Matrisemekanikk

Matrisemekanikk betegner den første versjon av moderne kvantemekanikk som ble utarbeidet av Werner Heisenberg sommeren 1925. I månedene som fulgte videreutviklet han denne nye versjonen sammen med Max Born og Pascual Jordan. Dens navn skyldes at posisjon og hastighet til en partikkel blir beskrevet ved bruk av matriser istedenfor vanlige tall som i klassisk mekanikk.

Året etter lanserte Erwin Schrödinger en helt annen og alternativ bølgemekanikk. Den viste seg snart å være matematisk ekvivalent med Heisenbergs matrisemekanikk. Denne sammenhengen ble spesielt klarlagt av Paul Dirac et par år senere og viste at Heisenbergs formulering er spesielt tett forbundet med klassisk Hamilton-mekanikk.

Selv om Schrödingers bølgemekanikk ofte er mer anvendelig for praktiske beregninger innen atomfysikken, er Heisenbergs matrisemekanikk på mange måter mer generell. Det er en videreføring av denne som benyttes i kvantefeltteori der man ikke lenger kvantiserer bevegelsen til enkelte partikler, men gir en kvantemekanisk beskrivelse av det som i klassisk fysikk er kontinuerlige felt. På den måten oppstår partikler som kvanter i de fundamentale teoriene som inngår i standardmodellen for elementærpartikler.

Heisenberg ble tildelt nobelprisen i fysikk 1932 for sine bidrag til moderne kvantemekanikk. Han mottok den året etterpå sammen med Schrödinger og Dirac som fikk den av samme grunn i 1933.

Frem til 1920 hadde Bohrs atommodell og dens generalisering representert ved Bohr-Sommerfeld-kvantisering, gitt en god forståelse av de viktigste egenskapene til atomene. Den var basert på at man beregnet klassiske baner til partiklene som deretter ble pålagt visse kvantebetingelser. De tillatte banene kunne dermed tilordnes bestemte kvantetall som bestemte deres form og mulige energier. Hver slik stasjonær kvantetilstand med kvantetall n har en viss energi E_n. Ved overgang til en annen slik tilstand med energi E_m  sendes det ut et foton med vinkelfrekvens ω_mn  bestemt ved

${\displaystyle E_{m}-E_{n}=\hbar \omega _{mn}}$

der ħ  er den reduserte Planck-konstanten. Denne sammenhengen mellom energiforandring og frekvens kan føres tilbake til Plancks første arbeid med varmestråling og Einsteins forklaring av den fotoelektriske effekten. Den tilfredsstiller også kombinasjonsprinsippet

${\displaystyle \omega _{mn}=\omega _{mk}+\omega _{kn}}$

som Bohr hadde lagt stor vekt på.^[1]

På tross av all den fremgangen denne halvklassiske fremgangsmåten representerte, viste den seg likevel ikke i stand til å gi særlig nøyaktige resultat for mer kompliserte system som heliumatomet med to elektroner eller det ioniserte hydrogenmolekylet med bare ett elektron. Max Born ved Universitetet i Göttingen var sentral i dette arbeidet. Stadig mer avanserte metoder fra gammel himmelmekanikk ble benyttet i denne «atommekanikk» I 1924 innså han for å løse problemene måtte man i stedet utvikle en ny fysikk som han kalte for «kvantemekanikk» uten å vite nøyaktig hva den ville inneholde.^[2]

En viktig grunn for at Born hadde innsett at den gamle kvantefysikken måtte erstattes med noe nytt, var hans samarbeid med den unge Werner Heisenberg. Han var utdannet ved Universitetet i München i forskningsgruppen til Arnold Sommerfeld, men arbeidet fra 1923 som assistent for Born. Spesielt hadde Heisenbergs arbeide med Zeeman-effekten viste at kvantetallene til et system kunne ha større betydning enn nøyaktig kjennskap til de klassiske banene for elektronene i atomene.

