Lagrange-mekanikk

Lagrange-mekanikk er en mer generell formulering av klassisk mekanikk enn den som ble innført av Isaac Newton. I stedet for en formulering av bevegelseslovene for et mekanisk system uttrykt ved akselerasjonen forårsaket av alle krefter som virker på det, viste den franske fysiker og matematiker Joseph Louis Lagrange i 1788 ut fra d'Alemberts prinsipp at de kan utledes fra en skalar funksjon av systemets uavhengige variable og deres tidsderiverte. Denne funksjonen kalles i dag for Lagrange-funksjonen. For et system med en veldefinert kinetisk energi T og potensiell energi V er Lagrange-funksjonen L = T - V.

Et generelt system kan beskrives ved N uavhengige variable eller generelle koordinater q = (q₁, q₂, ... , q_N). Disse behøver ikke å være komponenter av forskjellige posisjonsvektorer, men kan for eksempel oppstå ved bruk av ikke-kartesiske koordinatsystem. Lagrange-funksjonen er da av formen

${\displaystyle L=L(q,{\dot {q}},t)}$

hvor de tidsderiverte er ${\displaystyle {\dot {q}}={\frac {dq}{dt}}}$. Den klassiske bevegelsen er nå gitt som løsningen av differensialligningen

${\displaystyle {d \over dt}\left({\partial L \over \partial {\dot {q}}_{n}}\right)-{\partial L \over \partial q_{n}}=0}$

som kalles Euler-Lagrange-ligningen. Den var tidligere blitt utledet av Leonhard Euler og Lagrange i forbindelse med løsning av forskjellige optimaliseringsproblem ved bruk av variasjonsregning.

Men det var den irske fysiker og matematiker William Rowan Hamilton som på midten 18-hundreårstallet viste at den samme ligningen kan utledes fra et virkningsprinsipp. Han innførte en ny definisjon av begrepet mekanisk virkning. For en bevegelse av systemet fra en gitt tilstand A til en senere tilstand B er virkningen definert ved integralet

${\displaystyle S=\int _{A}^{B}\!dtL(q,{\dot {q}},t)}$

hvor L er Lagrange-funksjonen for systemet. Den klassiske bevegelsen følger en bane hvis virkning skal ha et ekstremum, vanligvis et minimum. Under små variasjoner δq rundt denne klassiske banen er virkningen derfor stasjonær, det vil si at den resulterende variasjon

${\displaystyle \delta S=0.}$

Ved bruk av standard variasjonsregning finner man da at den klassiske bevegelsen må oppfylle Euler-Lagrange-ligningen. Dette virkningsprinsippet kalles vanligvis i dag for Hamiltons virkningsprinsipp og spiller en fundamentalt viktig rolle i moderne fysikk. Ofte blir det omtalt som prinsippet om minste virkning selv om det navnet noen ganger kan være misvisende.

Lagrange-mekanikk kan også brukes til beskrivelse av kontinuerlige systemer og felt. Lagrange-funksjonen er da gitt som et volumintegral over en Lagrange-tetthet. Moderne kvantefeltteorier formuleres alle på denne måten.

Newtons andre lov er vanligvis formulert i et kartesisk koordinatsystem hvor hver partikkel er angitt ved en posisjonsvektor r = r(t) og en tilsvarende hastighet v = dr/dt, hver med tre komponenter. Den deriverte av hastigheten er akselerasjonen a = dv/dt som er proporsjonal med kraften F som virker på denne partikkelen. Bevegelsesligningene F = ma blir da andre ordens differensialligninger for hver av kompontene for posisjonsvektoren r. I utgangspunktet er derfor bevegelsen til en partikkel karakterisert ved tre variable eller frihetsgrader. Men disse variable er ikke alltid uavhengige av hverandre.

Ofte kan det være vanskelig å utlede bevegelsesligningene fordi mange av kreftene som inngår, er føringskrefter som må innføres for at bevegelsen skal oppfylle gitte krav. Dette kan for eksempel være at partikkelen skal bevege seg på en bestemt flate eller i en gitt avstand fra et fiksert punkt. Det ville være enklere å kun benytte de variable som trenges for å angi tillatte posisjoner slik at føringskreftene ikke lenger inngår i problemet. Dette kalles generaliserte koordinater og deres antall er det effektive antall av frihetsgrader.^[1]

For eksempel vil enden til en pendel med lengde a som svinger i xy-planet ha en posisjon r(t) = (x(t),y(t) = a (sinθ,cosθ) hvor vinkelen θ er utslaget fra y-aksen. Dette er derfor den generaliserte koordinaten for pendelen som dermed har bare en frihetsgrad. En partikkel som beveger seg på en gitt flate, vil derimot ha to frihetsgrader som er dens koordinater på flaten.

