Krumlinjete koordinater

Krumlinjete koordinater er koordinatsystem hvor en eller flere av koordinatlinjene er krumme. På samme måte vil også en eller flere av koordinatflatene ha krumning. For å angi punkter på Jordens overflate benyttes for eksempel lengdegrad og breddegrad, som er slike koordinater. I astronomien bruker man på tilsvarende vis forskjellige himmelkoordinater.

Krumlinjete koordinater kan benyttes i euklidske rom hvor bestemte symmetriforhold gjør det naturlig og dermed tillater en enklere, matematisk beskrivelse. Et eksempel er utledningen av Keplers lover for planetbevegelse under påvirkning av tyngdekraften fra Solen. Dette gjøres enklest i kulekoordinater, da tyngdekraften bare avhenger av avstanden og derfor er symmetrisk om alle sentrale akser. På samme måte benyttes disse koordinatene i atomfysikken, hvor elektronene beveger seg i Coulomb-potensialet fra atomkjernen. For et molekyl som består av to atomer vil derimot polarkoordinater være naturlige, da molekylet kun har symmetri om aksen som forbinder atomene.

I ikke-euklidske rom beskrevet ved riemannsk geometri, er slike koordinater påkrevet. Dette gjelder på krumme flater og i Einsteins generelle relativitetsteori. Den forklarer hvordan det firedimensjonale tidrommet er krummet av den masse og energi som det inneholder. Moderne kosmologi er derfor beskrevet i slike koordinatsystem.

Krumlinjete koordinater kan defineres i et euklidsk rom ved å uttrykke de tre kartesiske koordinater x^m = (x,y,z) som ikke-lineære funksjoner av tre nye parametre x^μ = (x¹,x²,x³). Skrives dette som x^m = x^m(x^μ), må disse koordinattransformasjonene være «invertible» i et lokalt område av rommet, slik at man også kan beregne de inverse transformasjonene x^μ = x^μ(x^m). For eksempel, når man benytter polarkoordinater

${\displaystyle x=r\cos \theta \,}$

${\displaystyle y=r\sin \theta ,\,}$

i et todimensjonalt plan, så er den inverse transformasjonen

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,}$

${\displaystyle \theta =\arcsin {y \over r}}$

gyldig i halvplanet x > 0. I det andre halfplanet finnes en tilsvarende, invers transformasjon.

Hvis de kartesiske basisvektorene kalles for e_m , hvor den latinske indeksen m tar like mange verdier som dimensjonen på rommet, kan et vilkårlig punkt i rommet angis ved «posisjonsvektoren» r = x e_x + y e_y +z e_z. Vektorrommet har en euklidsk metrikk, og basisvektoren har per definisjon et indreprodukt

${\displaystyle \mathbf {e} _{m}\cdot \mathbf {e} _{n}=\delta _{mn}}$

uttrykt ved Kronecker-deltaet på høyre side. Ved bruk av Einsteins summekonvensjon, som sier at man alltid skal summere over to like indekser i et matematisk uttrykk, kan posisjonsvektoren mer kompakt skrives som r = x^m e_m. På den måten er dens form uavhengig av hvor mange dimensjoner rommet har. Indeksen til den kartesiske koordinaten x^m kunne like godt stått nede, men det er hensiktsmessig å la den stå oppe.

Når man varierer bare én av koordinatene x^μ  i ligningene x^m = x^m(x^μ ), beskriver de koordinatlinjen for denne koordinaten. Da koordinattransformasjonene er ikke-lineære, vil dette i alminnelighet være en krum kurve. I hvert punkt kan man nå velge å bruke tangentvektorene e_μ = ∂r/∂x^μ til disse koordinatlinjene som nye, lokale basisvektorer. Brukes det kartesiske uttrykket for posisjonsvektoren r, blir

${\displaystyle \mathbf {e} _{\mu }={\partial x^{m} \over \partial x^{\mu }}\mathbf {e} _{m}}$

når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over like indekser. Denne krumlinjete basisen vil derfor være forskjellig fra punkt til punkt, gitt ved matrisen A^m_μ = ∂x^m/∂x^μ  som er Jacobi-matrisen for transformasjonen. Lokalt i hvert endelig område av rommet kan den inverse matrisen (A^-1)^μ_m = ∂x^μ/∂x^m  finnest.

I en liten omegn om et punkt kan man nå uttrykke enhver vektor V  ved sine komponenter på denne lokale basisen. Det betyr at V = V^m e_m = V^μ e_μ  hvor

${\displaystyle V^{\mu }={\partial x^{\mu } \over \partial x^{m}}V^{m}}$

Disse nye komponentene sies å være kontravariante, da de transformerer på motsatt vis sammenlignet med basisvektorene e_μ. Alle vektorer skal ha komponenter som transformerer på denne måten. Men dette betyr også at i dette koordinatsystemet er ikke lenger posisjonsvektoren r noen vektor, ettersom den ikke innfrir denne betingelsen. For separasjonen mellom to nære punkt gjelder derimot d r = dx^m e_m = dx^μ e_μ  hvor

${\displaystyle dx^{\mu }={\partial x^{\mu } \over \partial x^{m}}dx^{m}}$

Derfor er den differensielle separasjonen d r en ekte vektor.

