ある時計をリファレンスの時計と比較するとする。リファレンスの時計がτ 進む間に、時計がyτ 進むとする。ここでy は時計の相対的な周波数の平均値である。図のように、二つの連続した期間の測定をすることで、(y − y ′)2 が得られる。この値が小さいほどこの時計が安定である。これを繰り返し、(y − y ′)2 の平均値を得ると、それが平均化時間τ のアラン分散の2倍となる。 アラン分散 (Allan variance )は、時計 、発振器 、アンプ における周波数安定度を表す指標である。名前はDavid W. Allanに由来し、数学的には σ y 2 ( τ ) {\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )} と表される。 アラン偏差 (Allan deviation )は、アラン分散の平方根である σ y ( τ ) {\displaystyle \sigma _{y}(\tau )} である。
アラン分散は統計的な安定度を推定するためのものであり、周波数ドリフトなどの系統的な誤差を推定するものではない。また、アラン分散には、修正アラン分散をはじめとするいくつかの派生形がある。
時計のアラン偏差の例。平均化時間τ が小さい時は、τ が増えるにつれてノイズがならされ、アラン偏差が減少している。さらにτ を増加させると、アラン偏差は増加に転じる。これは時計の周波数がドリフトしていることを示している。 水晶発振器 や原子時計 の安定性が調べられていた頃、位相ノイズにはホワイトノイズ のみならず、フリッカー周波数ノイズも存在しているとわかった。これらのノイズの形は、推定値が収束しないため、標準偏差 などの伝統的な統計ツールでは扱いが難しい。安定性を分析する初期の取り組みは、理論的な分析と実用的な測定の両方から行われた。[1] [2]
この問題を解決するため、David AllanはM-サンプル分散を導入し、間接的にアラン分散(2-サンプル分散)を導入した。アラン分散では、全ての種類のノイズを見分けることはできないが、有意義な情報が得られる。IEEE はのちに、M-サンプル分散よりもアラン分散(2-サンプル分散)の方が望ましいとみなした。[3]
振動と位相ノイズ [ 編集 ] 振動は以下の式で表される。
V ( t ) = V 0 sin ( Φ ( t ) ) . {\displaystyle V(t)=V_{0}\sin(\Phi (t)).} 位相は以下のように表される。
Φ ( t ) = ω n t + φ ( t ) = 2 π ν n t + φ ( t ) . {\displaystyle \Phi (t)=\omega _{\text{n}}t+\varphi (t)=2\pi \nu _{\text{n}}t+\varphi (t).} ν n {\displaystyle \nu _{\text{n}}} は基準となる周波数を表し、 φ ( t ) {\displaystyle \varphi (t)} は位相ノイズを表す。
周波数 [ 編集 ] 瞬間的な周波数は、位相の時間微分で表される。
ν ( t ) = 1 2 π d Φ ( t ) d t . {\displaystyle \nu (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\Phi (t)}{dt}}.} 規格化された周波数偏差 [ 編集 ] 瞬間的な周波数の、基準となる周波数からの偏差を規格化して、以下の量を定義する。
y ( t ) = ν ( t ) − ν n ν n = ν ( t ) ν n − 1. {\displaystyle y(t)={\frac {\nu (t)-\nu _{\text{n}}}{\nu _{\text{n}}}}={\frac {\nu (t)}{\nu _{\text{n}}}}-1.} 規格化された周波数偏差の時間平均 [ 編集 ] 規格化された周波数偏差の時間平均は以下のように定義される。
y ¯ ( t , τ ) = 1 τ ∫ 0 τ y ( t + t v ) d t v , {\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(t+t_{v})\,dt_{v},} ここでτ は平均化時間を表す。
アラン分散 [ 編集 ] n番目の周波数偏差を以下のように表すとする。
y ¯ n = y ¯ ( n τ , τ ) {\displaystyle {\bar {y}}_{n}={\bar {y}}(n\tau ,\tau )} アラン分散は以下のように定義される。
σ y 2 ( τ ) = 1 2 ⟨ ( y ¯ n + 1 − y ¯ n ) 2 ⟩ {\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{n+1}-{\bar {y}}_{n}\right)^{2}\right\rangle } ただし、 ⟨ ⋯ ⟩ {\displaystyle \langle \dotsm \rangle } は期待値を表す。
アラン偏差 [ 編集 ] 標準偏差 と分散 の関係と同様に、アラン偏差はアラン分散の平方根として定義される。
σ y ( τ ) = σ y 2 ( τ ) . {\displaystyle \sigma _{y}(\tau )={\sqrt {\sigma _{y}^{2}(\tau )}}.} べき乗ノイズ [ 編集 ] アラン分散は、さまざまなべき乗ノイズ を見分けることができる。[4] [5] [6] [7]
べき乗ノイズに対するアラン分散 変調の種類 パワースペクトル密度(位相ノイズ) S x ( f ) {\displaystyle S_{x}(f)} パワースペクトル密度(周波数ノイズ) S y ( f ) {\displaystyle S_{y}(f)} アラン分散 σ y 2 ( τ ) {\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )} 白色位相変調 1 ( 2 π ) 2 h 2 f 0 {\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{2}}}h_{2}f^{0}} h 2 f 2 {\displaystyle h_{2}f^{2}} 3 f H 4 π 2 h 2 τ − 2 {\displaystyle {\frac {3f_{H}}{4\pi ^{2}}}h_{2}\tau ^{-2}} フリッカー位相変調 1 ( 2 π ) 2 h 1 f − 1 {\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{2}}}h_{1}f^{-1}} h 1 f 1 {\displaystyle h_{1}f^{1}} 