複素共役

数学において、複素共役（複素共軛、ふくそきょうやく、英: complex conjugate）とは、複素数の虚部を反数にした複素数をとる操作（写像）のことである。複素数 z の共役複素数を記号で z で表す^{[注釈 1]}

複素数 z = a + bi（a, b は実数、i は虚数単位）の共役複素数 z は

${\displaystyle {\overline {z}}=a-b\,i}$

である。極形式表示した複素数 z = r(cos θ + i sin θ)（r ≥ 0, θ は実数）の共役複素数 z は、偏角を反数にした複素数である：

${\displaystyle {\overline {z}}=r\{\cos(-\theta )+i\sin(-\theta )\}}$

複素数の共役をとる複素関数 ・ : C → C ; z ↦ z は環同型である。すなわち次が成り立つ。

• z + w = z + w
• zw = z w

複素共役は実数を変えない：

• z が実数 ⇔ z = z

逆に、C 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる^[1][2]。

複素共役変換は、C の全ての点で複素微分不可能である。

複素共役変換を R 上の線型変換と見ると、その表現行列は

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

代数方程式について、

「実係数多項式 P(x) が虚数根 α をもつならば、α の共役複素数 α も P(x) の虚数根である」

すなわち

実係数多項式 P(x) について、P(α) = 0 ⇔ P(α) = 0

が成り立つ（1746年、ダランベール）。このことは、複素共役変換は環準同型であることから容易に示せる。

複素数 z = a + bi（a, b は実数、i は虚数単位）の複素共役とは、

${\displaystyle {\overline {z}}=a-b\,i}$

を取る操作のことである。この写像を複素共役変換という。

複素共役変換は環同型写像である。すなわち、複素共役変換 ・ : C → C ; z ↦ z に対して、次が成り立つ。

• ・ は全単射
• z + w = z + w
• zw = z w

さらに、複素共役は実数を保つ：

• z が実数 ⇔ z = z

逆に、C 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる^[1][2]。

（証明）

σ : C → C は環準同型写像で、

実数 r に対して σ(r) = r

を満たすとする。

(σ(i))² = σ(i²) = σ(−1) = −1

(σ(i) + i)(σ(i) − i) = 0

∴  σ(i) = ±i

ゆえに、複素数 z = x + yi（x, y は実数）に対して、

σ(z) = σ(x + yi) = σ(x) + σ(y)σ(i) = x + y σ(i) = x ± yi

σ(x + yi) = x + yi のとき、σ は恒等写像。

σ(x + yi) = x − yi のとき、σ は複素共役変換である。（証明終）

z, w を複素数とする。以下の性質が成り立つ。

• ${\displaystyle z}$ が実数 ⇔ ${\displaystyle {\overline {z}}=z}$
  • ${\displaystyle z}$ が純虚数 ⇔ ${\displaystyle {\overline {z}}=-z\neq 0}$
• ${\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}}$
  • ${\displaystyle {\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}}$
• ${\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}}$
  • ${\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}\ (w\neq 0)}$
  • ${\displaystyle {\overline {z^{n}}}=({\overline {z}})^{n}}$（n は整数）

上記の3つの性質は、複素共役を特徴付けるため、重要である。

• ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z}$（対合）
• ${\displaystyle |z|=|{\overline {z}}|}$
• ${\displaystyle z{\overline {z}}=|z|^{2}}$
• ${\displaystyle z+{\overline {z}}=2\,\operatorname {Re} z}$
• ${\displaystyle z-{\overline {z}}=2i\,\operatorname {Im} z}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\ (z\neq 0)}$
  • 逆数は、絶対値と共役で表せる。

複素共役を用いると、複素数の実部・虚部、絶対値・偏角を表すことができる。

• ${\displaystyle \operatorname {Re} z={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Im} z={\frac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$
• ${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}$
• ${\displaystyle e^{i\arg z}={\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}}$

実係数多項式 f(x) が虚数根 α をもつならば、α の共役複素数 α も f(x) の根である。すなわち、実数係数多項式 f(x) について

${\displaystyle f(\alpha )=0\iff f({\overline {\alpha }})=0}$

が成り立つ（1746年、ダランベール）。このことは複素共役が環準同型であることから分かる。

複素共役変換 ・ : C → C ; z ↦ z は、C の全ての点で複素微分不可能である。

実軸の開集合上で実数値をとる実解析的関数について、その解析接続は、共役複素数に対して共役複素数を与える。たとえば複素解析において

${\displaystyle \exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}}$

${\displaystyle \log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}}$（ただし実軸のある領域上で実数値をとる分枝の、複素共役について対称的な領域への拡張について）

が成り立つ。

複素線形空間 Cⁿ の標準内積 <・|・> : Cⁿ × Cⁿ → R_≥0 は次の式で定義される：

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n}),{\boldsymbol {y}}=(y_{1},\cdots ,y_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ に対して、

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle :=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}{\overline {y_{i}}}}$

• 黒須康之介『複素数』培風館〈新数学シリーズ 16〉、1959年4月。ISBN 978-4-563-00316-6。 
• 高木貞治「第1章 複素数」『代数学講義』（改訂新版）共立出版、1965年11月25日。ISBN 978-4-320-01000-0。 
• 高木貞治『復刻版 近世数学史談・数学雑談』共立出版、1996年12月10日。ISBN 978-4-320-01551-7。 
• 高橋正明『複素数』（改訂版）科学新興新社〈モノグラフ 9〉、2000年10月21日。ISBN 978-4-89428-166-0。 
• 西山清二『教科書だけでは足りない大学入試攻略複素数平面』河合出版〈河合塾シリーズ〉、2018年3月。ISBN 978-4-7772-1496-9。 

• 『共役複素数』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W. "Complex Conjugates". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Imaginary Numbers". mathworld.wolfram.com (英語).