Avstanden ds  mellom to nærliggende punkt separert med vektoren d r  følger fra ds² = d r⋅d r = e_μ⋅e_νdx^μdx^ν. Dette «differensielle linjeelementet» kan derfor skrives som

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$

hvor g_μν = e_μ⋅e_ν er komponentene til den metriske tensoren som må benyttes for slike krumlinjete koordinater. Tilsammen utgjør de en matrise med elementer som følger direkte fra transformasjonsligningene,

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\partial x^{m} \over \partial x^{\mu }}{\partial x^{n} \over \partial x^{\nu }}\delta _{mn}}$

Endelige avstander mellom forskjellige punkter i rommet må beregnes fra linjeelementet ved integrasjon. Den korteste avstanden mellom to punkt er en geodetisk kurve. Den tilsvarer en rett linje i det euklidske rommet.

Metrikken kan også benyttes til å beregne volumer i krumlinjete koordinater. Har rommet tre dimensjoner, betraktes først et lite parallellepiped definert ved de infinitesimale vektorene e₁dx¹, e₂dx²  og e₃dx³  langs koordinatlinjene gjennom et punkt. Volumet av dette er da gitt ved trippelproduktet

${\displaystyle dV=(\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})\cdot \mathbf {e} _{3}\,dx^{1}dx^{2}dx^{3}}$

Men fra transformasjonsligningene for basisvektorene følger at trippelproduktet her kan uttrykkes ved determinanten til Jacobi-matrisen, (e₁×e₂)⋅e₃ = det(A^m_μ). Dette igjen er forbundet til metrikken via det(g_μν) = det(A^m_μ)det(A^m_ν)  ved å bruke regelen for beregning av determinanten til produktet av matriser. På den måten blir det differensielle volumelementet

${\displaystyle dV={\sqrt {g}}\,dx^{1}dx^{2}dx^{3}}$

ved å bruke den mer kompakte notasjonen g = det(g_μν). Dette resultatet kan generaliseres til å være gyldig i rom med et vilkårlig antall dimensjoner.

I polarkoordinater r = r cosθ e_x + r sinθ e_y  finnes de transformerte basisvektorene ved direkte derivasjon,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{r}&={\partial \mathbf {r} \over \partial r}=\cos \theta \,\mathbf {e} _{x}+\sin \theta \,\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{\theta }&={\partial \mathbf {r} \over \partial \theta }=-r\sin \theta \,\mathbf {e} _{x}+r\cos \theta \,\mathbf {e} _{y}\\\end{aligned}}}$

Indreproduktene gir de metriske komponentene g_rr = e_r⋅e_r = 1, g_θθ = e_θ⋅e_θ = r² og g_rθ = g_θr = e_r⋅e_θ = 0. Basisvektorene står derfor vinkelrett på hverandre slik at den metriske matrisen er diagonal,

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\\\end{bmatrix}}}$

På denne måten blir ds² = dr² + r²dθ²  det differensielle linjeelementet i disse koordinatene. I andre koordinatsystem kan alltid den samme fremgangsmåten benyttes for å konstruere den nye koordinatbasisen.

I to dimensjoner gir det differensielle volumelementet arealet av tilsvarende lite flateelement dA = √g dx¹dx². I polarkoordinater er determinanten g = r². Skal man for eksempel i disse koordinatene beregne arealet av en sirkel med radius R, blir det

${\displaystyle A=\int _{0}^{R}\!rdr\int _{0}^{2\pi }\!d\theta ={1 \over 2}R^{2}\cdot 2\pi =\pi R^{2}}$

Mer generelt kan alle lignendene integral regnes ut på tilsvarende måte når integrandene er uavhengige av polarvinkelen θ.

Når koordinaten x^μ = x^μ(x^m) holdes fast, beskriver denne ene ligningen en flate i det euklidske rommet. På samme måte beskriver de andre transformasjonsligningene tilsvarende flater. Hvert punkt i rommet ligger på skjæringspunktet mellom slike flater. I nærmest omegn kan man benytte normalvektorene e^μ = ∇x^μ  til disse flatene som et alternativt set med basisvektorer. De danner en dual basis som også blir kalt for en « kobasis» og blir skrevet med den greske indeksen i hevet posisjon. Hver slik vektor står vinkelrett på tangentvektorene e_μ  i de andre retningene. Det følger fra direkte fra definisjonene,

${\displaystyle \mathbf {e} ^{\mu }\cdot \mathbf {e} _{\nu }={\boldsymbol {\nabla }}\!x^{\mu }\cdot {\partial \mathbf {r} \over \partial x^{\nu }}={\partial x^{\mu } \over \partial x^{\nu }}=\delta _{\;\nu }^{\mu }}$