I alminnelighet tenker vi oss at systemet kan beskrives ved N generaliserte koordinater q = (q₁, q₂, ... q_N). Betrakter vi partikkel angitt ved indeks a, vil den da ha posisjonsvektor

${\displaystyle \mathbf {r} _{a}=\mathbf {r} _{a}(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{N},t).}$

når man tillater at denne sammenhengen i alminnelighet også kan være eksplisitt avhengig av tiden t. Hastigheten til partikkelen kan derfor skrives som

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{a}={d\mathbf {r} _{a} \over dt}=\sum _{n}{\partial \mathbf {r} _{a} \over \partial q_{n}}{\dot {q}}_{n}+{\partial \mathbf {r} _{a} \over \partial t}.}$

Herfra finner man nå at

${\displaystyle {\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{a} \over \partial {\dot {q}}_{n}}={\partial \mathbf {r} _{a} \over \partial q_{n}}.}$

Prikkene fra tidsderivasjonene ser ut til å ha kansellert hverandre. Dette resultatet benyttes nå til å omskrive det skalare produktet

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{a}\cdot {\partial \mathbf {r} _{a} \over \partial q_{n}}={\dot {\mathbf {r} }}_{a}\cdot {\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{a} \over \partial {\dot {q}}_{n}}={1 \over 2}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{a}^{2} \over \partial {\dot {q}}_{n}}.}$

Via det tidsderiverte uttrykket

${\displaystyle {d \over dt}\sum _{a}m_{a}{\dot {\mathbf {r} }}_{a}\cdot {\partial \mathbf {r} _{a} \over \partial q_{n}}={d \over dt}{\Big [}{\partial \over \partial {\dot {q}}_{n}}{\Big (}\sum _{a}{1 \over 2}m_{a}{\dot {\mathbf {r} }}_{a}^{2}{\Big )}{\Big ]}={d \over dt}{\Big (}{\partial T \over \partial {\dot {q}}_{n}}{\Big )}}$

har man dermed etablert en forbindelse med den kinetiske energien,

${\displaystyle T={1 \over 2}\sum _{a}m_{a}{\dot {\mathbf {r} }}_{a}^{2},}$

til alle partiklene i systemet.^[1]

En lignende relasjon kan også utledes fra den deriverte

${\displaystyle {\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{a} \over \partial q_{n}}={\partial \over \partial q_{n}}{\Big (}\sum _{m}{\partial \mathbf {r} _{a} \over \partial q_{m}}{\dot {q}}_{m}+{\partial \mathbf {r} _{a} \over \partial t}{\Big )}=\sum _{m}{\partial ^{2}\mathbf {r} _{a} \over \partial q_{m}\partial q_{n}}{\dot {q}}_{m}+{\partial ^{2}\mathbf {r} _{a} \over \partial q_{n}\partial t}={d \over dt}{\Big (}{\partial \mathbf {r} _{a} \over \partial q_{n}}{\Big )}.}$

Herfra følger nå på tilsvarende måte som ovenfor at

${\displaystyle \sum _{a}m_{a}{\dot {\mathbf {r} }}_{a}\cdot {d \over dt}{\Big (}{\partial \mathbf {r} _{a} \over \partial q_{n}}{\Big )}=\sum _{a}m_{a}{\dot {\mathbf {r} }}_{a}\cdot {\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{a} \over \partial q_{n}}={\partial T \over \partial q_{n}}.}$

Disse matematiske relasjonene mellom de kinematiske variable kan nå benyttes i den dynamiske beskrivelsen av systemet.