3 [ γ + ln ( 2 π f H τ ) ] − ln 2 4 π 2 h 1 τ − 2 {\displaystyle {\frac {3[\gamma +\ln(2\pi f_{H}\tau )]-\ln 2}{4\pi ^{2}}}h_{1}\tau ^{-2}} 白色周波数変調 1 ( 2 π ) 2 h 0 f − 2 {\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{2}}}h_{0}f^{-2}} h 0 f 0 {\displaystyle h_{0}f^{0}} 1 2 h 0 τ − 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}h_{0}\tau ^{-1}} フリッカー周波数変調 1 ( 2 π ) 2 h − 1 f − 3 {\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{2}}}h_{-1}f^{-3}} h − 1 f − 1 {\displaystyle h_{-1}f^{-1}} 2 ln ( 2 ) h − 1 τ 0 {\displaystyle 2\ln(2)h_{-1}\tau ^{0}} ランダムウォーク周波数変調 1 ( 2 π ) 2 h − 2 f − 4 {\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{2}}}h_{-2}f^{-4}} h − 2 f − 2 {\displaystyle h_{-2}f^{-2}} 2 π 2 3 h − 2 τ 1 {\displaystyle {\frac {2\pi ^{2}}{3}}h_{-2}\tau ^{1}}
アラン分散は、白色位相ノイズとフリッカー位相ノイズを見分けることができない。一方で、修正アラン分散ではこれらを見分けることができる。
線形応答 [ 編集 ] アラン分散は、位相や周波数に乗るノイズを見分けるためのものである。一方で、位相や周波数の線形な変化に対して依存性を示すことがある。
アラン分散の線形応答 Linear effect 時間応答 周波数応答 アラン分散 位相のオフセット x 0 {\displaystyle x_{0}} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 周波数のオフセット y 0 t {\displaystyle y_{0}t} y 0 {\displaystyle y_{0}} 0 {\displaystyle 0} 周波数の線形ドリフト D t 2 2 {\displaystyle {\frac {Dt^{2}}{2}}} D t {\displaystyle Dt} D 2 τ 2 2 {\displaystyle {\frac {D^{2}\tau ^{2}}{2}}}
上の表より、アラン分散は、位相や周波数に定数のオフセットがついても変化しないが、周波数が線形に変化すると影響を受ける。[6]
関連項目 [ 編集 ] ^ Cutler, L. S.; Searle, C. L. (February 1966), “Some Aspects of the Theory and Measurements of Frequency Fluctuations in Frequency Standards” , Proceedings of the IEEE 54 (2): 136–154, doi :10.1109/proc.1966.4627 , オリジナル の2022-10-09時点におけるアーカイブ。, https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://wwwusers.ts.infn.it/~milotti/Didattica/Segnali/Cutler&Searle_1966.pdf ^ Leeson, D. B (February 1966), “A simple Model of Feedback Oscillator Noise Spectrum” , Proceedings of the IEEE 54 (2): 329–330, doi :10.1109/proc.1966.4682 , オリジナル の1 February 2014時点におけるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20140201231407/http://ccnet.stanford.edu/cgi-bin/course.cgi?cc=ee246&action=handout_download&handout_id=ID113350669026291 2012年9月20日 閲覧。 ^ “Definitions of physical quantities for fundamental frequency and time metrology – Random Instabilities”. IEEE STD 1139-1999 . (1999). doi :10.1109/IEEESTD.1999.90575 . ISBN 978-0-7381-1753-9 . ^ J. A. Barnes, A. R. Chi, L. S. Cutler, D. J. Healey, D. B. Leeson, T. E. McGunigal, J. A. Mullen, W. L. Smith, R. Sydnor, R. F. C. Vessot, G. M. R. Winkler: Characterization of Frequency Stability , NBS Technical Note 394, 1970. ^ J. A. Barnes, A. R. Chi, L. S. Cutler, D. J. Healey, D. B. Leeson, T. E. McGunigal, J. A. Mullen, Jr., W. L. Smith, R. L. Sydnor, R. F. C. Vessot, G. M. R. Winkler: Characterization of Frequency Stability , IEEE Transactions on Instruments and Measurements 20, pp. 105–120, 1971. ^ a b Bregni, Stefano: Synchronisation of digital telecommunication networks , Wiley 2002, ISBN 0-471-61550-1 . ^ NIST SP 1065: Handbook of Frequency Stability Analysis .