De kontravariante komponentene til vektoren V = V^μ e_μ  kan derfor bestemmes direkte fra indreproduktet e^μ⋅V = V^μ . Alternativt kan man nå skrive vektoren uttrykt ved dens komponenter i den duale basisen, det vil si at V = V_μ e^μ. Dette er vektorens kovariante komponenter V_μ = e_μ⋅V. Men dette er også lik med V_μ = e_μ⋅e_νV^ν  som betyr at

${\displaystyle V_{\mu }=g_{\mu \nu }V^{\nu }}$

Metrikken g_μν  kan derfor brukes til å «senke» en kontravariant indeks slik at man får en kovariant komponent. På tilsvarende måte er en kontravariant komponent gitt som V^μ = e^μ⋅V = g^μνV_ν  hvor g^μν = e^μ⋅e^ν  utgjør elementene i den metriske matrisen

${\displaystyle g^{\mu \nu }={\partial x^{\mu } \over \partial x^{m}}{\partial x^{\nu } \over \partial x^{n}}\delta _{mn}}$

At begge indeksene står oppe, betyr at denne inneholder de kontravariante komponentene av metrikken. Denne er igjen den inverse av den kovariante metrikken g_μν. Det er en direkte konsekvens av definisjonene

${\displaystyle g^{\mu \lambda }g_{\lambda \nu }={\partial x^{\mu } \over \partial x^{m}}{\partial x^{\lambda } \over \partial x^{m}}{\partial x^{n} \over \partial x^{\lambda }}{\partial x^{n} \over \partial x^{\nu }}={\partial x^{\mu } \over \partial x^{m}}{\partial x^{m} \over \partial x^{\nu }}={\partial x^{\mu } \over \partial x^{\nu }}=\delta _{\;\nu }^{\mu }}$

da Kronecker-deltaet på høyre side utgjør elementene i enhetsmatrisen.

Med disse to metriske matrisene kan man skifte mellom kontravariante og kovariante komponenter. For eksempel, indreproduktet mellom vektorene V og U som er U⋅V = g_μνU^μV^ν , kan derfor skrives på de ekvivalente formene U⋅V = U^μV_μ = U_μV^μ = g^μνU_μV_ν.

Hvis man velger å benytte et annet, krumlinjet koordinatsystem x^m = x^m(x^μ' ) i det samme rommet, vil man også ha en sammenheng x^μ = x^μ(x^ν' ) i de områdene hvor begge koordinatsystemene overlapper. Sammenhengene mellom deres basisvektorer er dermed

${\displaystyle \mathbf {e} _{\nu '}={\partial \mathbf {r} \over \partial x^{\nu '}}={\partial \mathbf {r} \over \partial x^{\mu }}{\partial x^{\mu } \over \partial x^{\nu '}}={\partial x^{\mu } \over \partial x^{\nu '}}\mathbf {e} _{\mu }}$

Det betyr at for en vektor V = V^μ e_μ = V^ν' e_ν' vil de kontravariante komponentene transformere som

${\displaystyle V^{\nu '}={\partial x^{\nu '} \over \partial x^{\mu }}V^{\mu }\,,}$

mens komponentene til metrikken g_μ'ν' = e_μ' ⋅e_ν' transformerer som

${\displaystyle g_{\mu '\nu '}={\partial x^{\lambda } \over \partial x^{\mu '}}{\partial x^{\mu } \over \partial x^{\nu '}}g_{\lambda \mu }\,,}$

det vil si som de kovariante komponentene til en tensor av rang to. I krumlinjete koordinater blir derfor metrikken omtalt som en «metrisk tensor».

I det euklidske rommet E³ er den vanlige gradienten til en skalar funksjon Φ(x) definert som

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\Phi ={\partial \Phi \over \partial x}\mathbf {i} +\,{\partial \Phi \over \partial y}\mathbf {j} +{\partial \Phi \over \partial z}\mathbf {k} ={\partial \Phi \over \partial x^{m}}\mathbf {e} ^{m}}$

Det er her naturlig å skrive basisvektorene som e^m selv om det vanligvis ikke er av betydning. Men ved en transformasjon til de krumlinjete koordinatene oppstår forbindelsen

${\displaystyle \mathbf {e} ^{m}={\partial x^{m} \over \partial x^{\mu }}\mathbf {e} ^{\mu }}$

med den duale basisen. Gradienten tar da formen

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\Phi ={\partial \Phi \over \partial x^{m}}{\partial x^{m} \over \partial x^{\mu }}\mathbf {e} ^{\mu }={\partial \Phi \over \partial x^{\mu }}\mathbf {e} ^{\mu }}$

i dette mer generelle koordinatsystemet når den defineres på denne måten. På dette viset er gradienten automatisk definert med kovariant komponenter i motsetning til en vanlig vektor som har kontravariante komponenter. Gradienten får dermed samme form i alle koordinatsystem. Det gir den en særstilling i vektoranalysen hvor den også kalles for en differensial 1-form.