Høsten 1924 begynte Heisenberg å arbeide ved Bohr-instituttet i København. Der møtte han Hendrik Kramers som på den tiden var spesielt opptatt av optisk dispersjon. Det var da blitt klargjort at denne var direkte forbundet med mulige overganger mellom forskjellige energitilstander atomene kunne ha og de tilsvarende overgangsfrekvensene ω_mn. Dette omhandlet i en viss grad samme problem som Einstein hadde analysert ved innføring av strålingskoeffisienter som gir sannsynligheten for at slike overganger skal finne sted.^[3]

En viss forståelse for disse sammenhengene hadde man fra Bohrs korrespondanseprinsipp som sier at for store kvantetall m  og n  kan disse frekvensene finnes fra omløpstidene til elektronene i sine klassiske baner. Hvis en slik bane har omløpsfrekvensen ω, kan man utvikle en koordinat x(t) som beskriver banen, i en Fourier-rekke

${\displaystyle x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x_{k}e^{ik\omega t}}$

hvor den komplekse Fourier-komponenten x_k  inneholder informasjon om banens eksakte form. Da denne koordinaten er reell, må den oppfylle betingelsen

${\displaystyle x_{k}^{*}=x_{-k}}$

Fra klassisk strålingsteori følger at denne komponenten gir opphav til elektromagnetisk stråling med frekvens ω_k = kω og intensitet proporsjonal med kvadratet |x_k|². Samtidig sier korrespondanseprinsippet at den oppstår i Bohrs atommodell som overgangen mellom to tilstander med store kvantetall m  og n  som oppfyller m - n = k. Det grunnleggende spørsmål var dermed om denne beskrivelsen kunne utvides til å gjelde for alle andre tilstander også.^[4]

Sommeren 1925 var Heisenberg tilbake i Göttingen. Han var nå overbevist om at man måtte forkaste alle gamle idéer om elektroner i klassiske baner som man aldri vil være i stand til å studere. En ny teori for atomene måtte kun inneholde observerbare størrelser som frekvenser til forskjellige spektrallinjer og deres intensitet.^[2]

Da han der i juni fikk et kraftig angrep av høysnue, reiste han ut til øya Helgoland hvor det var mindre pollen. Under dette korte oppholdet utarbeidet han grunnlaget for en ny kvanteteori basert på disse prinsippene. Han erstattet de klassiske Fourier-komponentene x_k = x_m-n  med nye, komplekse størrelser x_mn  hvor begge tilstandene inngår på en likeverdig måte. Deres variasjon med tiden tok han fra korrespondanseprinsippet som gir sammenhengen

${\displaystyle x_{m-n}e^{i(m-n)\omega t}\rightarrow x_{mn}e^{i\omega _{mn}t}}$

hvor frekvensen ω_mn  skal være gitt ved differansen mellom energiene til de to tilstandene på den måten Einstein og Bohr hadde innført. Dynamiske variable i den nye teorien er nå størrelsene

${\displaystyle x_{mn}(t)=x_{mn}e^{i\omega _{mn}t}}$

med en absoluttverdi |x_mn | som bestemmer intensiteten av den tilsvarende spektrallinjen. De vil også inngå i strålingskoeffisienter B_mn  til Einstein. Da disse er symmetriske i sine to indekser, må Heisenbergs variable ha egenskapen

${\displaystyle x_{mn}^{*}=x_{nm}}$

som også følger naturlig fra korrespondanseprinsippet.^[3]

Av to dynamiske variable x  og y  kan man beregne deres produkt ut fra kravet at (xy)_mn  også skal ha en variasjon med tiden gitt ved frekvensen ω_mn. Det fikk Heisenberg til å definere produktet som

${\displaystyle (xy)_{mn}(t)=\sum _{k}x_{mk}(t)y_{kn}(t)=\sum _{k}x_{mk}y_{kn}e^{i\omega _{mn}t}}$

Mer kompliserte produkt med flere faktorer kan på denne måten beregnes.

In Helgoland war ein Augenblick, in dem es mir wie eine Erleichtung kam, als ich sah, dass die Energie zeitlich konstant war. Es war ziemlich spät in der Nacht. Ich rechnete es mühsam aus, und es stimmte. Da bin ich auf einen Felsen gestiegen und habe den Sonnenaufgang gesehen und war glücklich.

