Simmetria assiale nel piano complesso

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Lo studio della simmetria assiale nel piano complesso viene proposto attraverso alcuni casi particolari.

La simmetria rispetto all'asse delle ascisse ${\displaystyle Ox}$ è la trasformazione:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'={\overline {z}}\end{aligned}}}$

che associa ad ogni numero complesso ${\displaystyle z}$ il suo complesso coniugato ${\displaystyle z'={\overline {z}}}$.

Infatti, scritto il numero complesso in forma trigonometrica, ${\displaystyle z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )}$, si ottiene che

${\displaystyle z'={\overline {z}}=\rho (\cos(-\vartheta )+i\sin(-\vartheta ))=\rho e^{-i\vartheta }}$

che, rappresentato nel piano cartesiano, coincide proprio con il simmetrico di ${\displaystyle z}$ rispetto all'asse delle ascisse ${\displaystyle Ox}$.

Quindi:

passare da un numero complesso ${\displaystyle z}$ al suo coniugato ${\displaystyle {\overline {z}}}$ significa applicare al punto ${\displaystyle P(z)}$ la simmetria rispetto all'asse delle ascisse ${\displaystyle Ox}$.

La simmetria rispetto all'asse delle ordinate ${\displaystyle Oy}$ è la trasformazione:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{y}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=-{\overline {z}}\end{aligned}}}$

che associa ad ogni numero complesso ${\displaystyle z}$ l'opposto del suo coniugato ${\displaystyle z'=-{\overline {z}}}$.

Infatti se ${\displaystyle z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )}$,

${\displaystyle z'=-{\overline {z}}=e^{i\pi }{\overline {z}}=\rho (\cos(-\vartheta +\pi )+i\sin(-\vartheta +\pi ))=\rho e^{i(-\vartheta +\pi )}}$

che, rappresentato nel piano cartesiano, coincide proprio con il simmetrico di ${\displaystyle z}$ rispetto all'asse delle ordinate ${\displaystyle Oy}$

Quindi:

passare da un numero complesso ${\displaystyle z}$ all'opposto del suo coniugato ${\displaystyle -{\overline {z}}}$ significa applicare al punto ${\displaystyle P(z)}$ la simmetria rispetto all'asse delle ordinate ${\displaystyle Oy}$.

La trasformazione

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{y=x}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=i{\overline {z}}\end{aligned}}}$

che associa ad ogni numero complesso ${\displaystyle z}$ il prodotto ${\displaystyle i{\overline {z}}}$ rappresenta la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante ${\displaystyle y=x}$.

Infatti se ${\displaystyle z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )}$, la rappresentazione nel piano cartesiano di

${\displaystyle z'=i{\overline {z}}=e^{i{\pi \over 2}}{\overline {z}}=\rho \left(\cos \left(-\vartheta +{\pi \over 2}\right)+i\sin \left(-\vartheta +{\pi \over 2}\right)\right)=\rho e^{i(-\vartheta +{\pi \over 2})}}$

coincide con il simmetrico di ${\displaystyle z}$ rispetto alla bisettrice ${\displaystyle y=x}$.

Quindi:

passare da un numero complesso ${\displaystyle z}$ al prodotto ${\displaystyle i{\overline {z}}}$ significa applicare al punto ${\displaystyle P(z)}$ la simmetria rispetto alla retta ${\displaystyle y=x}$, bisettrice del primo e del terzo quadrante.

La trasformazione

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{y=-x}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=-i{\overline {z}}\end{aligned}}}$

che associa ad ogni numero complesso ${\displaystyle z}$ il prodotto ${\displaystyle -i{\overline {z}}}$ rappresenta la simmetria rispetto alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante ${\displaystyle y=-x}$.

Infatti se ${\displaystyle z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )}$, la rappresentazione nel piano cartesiano di

${\displaystyle z'=-i{\overline {z}}=e^{i{3 \over 2}\pi }{\overline {z}}=\rho \left(\cos \left(-\vartheta +{3 \over 2}\pi \right)+i\sin \left(-\vartheta +{3 \over 2}\pi \right)\right)=\rho e^{i(-\vartheta +{3 \over 2}\pi )}}$

coincide con il simmetrico di ${\displaystyle z}$ rispetto alla bisettrice ${\displaystyle y=-x}$.

Quindi:

passare da un numero complesso ${\displaystyle z}$ al prodotto ${\displaystyle -i{\overline {z}}}$ significa applicare al punto ${\displaystyle P(z)}$ la simmetria rispetto alla retta ${\displaystyle y=-x}$, bisettrice del secondo e del quarto quadrante.

Dato ${\displaystyle \omega _{0}=2y_{0}i}$, la trasformazione

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{y=y_{0}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'={\overline {z}}+\omega _{0}={\overline {z}}+2y_{0}i\end{aligned}}}$

che associa ad ogni numero complesso ${\displaystyle z}$ il numero complesso ${\displaystyle {\overline {z}}+2y_{0}i}$ rappresenta la simmetria rispetto alla retta ${\displaystyle y=y_{0}}$.

Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione di coniugato, che realizza la simmetria rispetto all'asse delle ${\displaystyle x}$, e la somma di numeri complessi, che realizza la traslazione.

Se ${\displaystyle z=x+iy}$, allora

${\displaystyle {\overline {z}}=x-iy}$

e

${\displaystyle {\overline {z}}+2y_{0}i=x-iy+2y_{0}i=x+i(2y_{0}-y)}$

il che equivale a

${\displaystyle {\begin{cases}x'=x\\y'=2y_{0}-y,\end{cases}}}$

equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta ${\displaystyle y=y_{0}}$.

Quindi:

passare da un numero complesso ${\displaystyle z}$ al numero complesso ${\displaystyle z'={\overline {z}}+2y_{0}i}$ significa applicare al punto ${\displaystyle P(z)}$ la simmetria rispetto alla retta di equazione ${\displaystyle y=y_{0}}$.

Dato ${\displaystyle t=2x_{0}i}$, la trasformazione

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x=x_{0}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=-{\overline {z}}+t=-{\overline {z}}+2x_{0}\end{aligned}}}$

che associa ad ogni numero complesso ${\displaystyle z}$ il numero complesso ${\displaystyle -{\overline {z}}+2x_{0}i}$ rappresenta la simmetria rispetto alla retta ${\displaystyle x=x_{0}}$.

Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione dell'opposto del coniugato, che realizza la simmetria rispetto all'asse delle ${\displaystyle y}$, e la somma di numeri complessi, che realizza la traslazione.

Se ${\displaystyle z=x+iy}$, allora

${\displaystyle {\overline {z}}=x-iy}$

e

${\displaystyle -{\overline {z}}+2x_{0}i=-x+iy+2x_{0}i=(2x_{0}-x)+iy}$

il che equivale a

${\displaystyle {\begin{cases}x'=2x_{0}-x\\y'=y,\end{cases}}}$

equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta ${\displaystyle x=x_{0}}$.

Quindi:

passare da un numero complesso ${\displaystyle z}$ al numero complesso ${\displaystyle z'=-{\overline {z}}+2x_{0}}$ significa applicare al punto ${\displaystyle P(z)}$ la simmetria rispetto alla retta di equazione ${\displaystyle x=x_{0}}$.

• Simmetria assiale
• Traslazione (geometria)
• Traslazione nel piano complesso
• Trasformazione geometrica piana

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