Hvis man betrakter et vektorfelt A(x) = A^m(x) e_m  uttrykt i den kartesiske basisen, så forandrer det seg fra sted til sted i rommet gjennom varisjonene av komponentene. Hvis man i stedet benytter krumlinjete koordinater slik at A(x) = A^μ(x) e_μ, så vil også basisvektorene e_μ = ∂r/∂x^μ variere med posisjonen i rommet. Den totale forandringen av vektorfeltet får dermed to bidrag som kan uttrykkes ved en utvidet form for derivasjon. Den kalles den «kovariante deriverte» av vektorfeltet.

Hvordan komponentene varierer, kan uttykkes ved de partielle deriverte ∂_αA^μ  hvor operatoren ∂_α = ∂/∂x^α. På samme måte er forandringene til basisvektoren gitt ved de partielle deriverte ∂_α e_μ. Denne vektoren må kunne uttrykkes som en lineærkombinasjon av de andre basisvektorene slik at man kan skrive

${\displaystyle \partial _{\alpha }\mathbf {e} _{\mu }=\mathbf {e} _{\nu }\Gamma _{\;\mu \alpha }^{\nu }}$

når man igjen benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over like indekser. De nye og foreløbig ukjente koeffisientene Γ^ν_μα  kalles Christoffel-symbol etter den tyske matematiker Elwin Christoffel som innførte disse størrelsene for omtrent 150 år siden. Da ∂_α e_μ = ∂_α∂_μ r = ∂_μ∂_α r = ∂_μ e_α, så er dette symbolet symmetrisk i sine to nedre indekser. Det vil si at man alltid har at Γ^ν_μα  = Γ^ν_αμ .

Størrelsen på Christoffelsymbolene finnes fra metrikken g_μν = e_μ⋅e_ν. Deriveres denne i retning e_α, får man

${\displaystyle \partial _{\alpha }g_{\mu \nu }=(\partial _{\alpha }\mathbf {e} _{\mu })\cdot \mathbf {e} _{\nu }+\mathbf {e} _{\mu }\cdot (\partial _{\alpha }\mathbf {e} _{\nu })=g_{\mu \lambda }\Gamma _{\;\nu \alpha }^{\lambda }+g_{\nu \lambda }\Gamma _{\;\mu \alpha }^{\lambda }}$

Dette forenkles ved å definere

${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu \alpha }=g_{\mu \lambda }\Gamma _{\;\nu \alpha }^{\lambda }}$

som kalles et «Christoffel-symbol av første sort», mens det tidligere symbolet Γ^ν_μα  da blir et «Christoffel-symbol av andre sort». Den deriverte av metrikken kan da skrives som  ∂_α g_μν = Γ_μνα + Γ_νμα. To lignende uttrykk kan herav finnes ved å bytte om på indeksene og bruke de symmetriene som de har. Ved å innføre den alternative skrivemåten ∂_αf = f,_α  for partiell derivasjon som derfor kan kalles «komma-derivasjon», gir disse tre relasjonene resultatet

${\displaystyle \Gamma _{\lambda \mu \nu }={1 \over 2}{\Big (}g_{\lambda \mu ,\nu }+g_{\lambda \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\lambda }{\Big )}}$

for Christoffel-symbolet. Det er også symmetrisk i de to siste indeksene. Selv om det ser ut som en tensor med tre indekser, er det bare tilsynelatende. En direkte utregning viser at det transformerer på en mer komplisert måte under en koordinattransformasjon.

Ved direkte utregning i todimensjonale polarkoordinater finner man Γ^r_rr = Γ^r_rθ = 0, mens Γ^r_θθ = - r. Likedan er Γ^θ_θθ = Γ^θ_rr = 0, og Γ^θ_rθ = 1/r. Vanligvis er flertallet av symbolene lik med null, men det er ikke lett uten videre å vite hvilke.

Når variasjonen av basisvektorene fra sted til sted nå er etablert, kan man også finne hvordan et vektorfelt A(x) = A^μ(x) e_μ  varierer når det beskrives i krumlinjete koordinater. I retning e_α  skrives denne forandringen ved å benytte en generalisert nabla-operator. Når den virker på en vektor, gir den en ny vektor

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}_{\alpha }\mathbf {A} (x)=(\partial _{\alpha }A^{\mu })\mathbf {e} _{\mu }+A^{\mu }(\partial _{\alpha }\mathbf {e} _{\mu })=(\partial _{\alpha }A^{\mu }+A^{\lambda }\Gamma _{\;\lambda \alpha }^{\mu })\mathbf {e} _{\mu }}$

når man i siste ledd bytter om på indeksene som det summeres over. De to leddene i parentesen kalles for den kovariante deriverte av denne vektorkomponenten. Det er vanlig å angi denne ved et semikolon eller ved bruk av det samme nabla-symbolet,

${\displaystyle \nabla _{\alpha }A^{\mu }\equiv A_{\;;\alpha }^{\mu }=\partial _{\alpha }A^{\mu }+A^{\lambda }\Gamma _{\;\lambda \alpha }^{\mu }}$

Navnet «semikolon-derivert» blir derfor også benyttet. Mens den partielt deriverte av en vektorkomponent ikke har noen tensoregenskaper, er den kovariante deriverte av en vektorkomponent en komponent av en tensor med rang to.