Heisenberg til van der Waerden.^[5]

Istedenfor å beskrive et hydrogenatom med denne nye kvantemekanikken, valgte Heisenberg å betrakte et enklere system med en partikkel som beveger seg kun i én dimensjon under påvirkning av en kraft som i det enkleste tilfellet er harmonisk. Den klassiske energien til partikkelen kan dermed skrives som

${\displaystyle E={1 \over 2}p^{2}+{1 \over 2}\omega ^{2}x^{2}}$

hvor impulsen til partikkelen er gitt ved den tidsderiverte p = dx/dt. Energien er en funksjon av de dynamisk variable x  og p  som kalles Hamilton-funksjonenen H(x,p)  for partikkelen.

Heisenberg oversatte denne klassiske beskrivelsen til å bestemme de nye, dynamiske variable x_mn  og p_mn  fra

${\displaystyle H_{mn}={1 \over 2}(p^{2})_{mn}+{1 \over 2}\omega ^{2}(x^{2})_{mn}}$

Selv om begge leddene her på høyre side varierer med tiden, må summen av dem likevel være konstant på grunn av at energien til systemet ikke forandrer seg med tiden. De kvantiserte energiene E_n  er gitt ved venstre side av ligningen som skal være E_n  når m = n og null hvis indeksene er forskjellige. Ved bruk av Kroneckers deltasymbol kan dette kravet skrives som H_mn = E_n δ_mn  som nå er et uttrykk for energiens bevarelse.^[4]

De kvantemekaniske variable x_mn  og p_mn  er ikke uavhengige av hverandre da

${\displaystyle p_{mn}(t)={d \over dt}x_{mn}(t)=i\omega _{mn}x_{mn}(t)}$

Dette medfører at de er forbundet gjennom de fundamentale kvantiseringsbetingelsene

${\displaystyle \sum _{k}(x_{nk}p_{kn}-p_{nk}x_{kn})=i\hbar }$

som skal gjelde for alle tilstander karakterisert ved kvantetallet n. Heisenberg kom frem til dem ved bruk av en summeregel som var blitt oppdaget i forbindelse med optisk dispersjon. Ved å innsette her p_kn  uttrykt ved x_kn, tar den formen

${\displaystyle 2\sum _{k}\omega _{kn}|x_{nk}|^{2}=\hbar .}$

Allerede under oppholdet på Helgoland gikk Heisenberg i gang med å beregne energien til oscillatoren når den i tillegg er under påvirkning av en svak, ikke-harmonisk kraft. I nyere tid er detaljene ved disse mer kompliserte beregningene grundig gjennomgått.^[6]

På vei tilbake fra Helgoland stoppet Heisenberg i Hamburg for å diskutere denne nye kvantemekanikken med sin venn og kollega Wolfgang Pauli. Tilbake i Göttingen forklarte han i et brev den 24. juni detaljene rundt kvantiseringen av en enkel harmonisk oscillator.^[4]

Han tok da utgangspunkt i den klassiske bevegelsen til oscillatoren. Når den har frekvens ω, kan utslaget eller posisjonen skrives som

${\displaystyle x(t)=ae^{-i\omega t}+ae^{i\omega t}}$

hvor a er en amplitude som man her kan velge å være reell. I den kvantemekaniske beskrivelsen vil det derfor bare opptre to typer med variable tilsvarende størrelsene x_n,n±1 med en tidsvariasjon

${\displaystyle x_{n,n\pm 1}(t)=a_{n,n\pm 1}e^{\mp i\omega t}}$

som følger fra korrespondanseprinsippet. Da det klassiske utslaget x(t ) er reelt, vil også a_n,n±1 = a_n±1,n  være reelle størrelser. De bestemmer de nye variable som beskriver den kvantemekaniske impulsen,

${\displaystyle p_{n,n\pm 1}(t)=\mp i\omega \,a_{n,n\pm 1}e^{\mp i\omega t}}$

Fra de diagonale elementene av Hamilton-funksjonen finnes nå den kvantiserte energien til oscillatoren som

