Lorentz-oscillator

Lorentz-oscillatoren er en klassisk modell for et atom med elektriske ladninger som er bundet fast med harmoniske krefter. Den kan gi en kvalitativ forklaring av mange elektromagnetiske egenskaper til forskjellige materialer, spesielt optisk dispersjon. Selv om modellen ble laget mange år før kvantemekanikken ble etablert, gir den likevel resultat som har mange likhetspunkter med hva som følger av denne mer moderne teorien.

Denne modellbeskrivelsen av et atom ble utviklet over flere år på slutten av 1800-tallet for å skaffe en forståelse av hvordan elektromagnetiske felt vekselvirker med materie. Elektronet var ennå ikke oppdaget, og man hadde lite eller ingen kunnskap om atomenes oppbygning. Utledningen av Sellmeiers dispersjonsformel var basert på antagelsen at ladninger i dielektriske materialer var bundet av harmoniske krefter. Denne beskrivelsen ble forbedret av Helmholtz. Omtrent samtidig utviklet Paul Drude en lignende modell hvor bevegelsen til frie ladninger kunne forklare metallers elektriske ledningsevne.^[1]

Modellen fikk et gjennombrudd i 1896 da Hendrik Lorentz brukte den til å forklare Zeeman-effekten som akkurat da var oppdaget. I sine forelesninger ved Columbia University i 1906 presenterte han modellen i sin endelige form.^[2] I årene før hadde også Drude gjort lignende betraktninger. De var sammenfattet i hans lærebok i optikk som kom ut allerede i 1900. Derfor bærer Lorentz-oscillatoren også ofte Drudes navn.^[3]

På slutten av 1800-tallet tenkte man seg materien bestående av små bestanddeler som ble kalt molekyler. Man antok at de kunne bestå av mindre deler som inneholdt elektrisk ladning. De kunne bevege seg i et elektrisk felt og ble omtalt som ioner. På denne måten hadde man en forståelse av elektrisk strøm . Betegnelsen atom ble brukt for udelelige bestanddeler som molekyler og ioner var bygget opp av. Nå i dag er det kjent at de elektriske ladningene som inngår i modellen, er elektroner etter at de ble oppdaget i 1897.^[1]

Lorentz-oscillatoren består av et elektron med ladning e og masse m som er bundet til sentrum av atomet med en attraktiv kraft som er proporsjonal med posisjonen r til elektronet. Den kan derfor skrives som F_b = - k r hvor k er den elastiske konstanten. Kraften virker derfor som en fjær og vil gi elektronet harmoniske svingninger hvis det ikke var påvirket av andre krefter.

Da elektromagnetisk stråling kan absorberes av materialet, betyr det at bevegelsen til elektronet vil bremses av en kraft som som er proporsjonal med dets hastighet v = d r/dt. Dette var foreslått av Helmholtz og benyttet i Drude-modellen for metallers ledningsevne. Skriver man denne friksjonskraft som F_f = - f v, blir elektronets bevegelsesligning

${\displaystyle m{d^{2}\mathbf {r} \over dt^{2}}+f{d\mathbf {r} \over dt}+k\mathbf {r} =e\mathbf {E} (t)}$

hvor E(t) er det elektriske feltet som virker på elektronet. Dette kan skyldes et ytre felt eller elektromagnetisk stråling som materialet er utsatt for.^[4]

Bevegelsesligningen beskriver en dempet, harmonisk oscillator som er drevet av en ytre, elektrisk kraft F_e = e E. Generelt vil den forårsake en meget komplisert bevegelse, men i det spesielle tilfellet at det elektriske feltet varierer periodisk med tiden med en fast vinkelfrekvens ω = 2π f, kan den stasjonære løsningen lett finnes. Feltet kan nå skrives på kompleks form som den reelle delen av E(t) = E₀e ^-iωt. Oscillatorens utslag vil da også variere periodisk med samme frekvens. Man kan da skrive det som den reelle delen av r(t) = r(ω)e ^-iωt  hvor nå

${\displaystyle \mathbf {r} (\omega )={e \over m}{\mathbf {E} _{0} \over \omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\gamma \omega }}$

etter å ha innført størrelsene ω₀² = k/m og γ = f /m. Vinkelfrekvensen ω₀ er den naturlige frekvens til oscillatoren når den ikke er dempet.