Den kovariant deriverte av en tensor kan finnes ut fra dette. For eksempel, en tensor av andre rang transformerer som tensorproduktet av to vektorer A  og B. Som for all annen derivasjon gjelder også da

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}_{\alpha }(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=({\boldsymbol {\nabla }}_{\alpha }\mathbf {A} )\otimes \mathbf {B} +\mathbf {A} \otimes ({\boldsymbol {\nabla }}_{\alpha }\mathbf {B} )}$

Dermed blir den kovariante deriverte av produktet av de kontravariante komponentene

${\displaystyle \nabla _{\alpha }(A^{\mu }B^{\nu })=\partial _{\alpha }(A^{\mu }B^{\nu })+A^{\lambda }B^{\nu }\Gamma _{\;\lambda \alpha }^{\mu }+A^{\mu }B^{\lambda }\Gamma _{\;\lambda \alpha }^{\nu }}$

Mer generelt vil det samme mønster gjelde for den kovariante deriverte av en annenrangs tensor T med kontravariante komponenter T^μν. Kovariant derivasjon øker tensorens rang med en.

For å finne den kovariante deriverte av en kovariant vektorkomponent A_μ, kan man benytte at indreproduktet A^μA_μ  er en skalar størrelse. Derfor må

${\displaystyle \nabla _{\alpha }(A^{\mu }A_{\mu })=(\nabla _{\alpha }A^{\mu })A_{\mu }+A^{\mu }(\nabla _{\alpha }A_{\mu })=(\partial _{\alpha }A^{\mu })A_{\mu }+A^{\mu }(\partial _{\alpha }A_{\mu })}$

Benytter man her det etablerte resultatet for ∇_α A^μ, følger at

${\displaystyle \nabla _{\alpha }A_{\mu }\equiv A_{\mu ;\alpha }=\partial _{\alpha }A_{\mu }-A_{\lambda }\Gamma _{\;\mu \alpha }^{\lambda }}$

Herav kan kovariante deriverte av kovariante komponenter av tensorer av høyere rang finnes. Et viktig eksempel er den kovariante deriverte av den metriske tensoren som blir null,

${\displaystyle \nabla _{\alpha }g_{\mu \nu }=0.}$

Denne egenskapen til den kovariante deriverte kan utnyttes i uttrykk som ∇_α A_μ som dermed kan beregnes fra ∇_α (g_μν A^ν) = g_μν∇_α A^ν. I motsetning til partiell derivasjon, opptrer metrikken som en konstant under kovariant derivasjon.

Derivasjonsoperatoren ∂_α  benyttes til beregning av forandring i retning av basisvektoren e_α. Bruken kan utvides til å gjelde i en vilkårlig retning gitt ved vektoren u = u^α e_α. Det kan gjøres ved å kombinere forandringene langs hver basisvektor. Det gir den mer generelle operatoren

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {u} }\equiv u^{\alpha }{\boldsymbol {\nabla }}_{\alpha }}$

som kalles for den retningsderiverte i denne retningen. Når den virker på en skalar funksjon f(x), er resultatet som ventet ∇_u f = u^α ∂_αf. Den gir også forandringen av et vektorfelt i samme retning ved at

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {u} }\mathbf {A} \equiv u^{\alpha }{\boldsymbol {\nabla }}_{\alpha }\mathbf {A} =u^{\alpha }A_{\;;\alpha }^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }}$

som er en ny vektor. Samme operator kan også benyttes til å gi forandringen av vektorfeltet langs en kurve r = r(λ) i rommet. Da tangenten til kurven er u = d r/dλ = (dx^α/dλ)e_α, blir variasjonen av feltet langs denne gitt ved den totalderiverte

${\displaystyle {d\mathbf {A} \over d\lambda }={\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {u} }\mathbf {A} }$

hvor retningsvektoren u nå har komponenter u^α = dx^α/dλ  som er gitt ved kurvens form. Denne sammenhengen involverer ingen indekser og er derfor gyldig i alle koordinatsystem. Så lenge det underliggende rommet er euklidsk, kan operatoren ∇_u  defineres slik som her ved vanlige partialderiverte. Derimot i krumme rom beskrevet ved Riemanns differensialgeometri og i generell relativitetsteori har denne operatoren en mer fundamental betydning.

Fysiske komponenter av en vektor eller tensor angis vanligvis i et kartesisk koordinatsystem hvor alle basisvektorene har samme lengde. I krumlinjete koordinater kan man finne de samme komponentene ved å opprette et lite, lokalt koordinatsystem i hvert punkt med nye basisvektorer med samme lengde og som står vinkelrett på hverandre. I dette lokale aksekorset kan de fysiske komponentene avleses.