${\displaystyle E_{n}={1 \over 2}\sum _{k}{\big (}p_{nk}p_{kn}+\omega ^{2}x_{nk}x_{kn}{\big )}}$

Summen innholder bare bidrag fra k = n ±1 og gir

${\displaystyle E_{n}=\omega ^{2}(a_{n,n+1}^{2}+a_{n,n-1}^{2})}$

På samme måte gir kvantiseringsbetingelsene

${\displaystyle \sum _{k=n\pm 1}(x_{nk}p_{kn}-p_{nk}x_{kn})=i\hbar }$

at disse overgangsamplitudene må oppfylle

${\displaystyle a_{n,n+1}^{2}-a_{n,n-1}^{2}={\hbar \over 2\omega }}$

Da oscillatoren må ha en grunntilstand med lavest energi, kan man betegne denne med kvantetallet n = 0. Overganger til tilstander med lavere energi vil da ikke finne sted. Kvantiseringsbetingelsene er dermed oppfylt for

${\displaystyle a_{n,n+1}^{2}={\hbar \over 2\omega }(n+1)}$

som også gir størrelsen av amplitudene a_{n,n - 1} = a_{n - 1,n}. Den kvantiserte energien til oscillatoren er dermed

${\displaystyle E_{n}=\omega ^{2}(n+1+n){\hbar \over 2\omega }=(n+1/2)\hbar \omega }$

hvor n = 0, 1, 2, 3 og så videre. Matrisene som beskriver den kvantemekaniske oscillatoren, er derfor uendelig store. For eksempel utgjør amplitudene a_mn  der m = n - 1 den uendelige matrisen

${\displaystyle {\hat {a}}={\sqrt {\hbar \over 2\omega }}\,{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\cdots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\cdots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\cdots \\0&0&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}},}$

eller den transponerte matrisen ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ for m = n + 1. Herav finnes de tilsvarende matrisene for de dynamisk variable x_mn  og p_mn. Disse resultatene og fremgangsmåten er praktisk den samme som benyttes i dag ved kvantisering av harmonisk oscillator.

Bortsett fra energien E₀ = ħω/2 for grunntilstanden til oscillatoren, er dette samme resultat som også var funnet ved halv-klassisk Bohr-Sommerfeld-kvantisering. Nødvendigheten av en slik «nullpunktsenergi» i grunntilstanden hadde tidligere vært diskutert i forskjellig andre sammenhenger. I dag har den fått ny betydning.^[7]

Tilbake i Göttingen skrev Heisenberg ferdig et manuskript hvor han sammenfattet sin nye kvanteteori.^[8] Da Max Born fikk lese det i midten av juli, så han at det spesielle produktet Heisenberg hadde innført for de dynamiske variable, betyr at de utgjør elementene til matriser. Heisenberg var på den tiden ikke kjent med matriseregning. Men han hadde oppdaget at produktet generelt er avhengig av hvilken rekkefølge de variable inngår i multiplikasjonen. Det tilsvarer at produktet av matriser ikke er en kommutativ operasjon.^[9]

Da Heisenberg måtte reise på et kortere besøk til Universitetet i Cambridge og skulle være ved Bohrs institutt i København om høsten, spurte Born sin student Pascual Jordan om han vil være med å videreutvikle arbeidet til Heisenberg ved bruk av matriser. De variable x_mn  og p_mn  betraktes dermed som elementer av matrisene ${\displaystyle {\hat {x}}}$ og ${\displaystyle {\hat {p}}}$, det vil si

${\displaystyle x_{mn}=({\hat {x}})_{mn},\;\;\;p_{mn}=({\hat {p}})_{mn}}$

En klassisk Hamilton-funksjon

${\displaystyle H={p^{2} \over 2m}+U(x)}$

kan dermed gi opphav til en tilsvarende Hamilton-matrise

${\displaystyle {\hat {H}}={{\hat {p}}^{2} \over 2m}+U({\hat {x}})}$

Denne spesielle matrisen må her være diagonal med element H_mn = E_n δ_mn som vil bli de kvantiserte energiene til systemet.