Forskyvningen r av elektronet i atomet gir det et elektrisk dipolmoment p = e r. Det kan skrives som p = α_e ε₀E hvor den frekvensavhengige polarisasjonen

${\displaystyle \alpha _{e}(\omega )={e^{2} \over \varepsilon _{0}m}{1 \over \omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\gamma \omega }}$

Denne funksjonen er det viktigste resultatet fra modellen og har mange anvendelser avhengig av hva slags materiale atomet er en bestanddel av.^[4]

Den fysiske betydningen av den atomære polarisasjonen p kan finnes først når man vet hvordan materialet er bygget opp. Fra den frekvensavhengige funksjonen α_e(ω) kan man da beregne dets elektriske susceptibiletet χ_e(ω). Den relative permittiviteten

${\displaystyle \varepsilon _{r}(\omega )=1+\chi _{e}(\omega )}$

vil generelt være kompleks og kan skrives på formen ε_r = ε₁ + iε₂ . Derfor vil materialets brytningsindeks også bli kompleks og kan skrives som

${\displaystyle n(\omega )={\sqrt {\varepsilon _{r}(\omega )}}=n_{1}(\omega )+in_{2}(\omega )}$

hvor

${\displaystyle \varepsilon _{1}=n_{1}^{2}-n_{2}^{2}\;\;{\text{og}}\;\;\varepsilon _{2}=2n_{1}n_{2}}$.

Her kan den imaginære delen n₂  føres tilbake til dempningen γ  i Lorentz-oscillatoren. Det er den som forårsaker at lys og annen elektromagnetisk stråling vil absorberes av materialet.^[5]

Et metall er karakterisera ved at det leder elektrisk strøm og varme godt. Dette skyldes at elektroner som ikke er bundet til bestemte atomer, men kan bevege seg fritt omkring i materialet. Da ingen elastisk kraft holder dem på plass, vil frekvensen ω₀ = 0. Hvis hver volumenhet av metallet inneholder N elektroner, vil susceptibiliteten bli χ_e(ω) = N α_e(ω). Modellen resulterer derfor i en relativ permittivitet som det er hensiktsmessig å skrive som

${\displaystyle \varepsilon _{r}(\omega )=1-{\omega _{p}^{2} \over \omega ^{2}+i\gamma \omega }}$

hvor

${\displaystyle \omega _{p}^{2}={Ne^{2} \over \varepsilon _{0}m}}$

er kvadratet av «plasmafrekvensen» til metallet. For frekvenser i intervallet γ < ω < ω_p vil brytningsindeksen til metallet være tilnærmet gitt ved

${\displaystyle n^{2}(\omega )=1-{\omega _{p}^{2} \over \omega ^{2}}}$

Da høyresiden her vil være negative, vil brytningsindeksen bli rent imaginær og metallet reflekterer all stråling. Det er derfor metallet virker glinsende.^[6]

For frekvenser mye høyere enn plasmafrekvensen, vil den relative permittiviteten nærme seg verdien ε_∞ = 1, og strålingen går gjennom metallet som om det skulle vært vakuum. I virkeligheten ville det komme inn et ekstra bidrag fra resten av metallet som inneholder de stasjonære, positive ionene.