For et statisk system sier d'Alemberts prinsipp at under en meget liten og tenkt forskyving δr_a av partikkel a som påvirkes av den totale kraften F_a , skal det resulterende arbeid være null. På matematisk form kan det skrives som

${\displaystyle \sum _{a}\mathbf {F} _{a}\cdot \delta \mathbf {r} _{a}=0.}$

Den infinitesemale forskyvingen δr_a, som må oppfylle føringsbetingelsene, sies å være virtuell da den skal foregå ved konstant tid. Ingen virkelig forflytning kan i foregå uten at den tar litt tid. Derfor er den man betrakter her, virtuell. Ved bruk av generaliserte koordinater, kan den da skrives som

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{a}=\sum _{n}{\partial \mathbf {r} _{a} \over \partial q_{n}}\delta q_{n},}$

hvor det på høyre side i alminnelighet skulle ha vært et ledd (∂r_a/∂t)δt .

Dette prinsippet kan utvides til å også gjelde for et dynamisk system ved å anta at akselerasjonen a_a til denne partikkelen i systemet forårsaker en virkende kraft på samme måte som for eksempel at sentrifugalkraften kan beskrives som en virkelig kraft. Kombinert med Newtons andre lov kan man da skrive d'Alemberts dynamiske prinsipp på den matematiske formen

${\displaystyle \sum _{a}(\mathbf {F} _{a}-m_{a}\mathbf {a} _{a})\cdot \delta \mathbf {r} _{a}=0.}$

Den totale kraften F_a som virker på partikkel a, består av en ytre kraft F_a^e og en indre føringskraft F_aⁱ slik at totalkraften er F_a = F_a^e + F_aⁱ . Føringskreftene kan ikke utføre noe arbeid slik at

${\displaystyle \sum _{a}\mathbf {F} _{a}^{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{a}=0.}$

Dermed inneholder d'Alemberts dynamiske prinsipp kun de ytre kreftene som virker på systemet,

${\displaystyle \sum _{a}(\mathbf {F} _{a}^{e}-m_{a}\mathbf {a} _{a})\cdot \delta \mathbf {r} _{a}=0}$,

slik at problemet er blitt betydelig forenklet. Her kan vi nå sette inn uttrykket for den virtuelle forskyvningen uttrykt i generelle koordinater,

${\displaystyle \sum _{a,n}(\mathbf {F} _{a}^{e}-m_{a}{\ddot {\mathbf {r} }}_{a})\cdot {\partial \mathbf {r} _{a} \over \partial q_{n}}\delta q_{n}=\sum _{n}{\Big (}Q_{n}-\sum _{a}m_{a}{\ddot {\mathbf {r} }}_{a}\cdot {\partial \mathbf {r} _{a} \over \partial q_{n}}{\Big )}\delta q_{n},}$

hvor vi har innført

${\displaystyle Q_{n}=\sum _{a}\mathbf {F} _{a}^{e}\cdot {\partial \mathbf {r} _{a} \over \partial q_{n}},}$

som kalles en generell kraft. Dette kommer frem ved å betrakte det spesielle tilfellet at de ytre kreftene kan avledes av et potensial V = V(r₁, r₂, ....). Da er

${\displaystyle \mathbf {F} _{a}^{e}=-{\boldsymbol {\nabla }}_{a}V}$,

slik at den generelle kraften blir

${\displaystyle Q_{n}=\sum _{a}{\boldsymbol {\nabla }}_{a}V\cdot {\partial \mathbf {r} _{a} \over \partial q_{n}}=-{\partial V \over \partial q_{n}},}$

som man ville forvente ved innføring av generelle koordinater.^[1]

Denne kraften opptrer sammen med akselerasjonsleddet som vi kan splitte i to ved å skrive

${\displaystyle \sum _{a}m_{a}{\ddot {\mathbf {r} }}_{a}\cdot {\partial \mathbf {r} _{a} \over \partial q_{n}}={d \over dt}{\Big (}\sum _{a}m_{a}{\dot {\mathbf {r} }}_{a}\cdot {\partial \mathbf {r} _{a} \over \partial q_{n}}{\Big )}-\sum _{a}m_{a}{\dot {\mathbf {r} }}_{a}\cdot {d \over dt}{\Big (}{\partial \mathbf {r} _{a} \over \partial q_{n}}{\Big )}.}$

Begge termene på høyre side har vi allerede vist at kan uttrykkes ved deriverte av den kinetiske energien T. Setter vi inn de resultatene her, vil hvert ledd i summen inneholde den generelle forskyvningen δq_n. Da alle disse er vilkårlige og uavhengige av hverandre, må derfor hver prefaktor til δq_n være null. Det betyr at den ene ligningen man startet ut fra, splittes opp i en ligning

${\displaystyle {d \over dt}{\Big (}{\partial T \over \partial {\dot {q}}_{n}}{\Big )}-{\partial T \over \partial q_{n}}=Q_{n}}$

for hver generell koordinat. Dermed har man funnet de nye bevegelsesligningene som følger fra d'Alemberts prinsipp.