Ved hjelp av Hamilton-matrisen kan bevegelsesligningene skrives mer kompakt. For eksempel vil

${\displaystyle {d \over dt}x_{mn}(t)=i\omega _{mn}x_{mn}(t)}$

og den tilsvarende ligningen for p_mn(t ) ta formen

${\displaystyle i\hbar {d \over dt}{\hat {x}}=[{\hat {x}},{\hat {H}}],\;\;\;i\hbar {d \over dt}{\hat {p}}=[{\hat {p}},{\hat {H}}]}$

Det er en konsekvens av sammenhengen ħω_mn = E_m - E_n  til Einstein-Bohr mellom frekvenser og energidifferanser samt definisjonen

${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {b}}]={\hat {a}}{\hat {b}}-{\hat {b}}{\hat {a}}}$

av kommutatoren mellom to matriser.^[10]

Slike kvantemekaniske ligninger involverer matriser som generelt ikke kommuterer med hverandre. Mange beregninger forenkles ved bruk av et par grunnregler for regning med kommutatorer. Fra definisjonen følger at

${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {b}}+{\hat {c}}]=[{\hat {a}},{\hat {b}}]+[{\hat {a}},{\hat {c}}]}$ og ${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {b}}{\hat {c}}]=[{\hat {a}},{\hat {b}}]{\hat {c}}+{\hat {b}}[{\hat {a}},{\hat {c}}]}$

Med bruk av den gitte formen til Hamilton-matrisen følger nå for impulsen,

${\displaystyle {\hat {p}}=m{d \over dt}{\hat {x}}={1 \over 2i\hbar }[{\hat {x}},{\hat {p}}^{2}]={1 \over 2i\hbar }{\big (}[{\hat {x}},{\hat {p}}]{\hat {p}}+{\hat {p}}[{\hat {x}},{\hat {p}}]{\big )}}$

Denne ligningen er oppfylt ganske enkelt hvis kommutatoren

${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$

er proporsjonal med enhetsmatrisen som man implisitt tenker seg på høyre side. Mulige ikke-diagonale ledd på venstre side er derfor null. I sitt opprinnelige arbeid hadde Heisenberg bare behøvd de diagonale elementene av kommutatoren.^[10]

For en partikkel som beveger seg i tre dimensjoner, vil komponentene til den klassiske posisjonsvektoren x(t ) kvantemekanisk bli erstattet med tre matriser ${\displaystyle {\hat {x}}_{1}(t),{\hat {x}}_{2}(t),{\hat {x}}_{3}(t)}$. Sammen med de konjugerte impulsmatrisene ${\displaystyle {\hat {p}}_{1}(t),{\hat {p}}_{2}(t),{\hat {p}}_{3}(t)}$ kan deres fundamentale kommutatorer uttrykkes ved

${\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},}$

mens ${\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=[{\hat {p}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=0.}$ Born og Jordan utvidet denne beskrivelsen på samme måte til systemer med flere frihetsgrader og tok de første trinn mot en kvantisering av elektromagnetiske felt.^[11]

Arbeidet til Born og Jordan ble samme høst fortsatt sammen med i Heisenberg i det som senere er blitt omtalt som et Dreimännerarbeit. Kvantiseringen av det elektromagnetiske feltet ble videreført og vist å gi resultat i overensstemmelse med hva Einstein flere år tidligere hadde funnet for energifluktuasjonene i sort stråling.^[12]

Også av stor betydning fikk kvantisering av dreieimpuls som kom ut av dette samarbeidet. Betrakter man én partikkel, er denne gitt ved vektorproduktet ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$. Kvantemekanisk vil det tilsvare den vektorielle matrisen ${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {x} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}\;}$ med tre matrisekomponenter ${\displaystyle {\hat {J}}_{1}={\hat {x}}_{2}{\hat {p}}_{3}-{\hat {x}}_{3}{\hat {p}}_{2},}$ og tilsvarende for ${\displaystyle {\hat {J}}_{2}}$ og ${\displaystyle {\hat {J}}_{3}.}$ Ved bruk av reglene for regning med kommutatorer, finner man da den nye kommutator

