的十五倍。1時角 = 15 ∘ = π 12 r a d = 1 6 q u a d = 1 24 t u r n ≈ 16.667 g r a d {\displaystyle =15^{\circ }={\frac {\pi }{12}}\mathrm {rad} ={\frac {1}{6}}\mathrm {quad} ={\frac {1}{24}}\mathrm {turn} \approx 16.667\mathrm {grad} } 密位 （ n = 6000 ∼ 6400 {\displaystyle n=6000\sim 6400} 弧度 的角度，有許多不同的定義，其數值從0.05625度到0.06度（3.375至3.6角分），而毫弧度約為0.05729578度（3.43775角分）。在北大西洋公約組織 的國家中，密位定義為圓的 1 6400 {\displaystyle {\frac {1}{6400}}} 2 π 6400 = 0.0009817... ≑ 1 1000 {\displaystyle {\frac {2\pi }{6400}}=0.0009817...\doteqdot {\frac {1}{1000}}} 角分 （ n = 21600 {\displaystyle n=21600} 1 60 {\displaystyle {\frac {1}{60}}} 1 21600 {\displaystyle {\frac {1}{21600}}} 3 + 30 60 {\displaystyle 3+{\frac {30}{60}}} 3 ∘ 5.72 ′ = 3 + 5.72 60 {\displaystyle 3^{\circ }5.72'=3+{\frac {5.72}{60}}} 海里 曾定義為在地球的大圓 上一角分的弧長。角秒 （ n = 1296000 {\displaystyle n=1296000} 1 60 {\displaystyle {\frac {1}{60}}} 3 + 7 60 + 30 3600 {\displaystyle 3+{\frac {7}{60}}+{\frac {30}{3600}}} 以上角的定義均未考慮數值為負的角。不過在一些應用時，會將角的數值加上正負號，以標明是相對參考物不同方向的旋轉。
在二維的笛卡兒坐標系 中，角一般是以x軸的正向為基準，若往y軸的正向旋轉，則其角為正角，若往y軸的負向旋轉，則其角為負角。若二維的笛卡兒坐標系也是x軸朝右，y軸朝上，則逆時針的旋轉對應正角，順時針 的旋轉對應負角。
一般而言， − θ {\displaystyle -\theta } θ {\displaystyle \theta } − 45 ∘ {\displaystyle -45^{\circ }} 360 ∘ − 45 ∘ ( = 315 ∘ ) {\displaystyle 360^{\circ }-45^{\circ }(=315^{\circ })} − 45 ∘ {\displaystyle -45^{\circ }}
在三維的幾何中，順時針及逆時針沒有絕對的定義，因此定義正角及負角時均需列出其參考的基準，一般會以一個通過角的頂點，和角所在平面垂直的向量 為基準。
在導航 時，導向 是以北方為基準，正向表示順時針，因此導向45°對應東北方。導向沒有負值，西北方對應的導向為315°。
除了量測角本身的大小外．也有其他的方式，可以量測角的大小。
坡度 等於一個角的正切值，常用百分比或千分比來表示。當一個角的坡度小於5%時，其坡度近似於角以弧度表示的數值。
在有理幾何學
零角 角度等於0°，或弧度為0的角。 锐角 角度大于0°且小于90°，或弧度大于0且小于 π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 直角 角度等於90°，或弧度为 π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 钝角 角度大于90°且小于180°，或弧度大于 π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} π {\displaystyle \pi } 平角 角度等於180°，或弧度为 π {\displaystyle \pi } 優角或反角 角度大於180°且小於360°，或弧度大於 π {\displaystyle \pi } 2 π {\displaystyle 2\pi } 周角 角度等於360°，或弧度為 2 π {\displaystyle 2\pi } 直角
優角（或作反角）
周角
銳角（a ）、鈍角（b ）和平角（c ）
以下是各角度的名稱及不同單位下的數值：
名稱 零角 銳角 直角 鈍角 平角 優角 周角 單位 範圍 轉 0 {\displaystyle 0} ( 0 , 1 4 ) {\displaystyle (0,{\tfrac {1}{4}})} 1 4 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}} ( 1 4 , 1 2 ) {\displaystyle ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})} 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} ( 1 2 , 1 ) {\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},1)} 1 {\displaystyle 1} 弧度 0 π {\displaystyle 0\pi \,} ( 0 , 1 2 π ) {\displaystyle (0,{\tfrac {1}{2}}\pi )} 1 2 π {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi } ( 1 2 π , π ) {\displaystyle ({\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi )} π {\displaystyle \pi } ( π , 2 π ) {\displaystyle (\pi ,2\pi )} 2 π {\displaystyle 2\pi \,} 度 0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }} ( 0 ∘ , 90 ∘ ) {\displaystyle (0^{\circ },90^{\circ })} 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} ( 90 ∘ , 180 ∘ ) {\displaystyle (90^{\circ },180^{\circ })} 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} ( 180 ∘ , 360 ∘ ) {\displaystyle (180^{\circ },360^{\circ })} 360 ∘ {\displaystyle 360^{\circ }}
令x為該角度數。
有三種特殊角的組合，其度數和均為特殊的值：