Fra Maxwells ligninger kan den relative permittiviteten uttrykkes ved en frekvensavhengig, elektrisk ledningsevne σ(ω) som

${\displaystyle \varepsilon _{r}(\omega )=\varepsilon _{\infty }+{i\sigma (\omega ) \over \varepsilon _{0}\omega }}$

Benyttes her resultatet

${\displaystyle \sigma (\omega )={\sigma \over 1-i\omega \tau }}$

fra Drude-modellen for frie elektroner i et metall, kommer man frem til samme resultat for den relative permittiviteten som Lorentz-oscillatoren gir. Da må kollisjonstiden τ = 1/γ og σ = τε₀ω_p² = Ne²τ/m  være den statiske ledningsevnen.^[4]

Når atomene i et dielektrisk materiale befinner seg langt fra hverandre, kan man se bort fra det elektriske feltet som skyldes naboatomer. Dette gjelder for gasser under normale forhold. Feltet som virker på hvert atom kan da settes likt med det ytre feltet. Den relative permittiviteten til gassen er da ε_r = 1 + N α_e(ω). Når det siste leddet her antas å være lite, vil ikke brytningsindeksen forandres mye fra verdien n = 1 som den har i vakuum. Ved å benytte at ε_r - 1 = (n + 1)(n - 1), finner man derfor med god tilnærmelse brytningsindeksen

${\displaystyle n(\omega )=1+{Ne^{2} \over 2\varepsilon _{0}m}{1 \over \omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\gamma \omega }}$

Den reelle delen blir

${\displaystyle n_{1}(\omega )=1+{Ne^{2} \over 2\varepsilon _{0}m}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2} \over (\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\gamma ^{2}\omega ^{2}}}$,

som er jevnt økende med frekvensen. Dette fenomenet kalles normal dispersjon og er typisk for gasser i visse frekvensintervall. Samtidig vil den imaginære delen

${\displaystyle n_{2}(\omega )={Ne^{2} \over 2\varepsilon _{0}m}{\gamma \omega \over (\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\gamma ^{2}\omega ^{2}}}$,

også øke til et maksimum der frekvensen til den påtrykte strålingen ω = ω₀. Dette er typisk for en dempet oscillator ved resonans. For økende frekvenser blir den reelle delen n₁ < 1 som kalles anomal dispersjon.^[7]

Denne modellen beskriver de optiske egenskapene til en gass kvalitativt ganske godt for frekvenser i nærheten av et absorbsjonsmaksimum. Men reelle atomer vil oppvise mange frekvenser hvor stråling absorberes spesielt sterkt, noe som tilsvarer at et bundet elektron kan gå over i mange andre kvantetilstander. Denne effekten kan til en viss grad inkluderes i den klassiske beskrivelsen ved å la permittiviteten få bidrag fra flere Lorentz-oscillatorer med forskjellige verdier for bindingsfrekvensen ω₀ og tettheten N. Denne erstattes da med en «oscillatorstyrke» som må bestemmes ut fra målinger.^[5]

Richard Feynman har vist hvordan man kan komme frem til samme resultat for brytningsindeksen i en gass i en mer realistisk beskrivelse enn den enkle Lorentz-oscillatoren.^[8] Den innkommende strålingen gir elektronene i et atom en bevegelse som får dem til å utseende ny stråling i alle retninger med lyshastigheten c. Ved interferens med den innkommende bølgen vil denne dermed få en litt annen fasehastighet c/n som akkurat gir brytningsindeksen til mediet. Denne forklaringen kan også føres tilbake til Lorentz.^[2]

I et dielektrisk materiale hvor atomene ligger meget tett, vil deres polarisasjon P = N p gi opphav til et elektrisk felt som vil påvirke andre atom. Dette kommer i tillegg til det ytre feltet og gir en ny sammenheng mellom den atomære polarisasjonen α_e(ω) og brytningsindeksen n(ω). Disse to størrelsene er nå forbundet ved Clausius-Mossottis relasjon som gir

${\displaystyle 3{n^{2}-1 \over n^{2}+2}=N\alpha _{e}={Ne^{2} \over \varepsilon _{0}m}{1 \over \omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\gamma \omega }}$

Denne relasjonen bærer også navnet til Lorentz og Ludvig Lorenz. Resultatet er et mer komplisert uttrykk for materialets dispersjon og kan tilpasses forskjellige observasjoner.^[9]

• J. Colton, Lorentz Oscillator Model of the Dielectric Function, forelesning ved Brigham Young University (2020)
• Youtube, Lorentz Oscillator Model, EMPossible.