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {J}}_{1},{\hat {J}}_{2}\right]&=[{\hat {x}}_{2}{\hat {p}}_{3}-{\hat {x}}_{3}{\hat {p}}_{2},{\hat {x}}_{3}{\hat {p}}_{1}-{\hat {x}}_{1}{\hat {p}}_{3}]=[{\hat {x}}_{2}{\hat {p}}_{3},{\hat {x}}_{3}{\hat {p}}_{1}]+[{\hat {x}}_{3}{\hat {p}}_{2},{\hat {x}}_{1}{\hat {p}}_{3}]\\&={\hat {x}}_{2}[{\hat {p}}_{3},{\hat {x}}_{3}]{\hat {p}}_{1}+{\hat {x}}_{1}[{\hat {x}}_{3},{\hat {p}}_{3}]{\hat {p}}_{2}=i\hbar ({\hat {x}}_{1}{\hat {p}}_{2}-{\hat {x}}_{2}{\hat {p}}_{1})=i\hbar {\hat {J}}_{3}\end{aligned}}}$

Tilsvarende resultat finnes ved syklisk ombytte av indeksene for de andre kommutatorene av disse tre matrisene. Ved bruk av det antisymmetriske Levi-Civita-symbolet, kan de sammenfattes i den ene uttrykket

${\displaystyle [{\hat {J}}_{a},{\hat {J}}_{b}]=i\hbar \,\varepsilon _{abc}{\hat {J}}_{c}}$

hvor man på høyre side summerer over indeksen c  som opptrer dobbelt. Denne ene kommutatoren inneholder all informasjon om kvantemekanikk spinn.^[10]

Ved direkte utregningen finner man at kommutatoren

${\displaystyle \left[{\hat {J}}_{a},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}\right]=0}$

Det betyr at man kan diagonalisere matrisen ${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}$ sammen med en av komponentene. Det er da vanlig å velge denne som ${\displaystyle {\hat {J}}_{3}.}$ Ut fra dette fant Born, Heisenberg og Jordan at ${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}$ ganske enkelt blir proporsjonal med enhetsmatrisen og gitt som

${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}=j(j+1)\hbar ^{2}}$

hvor kvantetallet j  kan ta heltallige verdier som j = 0, 1, 2, 3 og så videre eller halvtallige verdier som j = 1/2, 3/2, 5/2 etc.

For Heisenberg må dette ha vært et oppmuntrende resultat da han tidligere hadde innsett nødvendigheten av halvtallige kvantetall for å kunne forklare den anomale Zeeman-effekten.^[9]

For hver verdi av spinn-kvantetallet j er de diagonale elementene i matrisen ${\displaystyle {\hat {J}}_{3}}$ gitt ved et nytt kvantetall med verdiene m = - j, -j + 1, - j + 2, ...., j - 1, j. De tre spinn-matrisene har derfor dimensjon (2j + 1)×(2j + 1). Når j = 1/2, vil det gi 2×2-matriser.

For å beregne elementene i spinn-matrisene introduserte de matrisekombinasjonene

${\displaystyle {\hat {J}}_{\pm }={\hat {J}}_{1}\pm i{\hat {J}}_{2}}$

med kommutatoren

${\displaystyle \left[{\hat {J}}_{3},{\hat {J}}_{\pm }\right]=\pm \hbar {\hat {J}}_{3}\ }$

De kunne herav beregne elementene til disse matrisene. Mens

${\displaystyle ({\hat {J}}_{3})_{mm'}=m\hbar \,\delta _{m,m'}}$

hvor indeksene m  tar samme samme verdier som kvantetallet m, fant de rent algebraisk at

${\displaystyle ({\hat {J}}_{+})_{mm'}=\hbar \delta _{m,m'+1}{\sqrt {j(j+1)-mm'}}}$

mens matrisen ${\displaystyle {\hat {J}}_{-}}$ finnes ved å transponere ${\displaystyle {\hat {J}}_{+}.}$

