페르마 수

페르마 수(영어: Fermat Number)는 음이 아닌 정수 n에 대해

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$

형태로 나타나는 양의 정수를 말한다. 이러한 형태의 수를 최초로 연구한 피에르 드 페르마의 이름을 딴 것이다.

최초 여덟개의 페르마 수는 다음과 같다(OEIS의 수열 A000215):

F₀ = 2¹ + 1 = 3

F₁ = 2² + 1 = 5

F₂ = 2⁴ + 1 = 17

F₃ = 2⁸ + 1 = 257

F₄ = 2¹⁶ + 1 = 65537

F₅ = 2³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417 (오일러, 1732)

F₆ = 2⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F₇ = 2¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

• 1. n>1인 경우, 어떤 페르마 수의 약수를 p라고 하면, ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {8}}}$이다.
• 2. 페르마 수들은 3과 5를 제외하면 모두 7로 끝난다.
• 3. 1번과 마찬가지로 n>1인 경우, 어떤 페르마 수의 약수를 p라고 하면 ${\displaystyle p=k\cdot 2^{n+2}+1}$ (k는 k>0인 정수)이다.

2ⁿ + 1 꼴의 수가 소수라면 n은 반드시 2의 거듭제곱이어야 한다. 따라서 2ⁿ + 1 꼴의 소수는 모두 페르마 수가 된다. 이러한 소수를 페르마 소수라고 한다. 현재까지 알려진 페르마 소수는 F₀,...,F₄ 뿐이다. 보통 어떤 수가 페르마 소수인지 확인할 때에는 페팽 소수판별법이 많이 쓰인다.

n > 4인 페르마 소수는 아직 알려져 있지 않다. 그밖에도 다음과 같은 의문은 해결되지 않고 있다.

• n > 4인 F_n이 모두 합성수인가?
• 페르마 소수가 무한히 많은가?
• 합성수인 페르마 수가 무한히 많은가?

5 ≤ n ≤ 32 사이의 모든 F_n은 합성수라는 것이 밝혀졌다. 이 중 5 ≤ n ≤ 11 사이의 수만이 완전한 소인수분해가 구해져 있다.

페르마 수 F_n 에 대하여 현재의 소수성 상태의 적요가 아래 표에 주어져 있다.^[1]

피에르 드 페르마는 1637년 위 형태로 쓸 수 있는 모든 정수는 소수일 것이라고 추측했으나 1732년 레온하르트 오일러가 F₅=4,294,967,297를 641 × 6,700,417 로 소인수분해 함으로써 반증^[2] 되었다.

한편, n이 2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수의 곱들로 표현가능하다는 것과, 정n각형은 작도 가능하다는 것이 필요충분조건이다. 즉, 다시 말해서 ${\displaystyle p_{1},p_{2},\cdots ,p_{k}}$가 모두 서로 다른 페르마 소수일 경우 ${\displaystyle n=2^{m}p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}$이면 정n각형은 작도 가능한 정다각형이 되고 그 역도 성립한다.

• 메르센 소수
• 작도