Bevegelsesligningene kan gjøres enklere ved å uttrykke de generelle kreftene ved den generelle, potensielle energien V som ble omtalt over. Er denne uavhengig av hastighetene til partiklene, finner vi ved å innføre at Q_n = - ∂V/∂q_n, at bevegelsesligningene kan skrives som

${\displaystyle {d \over dt}{\Big (}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{n}}{\Big )}-{\partial L \over \partial q_{n}}=0,}$

hvor Lagrange-funksjonen er L = T - V. Dette er Euler-Lagrange-ligningen som først oppstod tidligere i forbindelse med løsningen av forskjellige variasjonsproblem. Den vil inneholde dobbeltderiverte av de variable slik at den er en annenordens differensialligning. En fullstendig løsning krever derfor to grensebetingelser for hver variabel. Vanligvis blir de angitt som initialbetingelser ved tiden t = 0 og kan være posisjon og hastighet ved dette tidspunktet.^[2]

Som et enkelt eksempel kan man betrakte en harmonisk oscillator med utslag q og kraftkonstant k. Den potensielle energien er derfor V =(1/2) kq² slik at Lagrange-funksjonen blir

${\displaystyle L={1 \over 2}m{\dot {q}}^{2}-{1 \over 2}kq^{2}.}$

Herfra følger at den deriverte

${\displaystyle {\partial L \over \partial {\dot {q}}}=m{\dot {q}},}$

mens ∂ L/∂ q = -kq slik at bevegelsesligningen blir

${\displaystyle m{d^{2}q \over dt^{2}}+kq^{2}=0.}$

Den generelle løsningen kan skrives på formen q(t) = a sin(ωt + φ) med vinkelfrekvens ω = √(k/m). Amplituden a og fasen φ er integrasjonskonstanter som må bestemmes ut fra gitte grensebetingelser.

For en partikkel med masse m er Lagrange-funksjonen mer generelt

${\displaystyle L={1 \over 2}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-V(\mathbf {r} ),}$

hvor V = V(r) er den potensielle energien i posisjonen r = (x,y,z). Nå er

${\displaystyle {\partial L \over \partial {\dot {\mathbf {r} }}}=m{\dot {\mathbf {r} }}}$

og ∂ L/∂ r = - ∇V som sammen gir bevegelsesligningen

${\displaystyle m{d\mathbf {v} \over dt}=-{\boldsymbol {\nabla }}V(\mathbf {r} ),}$

hvor v = dr/dt er hastigheten til partikkelen. Dette resultatet kjenner man igjen som Newtons andre ligning hvor F = - ∇V er kraften som virker på partikkelen. Det er ikke så overraskende da den jo er utgangspunktet for det hele.

Euler-Lagrange-ligningen gjelder også i det mer generelle tilfellet at den potensielle energien V er avhengig av hastighetene til partiklene på en slik måte at den generelle kraften kan skrives som

${\displaystyle Q_{n}=-{\partial V \over \partial q_{n}}+{d \over dt}{\Big (}{\partial V \over \partial {\dot {q}}_{n}}{\Big )}.}$

Det er tilfellet for en partikkel i et magnetisk felt B = ∇ × A hvor A = A(r,t) er vektorpotensialet. For en partikkel med ladning q er da den potensielle energien V = - q v⋅A når den har hastighet v = dr/dt. Fra Lagrange-funksjonen

${\displaystyle L={1 \over 2}m\mathbf {v} ^{2}+q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} }$

følger da bevegelsesligningen

${\displaystyle m{d\mathbf {v} \over dt}=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$

På høyre side opptrer nå Lorentz-kraften. Ut fra definisjonen av kryssproduktet mellom vektorer, virker den normalt på hastigheten. Den vil derfor ikke forandre størrelsen til hastigheten, men bare dens retning.^[3]

