Mersennepriemgetal

In de wiskunde is een mersennepriemgetal een priemgetal van de vorm ${\displaystyle 2^{n}-1}$, met ${\displaystyle n}$ een natuurlijk getal.

Getallen ${\displaystyle M_{n}}$ van de vorm

${\displaystyle M_{n}=2^{n}-1}$

worden mersennegetallen genoemd. In sommige definities wordt geëist dat de exponent ${\displaystyle n}$ een priemgetal is.^[1] Mersennegetallen zijn genoemd naar de Franse wiskundige Marin Mersenne, die deze getallen in de 17e eeuw voor het eerst onderzocht.

Als ${\displaystyle M_{n}}$ een mersennepriemgetal is, is de exponent ${\displaystyle n}$ zelf ook een priemgetal. Immers:

${\displaystyle 2^{ab}-1=(2^{a}-1)\left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\ldots +2^{(b-1)a}\right)}$

Tabel van het vermoeden van Mersenne: ${\displaystyle n\leq 263}$

P: ${\displaystyle M_{n}}$ is priem —: ${\displaystyle M_{n}}$ is samengesteld Mersenne had gelijk. Hij had het fout.
${\displaystyle n}$	2	3	5	7	11	13	17	19
${\displaystyle M_{n}}$	P	P	P	P	—	P	P	P
${\displaystyle n}$	23	29	31	37	41	43	47	53
${\displaystyle M_{n}}$	—	—	P	—	—	—	—	—
${\displaystyle n}$	59	61	67	71	73	79	83	89
${\displaystyle M_{n}}$	—	P	—	—	—	—	—	P
${\displaystyle n}$	97	101	103	107	109	113	127	131
${\displaystyle M_{n}}$	—	—	—	P	—	—	P	—
${\displaystyle n}$	137	139	149	151	157	163	167	173
${\displaystyle M_{n}}$	—	—	—	—	—	—	—	—
${\displaystyle n}$	179	181	191	193	197	199	211	223
${\displaystyle M_{n}}$	—	—	—	—	—	—	—	—
${\displaystyle n}$	227	229	233	239	241	251	257	263
${\displaystyle M_{n}}$	—	—	—	—	—	—	—	—

Mersenne beweerde in 1644 dat ${\displaystyle p=M_{n}}$ priem is als ${\displaystyle n=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257}$, maar dat ${\displaystyle p}$ een samengesteld getal is wanneer ${\displaystyle n}$ een van de andere priemgetallen, kleiner dan 257, is. Mersenne zat er wat betreft bovenstaande rij vijf keer naast. ${\displaystyle M_{67}}$ en ${\displaystyle M_{257}}$ zijn geen priemgetallen, terwijl ${\displaystyle M_{61}}$, ${\displaystyle M_{89}}$ en ${\displaystyle M_{107}}$ dit juist wel zijn.

Het grootste bekende priemgetal is sinds 1952 een mersennepriemgetal, met uitzondering van de periode van 1989 tot 1992 toen een ander getal was gevonden.^[2] Er wordt met GIMPS door distributed computing, over internet, naar nieuwe priemgetallen gezocht. Het is in 1996 begonnen en sinds 2005 zijn alle nieuwe grootste priemgetallen, steeds mersennepriemgetallen, met GIMPS gevonden. Het grootst bekende priemgetal is in oktober 2024 gevonden: het is 2^{136 279 841}-1. Het was het 52e mersennepriemgetal dat is gevonden.^[3]

De drie kleinste mersennepriemgetallen zijn

${\displaystyle M_{2}=3,\ M_{3}=7,\ M_{5}=31}$

Hoewel mersennegetallen ${\displaystyle M_{p}}$ alleen priem kunnen zijn als ${\displaystyle p}$ ook een priemgetal is, zijn er mersennegetallen ${\displaystyle M_{p}}$ die geen priemgetal zijn, terwijl ${\displaystyle p}$ dat wel is.

Het kleinste tegenvoorbeeld is het mersennegetal

${\displaystyle M_{11}=2^{11}-1=2047=23\times 89}$

Het ontbreken van een duidelijke regel om te bepalen of een gegeven mersennegetal een priemgetal is maakt de zoektocht naar mersennepriemgetallen een interessante taak, die, aangezien mersennegetallen zeer snel groeien, heel snel zeer moeilijk wordt. De Lucas-Lehmertest voor mersennegetallen is een efficiënte priemgetaltest, die wordt gebruikt om te bepalen of een mersennegetal ook een mersennepriemgetal is. Deze test is eenvoudiger uit te voeren dan testen voor andere typen van getallen. Het grootst bekende priemgetal is daarom vrijwel altijd een mersennepriemgetal.

Er is een verband tussen mersennepriemgetallen en perfecte getallen. Perfecte getallen zijn getallen waarbij de som van de delers gelijk is aan het getal zelf. Als namelijk ${\displaystyle 2^{n}-1}$ een priemgetal is, dan is ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ een perfect getal. Het omgekeerde geldt ook: ieder, in ieder geval even, perfect getal kan worden geschreven als ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ waarbij ${\displaystyle n}$ een priemgetal is en ${\displaystyle 2^{n}-1}$ een mersennepriemgetal.

Voorbeeld: voor ${\displaystyle n=3}$ geldt dat ${\displaystyle 2^{n}-1=7}$ een priemgetal is, en ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)=2^{2}(2^{3}-1)=4\times 7=28}$ een perfect getal is.

Toepassingen van mersennepriemgetallen liggen in beveiliging van gegevens met behulp van encryptie en in het genereren van toevalsgetallen, dat gaat met de mersennetwister.

Er zijn op dit moment 52 mersennepriemgetallen bekend, het laatste en het grootste is in oktober 2024 gevonden.