Decomposizione di una matrice

In matematica, in particolare in algebra lineare, la decomposizione di una matrice o fattorizzazione di una matrice è la fattorizzazione di una matrice nel prodotto di più matrici. Vi sono diverse decomposizioni matriciali in letteratura, ognuna delle quali associata ad una certa classe di problemi.

• Decomposizione LU
  • Applicabile a: matrici quadrate.
  • Decomposizione: ${\displaystyle A=LU}$, dove ${\displaystyle L}$ è una matrice triangolare inferiore e ${\displaystyle U}$ una matrice triangolare superiore.
• Decomposizione di Cholesky
  • Applicabile a: matrici quadrate, matrici simmetriche, definite positive.
  • Decomposizione: ${\displaystyle A=U^{T}U}$, dove ${\displaystyle U}$ è una matrice triangolare superiore con elementi sulla diagonale positivi.
• Decomposizione QR
  • Applicabile a: matrici di dimensione ${\displaystyle m\times n}$.
  • Decomposizione: ${\displaystyle A=QR}$ dove ${\displaystyle Q}$ è una matrice ortogonale di dimensione ${\displaystyle m\times m}$ e ${\displaystyle R}$ una matrice triangolare superiore di dimensione ${\displaystyle m\times n}$.
• Decomposizione ai valori singolari
  • Applicabile a: matrici di dimensione ${\displaystyle m\times n}$.
  • Decomposizione: ${\displaystyle A=UDV^{H}}$, dove ${\displaystyle D}$ è una matrice diagonale non-negativa, ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle V}$ sono matrici unitarie, e ${\displaystyle V^{H}}$ denota la trasposta coniugata di ${\displaystyle V}$.
• Teorema spettrale
  • Applicabile a: matrici quadrate con autovettori distinti (ma non necessariamente anche distinti autovalori).
  • Decomposizione: ${\displaystyle A=VDV^{-1}}$, dove ${\displaystyle D}$ è una matrice diagonale composta da autovalori di ${\displaystyle A}$ e le colonne di ${\displaystyle V}$ sono i corrispondenti autovettori.
• Forma canonica di Jordan
  • Applicabile a: matrici quadrate.
  • La forma canonica di Jordan generalizza la decomposizione spettrale a casi in cui vi sono autovalori ripetuti e non è possibile effettuare la diagonalizzazione. Vi è inoltre la decomposizione di Jordan-Chevalley, che può essere facilmente descritta quando si conosce la forma canonica di Jordan; a differenza di essa, però, esiste sotto ipotesi più deboli (non richiede la scelta di una base).
• Decomposizione di Schur
  • Applicabile a: matrici quadrate.
  • Decomposizione (versione complessa): ${\displaystyle A=UTU^{H}}$, dove ${\displaystyle U}$ è una matrice unitaria, ${\displaystyle U^{H}}$ è la trasposta coniugata e ${\displaystyle T}$ è una matrice triangolare superiore detta forma di Schur complessa, che possiede gli autovalori di ${\displaystyle A}$ sulla diagonale. Una matrice complessa ammette sempre una decomposizione di Schur.
  • Decomposizione (versione reale): ${\displaystyle A=VSV^{T}}$, dove ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle V^{T}}$ (la trasposta di ${\displaystyle V}$) sono matrici reali. In tal caso ${\displaystyle V}$ è ortogonale, ${\displaystyle S}$ è una matrice triangolare superiore a blocchi detta forma di Schur reale. Una matrice reale ammette una decomposizione di Schur se e solo se posside tutti gli autovalori reali.
• Decomposizione QZ
  • Applicabile a: due matrici quadrate.
  • Decomposizione (versione complessa): ${\displaystyle A=QSZ^{H}}$ e ${\displaystyle B=QTZ^{H}}$ dove ${\displaystyle Q}$ e ${\displaystyle Z}$ sono unitarie, ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle T}$ triangolari superiori.
  • Decomposizione (versione reale): ${\displaystyle A=QSZ^{T}}$ e ${\displaystyle B=QTZ^{T}}$, dove ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle T}$ sono matrici reali. In tal caso ${\displaystyle Q}$ e ${\displaystyle Z}$ sono ortogonali, ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle T}$ triangolari superiori a blocchi.
• Fattorizzazione di Takagi
  • Applicabile a: matrici quadrate, complesse e simmetriche.
  • Decomposizione: ${\displaystyle A=VDV^{T}}$, dove ${\displaystyle D}$ è diagonale e non-negativa e ${\displaystyle V}$ è unitaria.
• Fattorizzazione non-negativa
  • Applicabile a: matrici di dimensione ${\displaystyle m\times n}$ non-negative.
  • Decomposizione: ${\displaystyle A=WH}$, dove ${\displaystyle W}$ e ${\displaystyle H}$ possiedono elementi positivi.
  • La fattorizzazione non negativa è una soluzione, in genere di minimo locale, della funzione obiettivo:

${\displaystyle f(W,H)={\frac {1}{2}}\|A-WH\|_{F}^{2}}$

con i vincoli ${\displaystyle w_{i,j}\geq 0}$ e ${\displaystyle h_{h,k}\geq 0}$.

• Decomposizione polare
• Analisi delle componenti principali

• (EN) Ben Noble e James W. Daniel, Applied linear algebra, Londra, Pearson Education, 1987, ISBN 978-01-30-41260-7. pp. Sect. 9.4–9.5
• (EN) David M. Young e Robert T. Gregory, A survey of numerical mathematics, Dover Pubs, 1989, ISBN 978-04-86-65691-5.
• (EN) Gilbert Strang, Linear algebra and its applications, Boston, Cengage Learning, Inc, 2004, ISBN 978-05-34-42200-4.
• (EN) Josef Stoer e Roland Bulirsch, Introduction to numerical analysis, Berlino, Springer, 1993.
• (EN) Harm Bart, Israel Gohberg e Marinus A. Kaashoek, Minimal factorization of matrix and operator functions, Basilea, Birkhäuser, 1979, ISBN 978-37-64-31139-1.
• (EN) Carl P. Simon e Lawrence E. Blume, Mathematics for Economists, New York, WW Norton & Co, 2010, ISBN 978-03-93-11752-3.

• Autovettore e autovalore
• Diagonalizzabilità
• Fattorizzazione
• Matrice

• matrice, decomposizione di una, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) M. Hazewinkel, Matrix factorization, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• Online Matrix Calculator, su bluebit.gr. URL consultato il 17 aprile 2014 (archiviato dall'url originale il 12 dicembre 2008).
• GraphLab GraphLab collaborative filtering library, large scale parallel implementation of matrix decomposition methods (in C++) for multicore.

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