Et generelt system er beskrevet ved N generelle koordinater q = (q₁, q₂, ... , q_N). Disse behøver ikke å være komponenter av forskjellige posisjonsvektorer, men kan for eksempel oppstå ved bruk av ikke-kartesiske koordinatsystem. Begynnelsespunkt A og sluttpunkt B for bevegelsen er da begge angitt ved N slike koordinater. Virkningen må nå være stasjonær under variasjon q_n(t) → q_n(t) + δq_n(t) av alle disse koordinatene. Dermed får man en Euler-Lagrange-ligning for hver slik dynamisk variabel,

${\displaystyle {\partial L \over \partial q_{n}}-{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{n}}=0.}$

Hvis disse koordinatene ikke alle er uavhengige av hverandre, men oppfyller visse bibetingelser, kan det tas hensyn til ved bruk av metoden med Lagrange-multiplikator.

Det siste leddet i denne ligningen inneholder den tidsderiverte av hva som kalles den konjugerte impuls p_n til koordinaten q_n, det vil si

${\displaystyle p_{n}={\partial L \over \partial {\dot {q}}_{n}}.}$

Euler-Lagrange-ligningen kan derfor skrives som

${\displaystyle {dp_{n} \over dt}={\partial L \over \partial q_{n}},}$

som er en generell versjon av Newtons andre lov.

Hvis Lagrange-funksjonen av en eller annen grunn ikke inneholder en koordinat q_k slik at ∂ L/∂ q_k = 0, så betyr det at dp_k/dt = 0. Den tilhørende, konjugerte impuls er derfor uavhengig av tiden og dermed er

${\displaystyle p_{k}=konst}$

en bevegelseskonstant. Den tilsvarende variabel sies å være syklisk. Det kan i prinsippet være flere av dem, og de kan være til stor hjelp ved løsningen av Euler-Lagrange-ligningene for de andre koordinatene.^[1]

Fra den generelle variasjonsregningen vet man også at når tiden t ikke eksplisitt opptrer i Lagrange-funksjonen, vil størrelsen

${\displaystyle H=\sum _{n}p_{n}{\dot {q}}_{n}-L}$

være en bevegelseskonstant. Generelt er

${\displaystyle {dH \over dt}=\sum _{n}\left(p_{n}{\ddot {q}}_{n}+{dp_{n} \over dt}{\dot {q}}_{n}-{\partial L \over \partial q_{n}}{\dot {q}}_{n}-{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{n}}{\ddot {q}}_{n}\right)-{\partial L \over \partial t}.}$

Fra Euler-Lagrange-ligningen ser man her at de to midtre leddene i parentesen kansellerer hverandre. Det gjør også første og siste ledd i parentesen ut fra definisjonen av konjugert impuls. Dermed er

${\displaystyle {dH \over dt}=-{\partial L \over \partial t}.}$

Derfor er H = E en konstant når ∂ L/∂ t = 0. Denne bevegelseskonstanten er ikke noe annet enn den totale energien til systemet. Tid og energi er konjugerte variable.

I eksempelet over med den harmoniske oscillator finner vi den konjugerte impulsen ${\displaystyle p=m{\dot {q}}}$ slik at

${\displaystyle E=m{\dot {q}}^{2}-{1 \over 2}m{\dot {q}}^{2}+{1 \over 2}kq^{2}={1 \over 2}m{\dot {q}}^{2}+{1 \over 2}kq^{2},}$

som er summen E = T + V av kinetisk og potensiell energi. Uttrykt ved impulsen er

${\displaystyle H(q,p)={p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}kq^{2}}$

den totale energien til oscillatoren. Dette er et eksempel på det som generelt kalles en Hamilton-funksjon. Den danner grunnlaget for Hamilton-mekanikken som gir en alternativ beskrivelse av mekaniske system.

I mange realistiske tilfeller vil en partikkel bevege seg med en potensiell energi V som ikke avhenger av retningen til dens posisjonsvektor r, men bare av dens lengde r = |r|. Da er V = V(r) og systemet er symmetrisk under rotasjoner rundt origo. Kraften F = - ∇V peker da i radiell retning slik at dreiemomentet r × F på den er null. Dermed er dens dreieimpuls L= r × p en konstant vektor.