Dette er mest aktuelt å gjøre i rom med D = 3  dimensjoner og krumlinjete koordinater som har ortogonale basisvektorer. Da vil den metriske tensoren ha formen

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}h_{1}^{2}&0&0\\0&h_{2}^{2}&0\\0&0&h_{3}^{2}\end{bmatrix}}}$

hvor ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}=h_{1}^{2}}$ og tilsvarende for de to andre basisvektorene. Normerte basisvektorer med samme lengde eller «enhetsvektorer» er da ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {e} }}_{1}=\mathbf {e} _{1}/h_{1}}$, ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {e} }}_{2}=\mathbf {e} _{2}/h_{2}}$ og ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {e} }}_{3}=\mathbf {e} _{3}/h_{3}}$ slik at

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {e} }}_{\mu }\cdot {\widehat {\mathbf {e} }}_{\nu }=\delta _{\mu \nu }}$

Videre gjelder de fundamentale vektorproduktene ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {e} }}_{1}\times {\widehat {\mathbf {e} }}_{2}=-{\widehat {\mathbf {e} }}_{2}\times {\widehat {\mathbf {e} }}_{1}={\widehat {\mathbf {e} }}_{3}}$ og de andre som følger fra syklisk ombytte av indekser. Disse sammenhengene holder bare i tredimensjonale rom.

Alternativt kan man benytte de duale basisvektorene slik at ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {e} }}_{1}=h_{1}\mathbf {e} ^{1}=h_{1}{\boldsymbol {\nabla }}x^{1}}$ og tilsvarende for de to andre. En vektor som ${\displaystyle \mathbf {A} =A^{1}\mathbf {e} _{1}+A^{2}\mathbf {e} _{2}+A^{3}\mathbf {e} _{3}}$ kan da skrives i denne nye basisen som ${\displaystyle \mathbf {A} =h_{1}A^{1}{\widehat {\mathbf {e} }}_{1}+h_{2}A^{2}{\widehat {\mathbf {e} }}_{2}+h_{3}A^{3}{\widehat {\mathbf {e} }}_{3}.}$ Sammenhengen mellom de kontravariante og de fysiske kompontene til vektoren er dermed ${\displaystyle A_{\widehat {1}}=h_{1}A^{1}}$, ${\displaystyle A_{\widehat {2}}=h_{2}A^{2}}$ og ${\displaystyle A_{\widehat {3}}=h_{3}A^{3}}$. På samme måte gjelder for de kovariante komponentene at ${\displaystyle A_{\widehat {1}}=A_{1}/h_{1}}$, ${\displaystyle A_{\widehat {2}}=A_{2}/h_{2}}$ og ${\displaystyle A_{\widehat {3}}=A_{3}/h_{3}}$.

Denne formalismen kan benyttes i mange praktiske sammenhenger, både i relativistisk og ikke-relativistisk fysikk. For eksempel kan Navier-Stokes-ligningene skrives i andre koordinater enn kartesiske når det er mer praktisk.

Posisjonsvektoren ${\displaystyle \mathbf {r} }$ til en partikkel som beveger seg i et plan, forandrer seg med tiden ${\displaystyle t}$. Den beskriver derfor en kurve ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$ hvis tangentvektor ${\displaystyle \mathbf {v} =d\mathbf {r} /dt}$ er lik med hastigheten til partikkelen. Foregår bevegelsen i et plan, kan det være en fordel å beskrive bevegelsen ved bruk av polarkoordinater ${\displaystyle x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta }$. Kvadratet av linjeelementet er dermed ${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$ slik at den diagonale metrikken er gitt ved ${\displaystyle h_{r}=1,h_{\theta }=r}$.

I dette systemet kan hastighetsvektoren skrives ${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }}$ hvor de kontravariante komponentene til hastigheten er ${\displaystyle v^{r}=dr/dt\equiv {\dot {r}}}$ og ${\displaystyle v^{\theta }=d\theta /dt\equiv {\dot {\theta }}}$. Akselerasjonen til partikkelen er definert som den retningsderiverte ${\displaystyle \mathbf {a} =d\mathbf {v} /dt}$ i retning av selve hastigheten. Denne følger fra den kovariante deriverte og blir

${\displaystyle \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}={\big (}{\dot {v}}^{\lambda }+\Gamma _{\;\mu \nu }^{\lambda }{\dot {v}}^{\mu }{\dot {v}}^{\nu }{\big )}\mathbf {e} _{\lambda }=({\ddot {r}}+\Gamma _{\,\theta \theta }^{r}{\dot {\theta }}{\dot {\theta }})\mathbf {e} _{r}+({\ddot {\theta }}+2\Gamma _{\,r\theta }^{\theta }{\dot {\theta }}{\dot {r}})\mathbf {e} _{\theta }}$

når man setter inn for Christoffelsymbolene ${\displaystyle \Gamma _{\,\theta \theta }^{r}=-r,\Gamma _{\,r\theta }^{\theta }=1/r}$ som bidrar. De kontravariante komponentene til akselerasjonen kommer dermed frem som ${\displaystyle a^{r}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}}$ og ${\displaystyle a^{\theta }={\ddot {\theta }}+2{\dot {\theta }}{\dot {r}}/r.}$