餘角 ：當兩個角的度數之和等於90°，即一個直角 ，這兩個角便是餘角。若兩個相鄰的角互為餘角，兩個非共用邊會形成直角。在欧几里得几何 中，非直角的兩角即互為餘角。若角A 和B 互為餘角，以下的數學式會成立： sin 2 A + sin 2 B = 1 cos 2 A + cos 2 B = 1 tan A = cot B sec A = csc B . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}A+\sin ^{2}B&=1\\\cos ^{2}A+\cos ^{2}B&=1\\\tan A&=\cot B\\\sec A&=\csc B\end{aligned}}.} （一角的正切 等於其餘角的餘切 ，一角的正割 等於其餘角的餘割 ） 三角函數中的餘函數 ，其前綴「co-」就是餘角的意思。 補角 ：當兩個角的度數之和等於180°，即一個平角 ，這兩個角便是互補角。若兩個相鄰的角互為餘角，兩個非共用邊會形成一直線。不過兩個不相鄰的角也可以是補角，例如平行四邊形中，任兩鄰角為互補角。圆内接四边形 的對角也是互補角。若點P為圓O外的一點，而過點P作圓的切線，切點分別在點T和點Q，則∠TPQ和∠TOQ為互補角。 兩互補角的正弦相等，其餘弦及正切（若有定義義）大小相等，但符號異號。 在欧几里得几何中，三角形兩角的和為第三角的補角。 explementary angles or conjugate angles. 當兩個角的度數之和等於360°
互為餘角的角a 和角b 圖中的銳角和鈍角形成一組互補角
同頂角 a + b + c = 360 ∘ {\displaystyle a+b+c=360^{\circ }}
直線上的鄰角 a + b + c = 180 ∘ {\displaystyle a+b+c=180^{\circ }}
與平行線有關的定理 當 A E {\displaystyle AE} B D {\displaystyle BD}
a = c {\displaystyle a=c} 同位角 ， A E / / B D {\displaystyle AE//BD} b = d {\displaystyle b=d} 內錯角 ， A E / / B D {\displaystyle AE//BD} b + c = 180 ∘ {\displaystyle b+c=180^{\circ }} 同旁內角 ， A E / / B D {\displaystyle AE//BD} 由角度的關係也可以推得兩直線平行
當 a = c {\displaystyle a=c} A E {\displaystyle AE} B D {\displaystyle BD} 當 b = d {\displaystyle b=d} A E {\displaystyle AE} B D {\displaystyle BD} 當 b + c = 180 ∘ {\displaystyle b+c=180^{\circ }} A E {\displaystyle AE} B D {\displaystyle BD} 二曲線在P點的夾角定義為二曲線在P點切線A 和B 的夾角 曲線和直線的夾角或是二曲線間的夾角定義為二曲線在交點處切線 的夾角。
在欧几里得空间 中，二個向量 u 及v 的角和其點積 及向量的長度有關：
u ⋅ v = cos ( θ ) ‖ u ‖ ‖ v ‖ . {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.} 依上式可以用二個平面（或曲面）的法向量 ，計算二者之間的夾角，也可以根據二歪斜線 的向量計算其夾角。
在一個抽象的實數内积空间 中，在定義角時可以用內積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } · )：
⟨ u , v ⟩ = cos ( θ ) ‖ u ‖ ‖ v ‖ . {\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.} 在複數的内积空间中，為了使餘弦的數值仍維持實數，因此需修改為
Re ( ⟨ u , v ⟩ ) = cos ( θ ) ‖ u ‖ ‖ v ‖ . {\displaystyle \operatorname {Re} (\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle )=\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.} 或者使用絕對值的標示：
| ⟨ u , v ⟩ | = cos ( θ ) ‖ u ‖ ‖ v ‖ . {\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.} 後者不考慮向量的方向，因此是描述由向量 u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} } 子空間 span ( u ) {\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )} span ( v ) {\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}
在黎曼几何 中，利用度量张量 來定義二條切線 之間的夾角，其中U 及V 是切線向量，g ij G 的分量。
cos θ = g i j U i V j | g i j U i U j | | g i j V i V j | . {\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.} 以地理 的觀點，地球上任何一個位置都可以用地理座標系統 來表示，此系統標示位置的經度 及緯度 ，兩者都以此點連至地球球心連線的角度來表示，經度是以格林威治子午線 為參考基準，而緯度是以赤道 為參考基準。
在天文學 中，天球 的一點可以用任何一種天球坐标系统 來表示，不過其基準則因坐标系统不同而不同。天文學量測二顆星星的角距離 時，會假想分別有二顆星星分別和地球 連成的直線，再量測這二條直線的夾角，即為角距離。
天文學家也會用角直徑 量測一物體的表觀大小。例如滿月 的角直徑約為0.5°。小角公式 可以將上述的角測量轉換為距離和大小的比值。
线性（平动）的量 角度（转动）的量 量纲 — L L2 量纲 — — — T 时间 : t s 位移积分 : A m s T 时间 : t s — 距离 : d 位矢 : r s x 位移 m 面积 : A m2 — 角度 : θ 角移 : θ rad 立體角 : Ω rad2 , sr T−1 頻率 : f s−1 Hz 速率 : v 速度 : v m s−1 面積速率 : ν m2 s−1 T−1 頻率 : f s−1 Hz 角速率 : ω 角速度 : ω rad s−1 T−2 加速度 : a m s−2 T−2 角加速度 : α s−2 T−3 加加速度 : j −3 T−3 角加加速度 : ζ s−3 M 质量 : m kg ML2 轉動慣量 : I m2 MT−1 动量 : p 冲量 : J m s−1 , N s 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s ML2 T−1 角动量 : L 角衝量 : ι m2 s−1 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s MT−2 力 : F 重量 : F g kg m s−2 , N 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J ML2 T−2 力矩 : τ moment M kg m2 s−2 , N m 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J MT−3 加力 : Y kg m s−3 , N s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W ML2 T−3 rotatum P kg m2 s−3 , N m s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W
直角
優角（或作反角）
周角
銳角（a）、鈍角（b）和平角（c）