Man kan nå velge et aksekors med z-aksen langs dreieimpulsen. Da vil bevegelsen foregå i (x,y) - planet og kan beskrives ved bruk av polarkoordinater (r,φ) i dette planet. Da er x = r cosφ og y = r sinφ. Ved direkte derivasjon finner man hastighetskomponenten dx/dt = (dr/dt) cosφ - r sinφ(dφ/dt) og tilsvarende for komponenten dy/dt. Kvadrerer man disse uttrykkene og adderer sammen, finner man Lagrange-funksjonen

${\displaystyle L={m \over 2}{\Big (}{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}{\Big )}-V(r)}$

i dette koordinatsystemet. Vinkelen φ opptrer ikke her og er dermed en syklisk variabel. Den konjugerte impulsen

${\displaystyle p_{\phi }={\partial L \over \partial {\dot {\phi }}}=mr^{2}{\dot {\phi }}}$

som er dreieimpulsen, er derfor en bevegelseskonstant p_φ = k. I forbindelse med planeters bevegelse, er

${\displaystyle {dA \over dt}={1 \over 2}r^{2}{\dot {\phi }}}$

«flatehastigheten» som banen beskriver. At dreieimpulsen er konstant, betyr altså at denne flatehastigheten er uforanderlig. Dette er Keplers andre lov.^[3]

Resten av dynamikken til systemet er beskrevet ved den radielle koordinaten. Impulsen konjugert til r er

${\displaystyle p_{r}={\partial L \over \partial {\dot {r}}}=m{\dot {r}}}$

mens

${\displaystyle {\partial L \over \partial r}=mr{\dot {\phi }}^{2}-{dV \over dr},}$

slik at Euler-Lagrange-ligningen blir

${\displaystyle m{\ddot {r}}={k^{2} \over mr^{3}}-{dV \over dr}.}$

Dette er en andre ordens differensialligning som kan løses analytisk for Newtons gravitasjonslov V = - GmM/r hvor M er sentralmassen og G er gravitasjonskonstanten. Første ledd på høyre side er det effektive potensialet som skyldes sentrifugalkraften. De bundne løsningene gir ellipsebaner som er innholdet av Keplers første lov.

Generelt ved bruk av krumlinjete koordinater x^μ  skrives den kinetiske energien for en ikke-relativistisk partikkel som

${\displaystyle T={1 \over 2}mv^{2}={1 \over 2}m{\Big (}{ds \over dt}{\Big )}^{2}={1 \over 2}mg_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}$

når man gjør bruk av Einsteins summekonvensjon og summerer over par med like indekser. Her er g_μν  den metriske tensoren for disse koordinatene og ${\displaystyle v^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }=dx^{\mu }/dt}$ er komponentene til hastigheten. Hvis partikkelen har en potensiell energi som er uavhengig av hastigheten, er Lagrange-funksjonen

${\displaystyle L={1 \over 2}mg_{\mu \nu }(x)v^{\mu }v^{\nu }-V(x)}$

Herav finnes den konjugerte impulsen p_λ = ∂ L/∂ v^λ = mg_λμv^μ. Euler-Lagrange-ligningen tar da formen dp_λ/dτ = ∂ L/∂ x^λ hvor

${\displaystyle {dp_{\lambda } \over dt}=mg_{\lambda \mu }{dv^{\mu } \over dt}+m{\partial g_{\lambda \mu } \over \partial x^{\nu }}v^{\mu }v^{\nu }=mg_{\lambda \mu }{dv^{\mu } \over dt}+{m \over 2}{\Big (}{\partial g_{\lambda \mu } \over \partial x^{\nu }}+{\partial g_{\lambda \nu } \over \partial x^{\mu }}{\Big )}v^{\mu }v^{\nu }}$

etter å ha skrevet det siste leddet på en mer symmetrisk form. I tillegg er

${\displaystyle {\partial L \over \partial x^{\lambda }}={m \over 2}{\partial g_{\mu \nu } \over \partial x^{\lambda }}v^{\mu }v^{\nu }-{\partial V \over \partial x^{\lambda }}}$

slik at den generelle bevegelsesligningen blir

${\displaystyle m\left(g_{\lambda \mu }{dv^{\mu } \over dt}+\Gamma _{\lambda \mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }\right)=-{\partial V \over \partial x^{\lambda }}}$

Den kan betraktes som Newtons andre ligning skrevet i et vilkårlig koordinatsystem. Innholdet i parentesen er det tilfellet et uttrykk for akselerasjonen hvor de deriverte av den metriske tensoren inngår i kombinasjonen

${\displaystyle \Gamma _{\lambda \mu \nu }={1 \over 2}{\Big (}{\partial g_{\lambda \mu } \over \partial x^{\nu }}+{\partial g_{\lambda \nu } \over \partial x^{\mu }}-{\partial g_{\mu \nu } \over \partial x^{\lambda }}{\Big )}}$

som er Christoffel-symbolet av første type. Det er symmetrisk i de to siste indeksene.

