Decomposizione JSJ

In geometria la decomposizione JSJ è un teorema riguardante le 3-varietà. Il nome è legato alle iniziali dei tre matematici che formularono il teorema alla fine degli anni settanta, e cioè William Jaco, Peter Shalen e Klaus Johannson.

Il teorema garantisce che ogni 3-varietà irriducibile si decompone lungo tori in modo unico. Per questo è anche chiamato teorema di decomposizione lungo tori. Può essere interpretato come una seconda decomposizione, dopo quella lungo sfere garantita dal teorema di Kneser-Milnor. Il teorema è un ingrediente fondamentale nella formulazione della congettura di geometrizzazione di Thurston.

L'enunciato può essere espresso in vari modi diversi. Sia ${\displaystyle M}$ una 3-varietà irriducibile. Tutte le superfici e le mappe menzionate sono supposte differenziabili.

Un toro incompressibile ${\displaystyle T_{0}\subset M}$ è importante se per ogni altro toro incompressibile ${\displaystyle T_{1}\subset M}$ esiste una isotopia che sposta ${\displaystyle T_{1}}$ in un altro toro ${\displaystyle T_{1}'}$ disgiunto da ${\displaystyle T_{0}}$. Qui per isotopia si intende una isotopia della mappa inclusione

${\displaystyle i:T_{1}\hookrightarrow M}$

che trasforma ${\displaystyle i}$ in ${\displaystyle i'}$ con ${\displaystyle i'(T_{1})=T_{1}'}$.

Due tori disgiunti ${\displaystyle T_{1}}$ e ${\displaystyle T_{2}}$ in ${\displaystyle M}$ sono paralleli se sono il bordo di una sottovarietà con bordo di ${\displaystyle M}$ omeomorfa a ${\displaystyle T_{1}\times [-1,1]}$. Il teorema JSJ asserisce il fatto seguente.

Nell'enunciato, per "unicità a meno di isotopia" si intende che due famiglie di questo tipo ${\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{k}}$ e ${\displaystyle T_{1}',\ldots ,T_{h}'}$ hanno la stessa cardinalità ${\displaystyle k=h}$ ed esiste una isotopia ambiente di ${\displaystyle M}$ che sposta contemporaneamente ogni ${\displaystyle T_{i}}$ su ${\displaystyle T_{i}'}$ (a meno di riordinare i tori).

L'enunciato seguente è più noto; fa uso delle varietà di Seifert.

L'unicità è a meno di isotopia, come nell'enunciato precedente. La famiglia qui è però minimale, dove prima era massimale.

• (EN) Jaco, William H.; Shalen, Peter B. Seifert fibered spaces in 3-manifolds. Mem. Amer. Math. Soc. 21 (1979), no. 220,
• (EN) Jaco, William; Shalen, Peter B. Seifert fibered spaces in 3-manifolds. Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), pp. 91-99, Academic Press, New York-London, 1979.
• (EN) Jaco, William; Shalen, Peter B. A new decomposition theorem for irreducible sufficiently-large 3-manifolds. Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Part 2, pp. 71-84, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1978.
• (EN) Johannson, Klaus, Homotopy equivalences of 3-manifolds with boundaries. Lecture Notes in Mathematics, 761. Springer, Berlin, 1979. ISBN 3-540-09714-7

• 3-varietà
• 3-varietà prima
• Congettura di geometrizzazione di Thurston
• Varietà di Seifert

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