Ifølge Newtons 2. lov er akselerasjonen proporsjonal med kraften som virker på partikkelen. I radiell retning er den fysiske komponenten av akselerasjon ${\displaystyle a_{\hat {r}}=h_{r}a^{r}=a^{r}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}}$. Det siste leddet her gir opphav til den fiktive sentrifugalkraften som virker på partikkelen. Tilsvarende er den fysiske komponenten av akselerasjonen i angulær retning ${\displaystyle a_{\hat {\theta }}=h_{\theta }a^{\theta }=r{\ddot {\theta }}+2{\dot {\theta }}{\dot {r}}}$ hvor det siste leddet representerer den fiktive Coriolis-kraften.

Hvis den fysiske kraften er gitt ved Newtons gravitasjonslov, virker denne i radiell retning. I dette viktige tilfellet er derfor den fysiske komponenten ${\displaystyle a_{\hat {\theta }}=0}$. Da det kan skrives som

${\displaystyle {d \over dt}r^{2}{\dot {\theta }}=0,}$

har det som konsekvens at ${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}}$ er konstant under bevegelsen. Dette gjelder for en planets bevegelse rundt Solen og uttrykker Keplers 2. lov om flatehastighetens konstans. Den radielle komponenten til akselerasjonen kan så benyttes til å utlede de to andre Kepler-lovene.

I kartesiske koordinater blir vektorderivasjon utført ved hjelp av nabla-operatoren. Den enkleste operasjonen er gradienten av en skalar funksjon ${\displaystyle \Phi =\Phi (\mathbf {r} )}$. De partialderiverte ${\displaystyle \partial _{\mu }\Phi }$ er de kovariante komponentene av gradienten til funksjonen. Den første, fysiske komponenten av gradienten er derfor ${\displaystyle \partial _{1}\Phi /h_{1}}$ og likedan for de andre. I denne normerte basis er derfor gradienten gitt som

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\Phi ={1 \over h_{1}}{\partial \Phi \over \partial x^{1}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{1}+{1 \over h_{2}}{\partial \Phi \over \partial x^{2}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{2}+{1 \over h_{3}}{\partial \Phi \over \partial x^{3}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{3}}$

Mer komplisert er beregningen av divergensen til en vektor ${\displaystyle \mathbf {A} =A_{\widehat {1}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{1}+A_{\widehat {2}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{2}+A_{\widehat {3}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{3}.}$ Den første termen gir et bidrag ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (A_{\widehat {1}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{1})}$ som vil involvere den kovariante deriverte av basisvektoren ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {e} }}_{1}}$. Men spesielt i D = 3  kan utregningen forenkles ved å benytte at ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {e} }}_{1}=h_{2}h_{3}{\boldsymbol {\nabla }}x^{2}\times {\boldsymbol {\nabla }}x^{3}}$ som gir

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (A_{\widehat {1}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{1})&={\boldsymbol {\nabla }}\cdot (A_{\widehat {1}}h_{2}h_{3}{\boldsymbol {\nabla }}x^{2}\times {\boldsymbol {\nabla }}x^{3})\\&={\boldsymbol {\nabla }}(A_{\widehat {1}}h_{2}h_{3})\cdot {\boldsymbol {\nabla }}x^{2}\times {\boldsymbol {\nabla }}x^{3}+A_{\widehat {1}}h_{2}h_{3}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}x^{2}\times {\boldsymbol {\nabla }}x^{3})\\\end{aligned}}}$

Det siste leddet her gir null da curl til en gradient er alltid lik null. I det første leddet kan gradienten nå skrives ut og gir

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (A_{\widehat {1}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{1})&=\left({1 \over h_{1}}{\partial A_{\widehat {1}}h_{2}h_{3} \over \partial x^{1}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{1}+{1 \over h_{2}}{\partial A_{\widehat {1}}h_{2}h_{3} \over \partial x^{2}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{2}+{1 \over h_{3}}{\partial A_{\widehat {1}}h_{2}h_{3} \over \partial x^{3}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{3}\right)\cdot {{\widehat {\mathbf {e} }}_{1} \over h_{2}h_{3}}\\&={1 \over h_{1}h_{2}h_{3}}{\partial A_{\widehat {1}}h_{2}h_{3} \over \partial x^{1}}\\\end{aligned}}}$

Ved å ta med de tilsvarende bidragene fra de to andre komponentene til vektoren, er da dens divergens uttrykt ved deriverte av de fysiske komponentene, gitt som

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} ={1 \over h_{1}h_{2}h_{3}}\left({\partial A_{\widehat {1}}h_{2}h_{3} \over \partial x^{1}}+{\partial A_{\widehat {2}}h_{3}h_{1} \over \partial x^{2}}+{\partial A_{\widehat {3}}h_{1}h_{2} \over \partial x^{3}}\right)}$

