ヤコビの三重積 (ヤコビのさんじゅうせき、Jacobi triple product)とは、次の恒等式をいう。
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+2{\pi }inv}}=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300a0e4e4089cd502e2e6fa3d6091d535d48a226)
但し、
とする。この恒等式はヤコビによるテータ関数の研究から生まれたものであるが、
と置くことにより
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{q^{n^{2}}z^{n}}=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}z\right)\left(1+q^{2m-1}z^{-1}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09f047fdcabb3f7157a15184fddbcfe03d2b5e02)
或いは、
と置くことにより
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{q^{n(n+1)}z^{n}}=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m}z\right)\left(1+q^{2m-2}z^{-1}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e3ae63287bc471f03371e0f02b92ef27281c6f)
となり、数論にも適する形になる。カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビが1829年の著書 Jacobi (1829)で示した。
左辺を
、右辺を
と置き、まず、右辺が疑二重周期を持つことを示す。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta (v+1,\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+2{\pi }i(v+1)}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-2{\pi }i(v+1)}\right)}\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}\right)}\\&=\Theta (v,\tau )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9deb6ccc13cc5c6f0c8e979bbf6726b2bfa7ac3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta (v+\tau ,\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m+1){\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-3){\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}\right)}\\&={\frac {1+e^{-{\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}}{1+e^{{\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}}}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}\right)}\\&={\frac {e^{-{\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}+1}{1+e^{{\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}}}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}\right)}\\&=e^{-{\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}\Theta (v,\tau )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aefe66f5da3dd93f601f5abb02ff2ec8cac605c)
により
であるから、右辺の零点は
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}\right)&=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb745ac5ef89f150483f1b2e24007bfccf700b0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+2e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\cos {2{\pi }v}+e^{2(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)&=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f548bfd84930cc844eac0c15e385de2533487089)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {2{\pi }v}&=-{\frac {e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}+e^{-(2m-1){\pi }i{\tau }}}{2}}\\\cos {2{\pi }v}&={\frac {e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+{\pi }i}+e^{-(2m-1){\pi }i{\tau }-{\pi }i}}{2}}\\2{\pi }v&=\left((2m-1){\pi }{\tau }+{\pi }\right)\pm 2{\pi }n\\v&={\frac {1+\tau }{2}}+n'+m'{\tau }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb3532817550347ec79dd1d23ac53573d6577dee)
に限られる。一方、左辺は
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (v+1;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+2{\pi }in(v+1)}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+2{\pi }inv}}\\&=\vartheta (v;\tau )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94bad79336a524edb6a51faa6006c1ceb904bc8e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (v+\tau ;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+2{\pi }in(v+\tau )}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }(n+1)^{2}-{\pi }i{\tau }+2{\pi }i(n+1)v-2{\pi }iv}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}-{\pi }i{\tau }+2{\pi }inv-2{\pi }iv}}\\&=e^{-{\pi }i\tau }e^{-2{\pi }i{v}}\vartheta (v;\tau )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9051776c9dc1e68f17f3569602d1e01ac987749)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}({\frac {1+\tau }{2}};\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+2{\pi }in({\frac {1+\tau }{2}})}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-1)^{n}e^{{\pi }i{\tau }(n+{\frac {1}{2}})^{2}-{\frac {1}{4}}{\pi }i{\tau }}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}e^{{\pi }i{\tau }(n+{\frac {1}{2}})^{2}-{\frac {1}{4}}{\pi }i{\tau }}}+\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n+1}e^{{\pi }i{\tau }(-n-1+{\frac {1}{2}})^{2}-{\frac {1}{4}}{\pi }i{\tau }}}\\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0df1500642265c6d80a40e96220918031c8ab1)
であるから、右辺と同じ準二重周期を持ち、少なくとも右辺が零点を持つところに悉く零点を持つ。従って、リウヴィルの定理により、
![{\displaystyle c(\tau ,v)={\frac {\vartheta (v,\tau )}{\Theta (v,\tau )}}={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+2{\pi }inv}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352581cb4f7e2b38e4fd74390e530dfdf490429f)
は
に依存しない。
