Hom関手

圏論において、対象の間の射の集合（hom-setともいう）は、集合の圏への関手を構成する。この関手をHom関手（ほむかんしゅ、英語: Hom functor）と呼び、圏論や数学の他の分野で多くの応用を持つ。

C を局所的に小さな圏（英語版）、つまり、任意のhom-クラスが真クラスではなく集合である圏とする。C の中のすべての対象 A と B に対し、次のように集合の圏 Set への関手を定義する。

関手 Hom(_, B) は、B の点の関手（英語版）（英語: functor of points）とも呼ばれる。関手のペア Hom(A, _) と Hom(_, B) は自然な方法で関係付けられる。任意の射のペア f : B → B' と h : A' → A に対して、次の図式が可換となる。

2つの経路は g : A → B を f∘g∘h : A' →B' に写す。

上の図式の可換性は、Hom(_, _) が C × C から Set への、第1変数について反変で第2変数について共変である双関手（英語版）であることを示している。すなわち、Hom(_, _) は双関手$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,\_):C^{\mathrm {op} }\times C\to \mathbf {Set} }$$である。C^op は C の逆圏である。関手が圏 C からのものであることを強調するために、Hom_C (_, _) という記号が使われることもある。

上の可換図式を見ると、すべての射 h : A' → A は自然変換$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (h,\_):\mathop {\mathrm {Hom} } (A,\_)\to \mathop {\mathrm {Hom} } (A',\_)}$$を与え、すべての射 f : B →B' は自然変換$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,f):\mathop {\mathrm {Hom} } (\_,B)\to \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,B')}$$を与える。米田の補題は、Hom関手の間のすべての自然変換はこの形であると主張する。言い換えると、Hom関手は、圏 C から関手圏 Set^Cop への埋め込みとなる充満かつ忠実な関手を与える。

圏 C 上の関手が、Set ではなく圏 C 自身に値を持ち、Hom のような振る舞いをする関手を持っているかもしれない。そのような関手は内部Hom関手と呼ばれ、しばしば

${\displaystyle \left[\_,\_\right]:C^{\mathrm {op} }\times C\to C}$

と書かれたり、$${\displaystyle {\mathord {\Rightarrow }}:C^{\mathrm {op} }\times C\to C}$$と書かれたりする。あるいは、単に小文字のみで

${\displaystyle {\text{hom}}(\_,\_):C^{\text{op}}\times C\to C}$

と書かれることもある。例としてはen:Category of relationsなどを参照。内部Hom関手を持つ圏は、閉圏（英語版）と呼ばれる。

閉圏の単位対象を I とする。このとき、次の同型が成り立つ。$${\displaystyle {\text{Hom}}(I,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)}$$閉モノイダル圏の場合には、これはカリー化の概念へ拡張される。すなわち、

${\displaystyle {\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)}$

である。ここで ${\displaystyle \otimes }$ はモノイダル圏の定義によって与えられる内部積関手である。同型は X と Z の双方で自然である。言い換えると、閉モノイダル圏では、内部Hom関手は内部積関手の随伴関手である。対象 ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$ を内部Homと呼ぶ。${\displaystyle \otimes }$ がデカルト積 ${\displaystyle \times }$ であるとき、対象 ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$ を指数対象と呼び、${\displaystyle Z^{Y}}$ と書くこともある。

内部Homは、圏の内部言語（英語版）と呼ばれる言語を形成する。最も有名なものには、デカルト閉圏の内部言語である単純型付きラムダ計算や、対称モノイダル閉圏の内部言語である線形型システム（英語版）がある。

• 次の形の関手は前層である：$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,A):C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$$同様に、Hom(A, _) の形の関手は余前層である。

• 関手 F : C → Set がある Hom(A, _) と自然に同型であるとき、F は表現可能関手であるという。同様に、Hom(_, A) に自然同型な関手は余表現可能と呼ばれることもある。

• 関手 Hom(_, _) : C^op × C → Set は定義からプロファンクタ（英語: Profunctor）であり、特に恒等プロファンクタ ${\displaystyle {\text{id}}_{C}\colon C\nrightarrow C}$ である。

• 内部hom関手は極限を保存する。すなわち、hom(X, _) : C → C は極限を極限へ写し、同様に hom(_, X) : C^op → C は C^op の極限（すなわち C の余極限）を C の極限に写す。ある意味では、このことは極限や余極限の定義として採用することもできる。

• A をアーベル圏、A を A の対象とすると、Hom_A (A, _) は、A からアーベル群の圏 Ab への左完全共変関手である。この関手が完全であることと、A が射影的対象であることとは同値である^[1]。

• R を環、M を左 R-加群とする。関手 Hom_R (M, _) : Mod-R → Ab は、テンソル積関手 _ ⊗_R M : Ab → Mod-R の右随伴関手である。

• Ext関手
• 関手圏
• 表現可能関手

1. ^ Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.

• Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8 
• Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Revised ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&id=3 2009年11月25日閲覧。 
• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. 2 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7 

• Hom functor at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/show/hom-functor
• Internal Hom at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/search?query=Internal+Hom

表 話 編 歴 圏論
主要項目	圏 射 エピ モニック 図式 可換図式 自然変換 圏同値 反対圏 始対象と終対象 普遍性 米田の補題 双対 極限 帰納極限 射影極限 積 余積 像 余像 等化子 余等化子 トポス 核 余核 引き戻し モナド Kan拡張
関手	加法的 完全 充満 随伴 対角 忠実 導来 表現可能 本質的全射 Hom関手
具体的圏	関手圏 前加法圏 集合の圏 マグマの圏 群の圏 アーベル群の圏 擬環の圏 環の圏 加群の圏 ベクトル空間の圏 多元環の圏 位相空間の圏 距離空間の圏 多様体の圏
圏の類	完備圏 コンマ圏 部分圏 モノイド閉圏 デカルト閉圏 アーベル圏 導来圏 クライスリ圏 デカルトモノイド圏
一般化	豊穣圏 2-圏 圏の圏
人物	ソーンダース・マックレーン サミュエル・アイレンベルグ アレクサンドル・グロタンディーク ウィリアム・ローヴェア ハインリッヒ・クライスリ
関連分野	代数幾何学 普遍代数 ホモロジー代数
関連項目	『圏論の基礎』
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