På samme måte kan curl til vektoren regnes ut. Den første komponenten gir nå

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\times (A_{\widehat {1}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{1})&={\boldsymbol {\nabla }}\times (A_{\widehat {1}}h_{1}{\boldsymbol {\nabla }}x^{1}\\&={\boldsymbol {\nabla }}(A_{\widehat {1}}h_{1})\times {\boldsymbol {\nabla }}x^{1}+A_{\widehat {1}}h_{1}{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}x^{1}\\\end{aligned}}}$

Igjen er det siste leddet en curl av en gradient og er dermed null. Ved å skrive gradienten i det første leddet ut, blir det

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\times (A_{\widehat {1}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{1})&=\left({1 \over h_{1}}{\partial A_{\widehat {1}}h_{1} \over \partial x^{1}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{1}+{1 \over h_{2}}{\partial A_{\widehat {1}}h_{1} \over \partial x^{2}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{2}+{1 \over h_{3}}{\partial A_{\widehat {1}}h_{1} \over \partial x^{3}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{3}\right)\times {{\widehat {\mathbf {e} }}_{1} \over h_{1}}\\&={1 \over h_{3}h_{1}}{\partial A_{\widehat {1}}h_{1} \over \partial x^{3}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{2}-{1 \over h_{1}h_{2}}{\partial A_{\widehat {1}}h_{1} \over \partial x^{2}}{\widehat {\mathbf {e} }}_{3}\\\end{aligned}}}$

Bidragene fra de to andre leddene i vektoren vil ha en lignende form. Legges de sammen, kan resultatet uttrykkes som en determinant og skrives på den kompakte formen

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} ={1 \over h_{1}h_{2}h_{3}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\widehat {\mathbf {e} }}_{1}&h_{2}{\widehat {\mathbf {e} }}_{2}&h_{3}{\widehat {\mathbf {e} }}_{3}\\{\dfrac {\partial }{\partial x^{1}}}&{\dfrac {\partial }{\partial x^{2}}}&{\dfrac {\partial }{\partial x^{3}}}\\A_{\widehat {1}}h_{1}&A_{\widehat {2}}h_{2}&A_{\widehat {3}}h_{3}\end{vmatrix}}}$

på samme måte som for curl i kartesiske koordinater.

Det er nå ganske rett frem å finn Laplace-operatoren i slike kurvelineære koordinater. Den er definert som divergensen av gradienten til en funksjon og er derfor

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Phi ={1 \over h_{1}h_{2}h_{3}}\left[{\dfrac {\partial }{\partial x^{1}}}\left({h_{2}h_{3} \over h_{1}}{\partial \Phi \over \partial x^{1}}\right)+{\dfrac {\partial }{\partial x^{2}}}\left({h_{3}h_{1} \over h_{2}}{\partial \Phi \over \partial x^{2}}\right)+{\dfrac {\partial }{\partial x^{3}}}\left({h_{1}h_{2} \over h_{3}}{\partial \Phi \over \partial x^{3}}\right)\right]}$

I kulekoordinater ${\displaystyle x^{1}=r,x^{2}=\theta ,x^{3}=\phi }$ er den diagonale metrikken gitt ved ${\displaystyle h_{1}=h_{r}=1,h_{2}=h_{\theta }=r,h_{3}=h_{\phi }=r\sin \theta }$ slik at gradienten til en skalar funksjon blir

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\Phi ={\partial \Phi \over \partial r}{\widehat {\mathbf {e} }}_{r}+{1 \over r}{\partial \Phi \over \partial \theta }{\widehat {\mathbf {e} }}_{\theta }+{1 \over r\sin \theta }{\partial \Phi \over \partial \phi }{\widehat {\mathbf {e} }}_{\phi }}$

Likedan blir divergensen til et vektorfelt

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} ={1 \over r^{2}}{\partial A_{\widehat {r}}r^{2} \over \partial r}+{1 \over r\sin \theta }{\partial A_{\widehat {\theta }}\sin \theta \over \partial \theta }+{1 \over r\sin \theta }{\partial A_{\widehat {\phi }} \over \partial \phi },}$

mens ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} }$ følger fra å skrive ut den tilsvarende determinanten i det generelle resultatet. Det fullstendige uttrykket for Laplace-operatoren blir likedan

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial \Phi \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial \Phi \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}\Phi \over \partial \phi ^{2}}.}$

• Koordinatsystem
• Kartesiske koordinater
• Polarkoordinater
• Kulekoordinater

• Ø. Grøn and A. Næss, Einstein's Theory, Springer, New York (2011). ISBN 978-1-4614-0706-5.
• M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.
• M. R. Spiegel, Vector Analysis, Schaum's Outline Series, New York, (1959).
• E. Kreyzig, Differential Geometry, Dover Publications, New York (1991). ISBN 0-486-66721-9.

• Peter Dunsby, Manifolds and tangent spaces, webpages about Tensors and Relativity.