![{\displaystyle {\begin{aligned}c\left(\textstyle {\frac {1}{2}},\tau \right)&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+{\pi }in}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+{\pi }i}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-{\pi }i}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-1)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757b48ba10b9cfb84f2ca487dc4bae84a3f5693b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}c\left(\textstyle {\frac {1}{4}},\tau \right)&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+{\pi }in/2}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+{\pi }i/2}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-{\pi }i/2}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-i)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+ie^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)\left(1-ie^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-i)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(4m-2){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-i)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{4m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(4m-2){\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(4m-2){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-i)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{4m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-i)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{8m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09706f1de062d3ce3cb28ec3552c28917f66bca)
分子の級数においてnが奇数の項は正負で打ち消しあうから2nをnに置き換える。
![{\displaystyle {\begin{aligned}c\left(\textstyle {\frac {1}{4}},\tau \right)&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-1)^{n}e^{4{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{8m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\&=c\left(\textstyle {\frac {1}{2}},4\tau \right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f62dcd782342adf30088cec40425e519cd3764d)
は
に依存しないから
![{\displaystyle c\left(v,4\tau \right)=c\left(v,\tau \right)=\lim _{n\to \infty }c\left(v,4^{-n}\tau \right)=\lim _{\tau '\to 0}c\left(v,\tau '\right)=c(v,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1948227b4dcf2d67fb0d14de6c140b762b38f8d2)
であり、
は
にも依存しない定数である。
として
を得る。結局、両辺は等しい。
ヤコビの三重積はラマヌジャンの和公式の特殊な場合である。ラマヌジャンの和公式
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {b}{a}};q\right)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(b;q)_{\infty }\left({\frac {b}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{\infty }}}\qquad (|q|<1,|b/a|<|z|<1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7584fda3ecac5df41dbd1a43977c0fcf9e491f34)
はq二項定理から導かれる。ラマヌジャンの和公式に
を代入すると
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(a;q)_{n}z^{n}={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left(q/az;q\right)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }\left(q/a;q\right)_{\infty }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce78994dd0bccd0c3c489f001be80b717e3b5e99)
となり、
を
と書き、
を
と書けば
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(a;q^{2})_{n}\left(-{\frac {qz}{a}}\right)^{n}={\frac {(-qz;q^{2})_{\infty }(q^{2};q^{2})_{\infty }\left(-q/z;q^{2}\right)_{\infty }}{(-qz/a;q^{2})_{\infty }\left(q^{2}/a;q^{2}\right)_{\infty }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7d9cb9caa0c5ed005f13c8c75864a3ea6929f8)
となる。qポッホハマー記号の変換式
![{\displaystyle \left(aq^{-n+1};q\right)_{n}=\left(-a\right)^{n}q^{-n(n-1)/2}\left({\frac {1}{a}};q\right)_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182413beb4d9064e3830240e473ab77149a2b158)
により、左辺は
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a;q^{2})_{n}\left(-{\frac {qz}{a}}\right)^{n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(aq^{2n-2}q^{-2n+2};q^{2})_{n}\left(-{\frac {qz}{a}}\right)^{n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-aq^{2n-2})^{n}q^{-2n(n-1)/2}(1/aq^{2n-2};q)_{n}\left(-{\frac {qz}{a}}\right)^{n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}z^{n}(1/aq^{2n-2};q)_{n}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf8559b29f6137a84c34bae6838f45b1f56c673)
であるから、
の極限を取れば
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}z^{n}=(-qz;q^{2})_{\infty }(q^{2};q^{2})_{\infty }\left(-q/z;q^{2}\right)_{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfc99067b50e66d6944c803a772686e22159cf5f)
となり、qポッホハマー記号を展開して
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}z^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{2m})(1+q^{2m-1}/z)(1+q^{2m-1}z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dea7a10e7eebbfb17f268961237f97e8da9ee50)
を得る。
Jacobi (1829)の原証明は冪級数の操作のみを用いている。まず
![{\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)=&(1-x^{2})(1-x^{4})(1-x^{6})\cdots ,\\R(x,z)=&(1+xz)(1+x^{3}z)(1+x^{5}z)\cdots ,\\S(x,z)=&{\frac {1}{(1-xz)(1-x^{2}z)(1-x^{3}z)\cdots }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edac2c64d8b293e430fa3a04e614ef0f65c604da)
とおく。ヤコビの三重積は
であらわされる。
まず
について、