For en fri partikkel er potensialet V = 0. Dens bevegelse er derfor gitt ved en enklere differensialligning som finnes ved å multiplisere med den kontravariante metrikken g^σλ på begge sider. Det gir

${\displaystyle {dv^{\mu } \over dt}+\Gamma _{\;\mu \nu }^{\lambda }v^{\mu }v^{\nu }=0}$

etter å ha innført det andre Christoffel-symbolet ${\displaystyle \Gamma _{\;\mu \nu }^{\sigma }=g^{\sigma \lambda }\Gamma _{\lambda \mu \nu }}$. Dette resultatet kalles den geodetiske ligningen og beskriver den korteste veien som forbinder begynnelsespunkt og sluttpunkt. En slik spesiell bane kalles en geodetisk kurve og karakteriserer bevegelsen til en fri partikkel. Dette gjelder hvis den for eksempel beveger seg på en krum flate eller i generell relativitetsteori.

Betrakter man en fri partikkel som beveger seg i et plan og beskrevet ved polarkoordinatene (r,φ), er Lagrange-funksjonen

${\displaystyle L={m \over 2}\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)}$

Euler-Lagrange-ligningen for den sykliske variable φ  kan skrives som

${\displaystyle mr^{2}{d\phi \over dt}=k}$

Formen til banen følger fra ligningen

${\displaystyle m{d^{2}r \over dt^{2}}={k^{2} \over mr^{3}}}$

for den radielle variable. Ved å benytte at d/dt = (dφ/dt)d/dφ, kan den nå omformes til

${\displaystyle {d \over d\phi }\left({1 \over r^{2}}{dr \over d\phi }\right)={1 \over r}}$

som er den geodetiske ligningen for banen. Ved å innføre u = 1/r  som ny banevariabel, tar den formen

${\displaystyle {d^{2}u \over d\phi ^{2}}+u=0}$

som er den harmoniske svingeligningen. Den generelle løsningen kan skrives som u = (1/b)  cos(φ - φ₀)  hvor b og φ₀  er integrasjonskonstanter. Bevegelsen til den frie partikkelen er derfor gitt ved baneligningen

${\displaystyle r\cos(\phi -\phi _{0})=b}$

som beskriver en rett linje i polarkoordinater. Det punkt på banen som er nærmest til origo, har avstand b og ligger i retning φ₀. Geometrisk følger dette resultatet fra cosinus til vinkelen θ - θ₀  i den rettvinklet trekanten som har hosliggende katet b  og hypotenus r.

Den geodetiske ligningen er vanligvis en differensialligning av andre orden. Men når partikkelen har en konstant energi som her, kan man i stedet finne en geodetisk ligning av første orden mer direkte fra den konstante energien E. For en fri partikkel er den lik med Lagrange-funksjonen L. Da er

${\displaystyle \left({k \over mr^{2}}{dr \over d\phi }\right)^{2}+r^{2}\left({k \over mr^{2}}\right)^{2}={2E \over m}}$

Det betyr at

${\displaystyle {d\phi \over dr}={1 \over r{\sqrt {Br^{2}-1}}}}$

etter å ha innført konstanten B = 2mE/k² = 1/b². Skriver man nå r = b/x, forenkles denne ligningen til

${\displaystyle {d\phi \over dx}=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

som kan løses ved direkte integrasjon. Det gir φ = arccosx + φ₀  eller x = cos(φ - φ₀). Dette er igjen samme ligning for den rette linjen som partikkelen følger.^[2]

• Variasjonsregning
• Hamilton-mekanikk
• Virkningsprinsipp
• Hamiltons virkningsprinsipp
• Maupertuis' virkningsprinsipp

• A. Sommerfeld, Vorlesungen über Theoretische Physik, Band I: Mechanik, Akademische Verlagsgellschaft, Leipzig (1964).
• L. N. Hand and J. D. Finch, Analytical Mechanics, Cambridge University Press, England (2008).