![{\displaystyle R(x,zx^{2})=(1+x^{3}z)(1+x^{5}z)(1+x^{7}z)\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bdcd75a23668c8bd778555e64bcf0b11d8f17d4)
より
![{\displaystyle R(x,z)=(1+xz)R(x,zx^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81afe69163aa0bfa8238d3f26dbf692a77cb0343)
が成り立つ。そこで
![{\displaystyle R(x,z)=1+a_{1}(x)z+a_{2}(x)z^{2}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9739e17b22b69797661c3681e6523b585a0185)
とおくと
![{\displaystyle (1+a_{1}(x)z+a_{2}(x)z^{2}+\cdots )=(1+xz)(1+a_{1}(x)x^{2}z+a_{2}(x)x^{4}z^{2}+\cdots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e1d0ca651d007e30e07722e622a7f8dcb6978bf)
より
![{\displaystyle a_{n}(x)=a_{n}(x)x^{2n}+a_{n-1}(x)x^{2n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a438db4d928c1d911dd7038972f8a7164e7e0a9f)
つまり
![{\displaystyle a_{n}(x)={\frac {a_{n-1}(x)x^{2n-1}}{1-x^{2n}}},a_{0}(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4768bbdd7b3b303993903798b05f3553feafa44b)
が成り立つ。この漸化式を解くと
![{\displaystyle a_{n}(x)={\frac {x^{n^{2}}}{(1-x^{2})(1-x^{4})\cdots (1-x^{2n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d0e81472a6538924f7b0c90623939bd959d633b)
が得られる。
次に
について、
![{\displaystyle S(x,zx)={\frac {1}{(1-x^{2}z)(1-x^{3}z)(1-x^{4}z)\cdots }}=(1-xz)S(x,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98464c20f646b7c9619f47aa52008bd783fac67b)
が成り立つ。そこで
![{\displaystyle S(x,z)=1+{\frac {b_{1}(x)z}{1-xz}}+{\frac {b_{2}(x)z^{2}}{(1-xz)(1-x^{2}z)}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8111714d11eccb4a4af5cb32e2557c6dc865d809)
とおくと
![{\displaystyle {\begin{aligned}S(x,z)=&{\frac {S(x,zx)}{1-xz}}\\=&{\frac {1}{1-xz}}\left(1+{\frac {b_{1}(x)xz}{1-x^{2}z}}+{\frac {b_{2}(x)x^{2}z^{2}}{(1-x^{2}z)(1-x^{3}z)}}+\cdots \right)\\=&{\frac {1}{1-xz}}+{\frac {b_{1}(x)xz}{(1-xz)(1-x^{2}z)}}+{\frac {b_{2}(x)x^{2}z^{2}}{(1-xz)(1-x^{2}z)(1-x^{3}z)}}\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84bed58b0b18deadcc64d79e5489e368459a742d)
であるが
![{\displaystyle {\frac {b_{m}(x)x^{m}z^{m}}{(1-xz)(1-x^{2}z)\cdots (1-x^{m+1}z)}}={\frac {b_{m}(x)x^{m}z^{m}}{(1-xz)(1-x^{2}z)\cdots (1-x^{m}z)}}+{\frac {b_{m}(x)x^{2m+1}z^{m+1}}{(1-xz)(1-x^{2}z)\cdots (1-x^{m+1}z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e61f6d62e677549745ee3dad05b6744cf44ade5)
より
![{\displaystyle b_{n}(x)=b_{n}(x)x^{n}+b_{n-1}x^{2n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c9c2bf7b0e7425b05de0bcdb6ebd06999ad2c5)
つまり
![{\displaystyle b_{n}(x)={\frac {b_{n-1}(x)x^{2n-1}}{1-x^{n}}},b_{0}(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb60d6b5546a23c9ae7d854fb2b181dd5649cb3)
が成り立つ。この漸化式を解くと
![{\displaystyle b_{n}(x)={\frac {x^{n^{2}}}{(1-x)(1-x^{2})\cdots (1-x^{n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0552295c68ea24b5542ce7e873f96e3f32deb3)
が得られる。
さて、ヤコビの三重積の冪級数展開を得たいが、代わりに
の冪級数展開について考える。
![{\displaystyle R(x,z)R(x,z^{-1})=(1+a_{1}(x)z+a_{2}(x)z^{2}+\cdots )(1+a_{1}(x)z^{-1}+a_{2}(x)z^{-2}+\cdots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e288ec18ff59f081aa2f1d9e69c4a49d3ef37840)
より
を冪級数展開したときの
および
の係数は共に
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{m}(x)+a_{m+1}(x)a_{1}(x)+a_{m+2}(x)a_{2}(x)+\cdots \\=&a_{m}(x)\left(1+{\frac {x^{2m+2}}{(1-x^{2})(1-x^{2m+2})}}+{\frac {x^{4m+8}}{(1-x^{2})(1-x^{4})(1-x^{2m+2})(1-x^{2m+4})}}+\cdots \right)\\=&a_{m}(x)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k^{2}}}{(1-x^{2})(1-x^{4})\cdots (1-x^{2k})}}\times {\frac {x^{2km}}{(1-x^{2m+2})(1-x^{2m+4})\cdots (1-x^{2(m+k)})}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe85ac4d96cd95cfc055f6dd4c164234f75b252)
に一致するが、これは、上記の
の展開より
![{\displaystyle {\begin{aligned}=&a_{m}(x)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {b_{k}(x^{2})x^{2km}}{(1-x^{2m+2})(1-x^{2m+4})\cdots (1-x^{2(m+k)})}}\\=&a_{m}(x)S(x^{2},x^{2m})\\=&{\frac {x^{m^{2}}}{(1-x^{2})(1-x^{4})\cdots (1-x^{2m})\times (1-x^{2m+2})(1-x^{2m+4})\cdots }}\\=&{\frac {x^{m^{2}}}{(1-x^{2})(1-x^{4})\cdots }}\\=&{\frac {x^{m^{2}}}{Q(x)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a899b73b87b027259f259ed941437d5bfbffd5)
に一致する。よって
![{\displaystyle Q(x)R(x,z)R(x,z^{-1})=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x^{m^{2}}z^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49726fc52368dac0d0317a86c7affa77d46e8cf7)
が成り立つ。
- Jacobi, C. G. J. (1829) (Latin), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, Königsberg: Borntraeger, ISBN 978-1-108-05200-9, Reprinted by Cambridge University Press 2012, https://archive.org/details/fundamentanovat00jacogoog
- Andrews, G. E. (1965), A simple proof of Jacobi's triple product identity, American Mathematical Society, https://www.ams.org/journals/proc/1965-016-02/S0002-9939-1965-0171725-X/
- Carlitz, L (1962), A note on the Jacobi theta formula, American Mathematical Society, https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183524930
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