I det enkleste tilfellet for spinn-1/2 gir dette

${\displaystyle {\hat {J}}_{3}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

sammen med

${\displaystyle {\hat {J}}_{+}=\hbar {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\;\;{\hat {J}}_{-}=\hbar {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Fra definisjonen av disse to matriser følger nå at

${\displaystyle {\hat {J}}_{1}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\;\;{\hat {J}}_{2}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}.}$

På denne måten fremkommer Pauli-matrisene som Wolfgang Pauli introduserte et år senere for å kunne beskrive et elektron med spinn. Sammen med Jordan hadde da Heisenberg allerede vist at denne nye matrisemekanikken løste de gamle problemene forbundet med finstrukturen i hydrogenatomet og Zeeman-effekten.^[13]

I den første formuleringen av matrisemekanikken betraktet Heisenberg matriseelement som x_mn  og p_mn. Han visste da fra Einsteins strålingskoeffisienter at deres kvadrat gir sannsynligheten for overganger mellom atomære tilstander med kvantetallene m  og n. Dette er stasjonære tilstander med energier E_m  og E_n. Basert på disse tilstandene er Hamilton-matrisen H_mn  diagonal.

Som et resultat av Heisenbergs besøk ved Universitetet i Cambridge i juli 1925, fikk den like unge studenten Paul Dirac tidlig kjennskap til den nye kvantemekanikken. Samme høst gjorde han ferdig et arbeid som ga den en alternativ formulering basert på klassisk Hamilton-mekanikk. Han kunne dermed beskrive system som i utgangspunktet kan befinne seg i vilkårlige tilstander. Sannsynligheten for å observere det i én bestemt tilstand med kvantetallet n, er kvadratetet av en kompleks «sannsynlighetsamplitude» ψ_n. De kan tenkes å utgjøre komponentene til en abstrakt vektor Ψ  som er systemets «tilstandsvektor».^[14]

Hver observérbar størrelse A  tilsvarer en kvantemekanisk operator ${\displaystyle {\hat {A}}}$ som kan beskrives ved matriselementene A_mn. Denne matrisen må være selvadjungert eller hermitisk, det vil si ${\displaystyle A_{mn}^{*}=A_{nm}.}$ Hvis man i et eksperiment måler denne størrelsen når systemet er i tilstanden Ψ, vil midlere verdi være gitt som

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{mn}\psi _{m}^{*}A_{mn}\psi _{n}}$

Man kan nå benytte vanlig lineær algebra i disse beregningene og derfor velge passende basisvektorer. Heisenbergs opprinnelige formulering representerer derfor et slikt valg hvor Hamilton-matrisen er diagonal.^[2]

Heisenberg ga også en beskrivelse av hvordan systemet utvikler seg med tiden. Den er gitt ved at de dynamisk variable ${\displaystyle {\hat {A}}}$ varierer ifølge Heisenberg-ligningen

${\displaystyle i\hbar {d \over dt}{\hat {A}}=[{\hat {A}},{\hat {H}}]}$

Dette er nå en matriseligning og derfor gyldig i enhver basis. Hamilton-matrisen selv forblir derfor uforandret med tiden, noe som uttrykker energiens bevarelse.^[9]

Bevegelsesligningen uttrykker forandringen som den variable gjennomgår i et veldig kort tidsrom. Men den kan integreres til å gi forandringen etter en vilkårlig tid,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}(t)&=e^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {A}}(0)e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\\&={\hat {A}}(0)+\left({it \over \hbar }\right)\left[{\hat {H}},{\hat {A}}(0)\right]+{1 \over 2!}\left({it \over \hbar }\right)^{2}\left[{\hat {H}},\left[{\hat {H}},{\hat {A}}(0)\right]\right]+\cdots \end{aligned}}}$

I dette «Heisenberg-bildet» er tilstandsvektoren Ψ  konstant med tiden. Men med en forandring av basis, kan man alternativt la denne variere med tiden slik at de dynamiske variable blir uavhengige av tiden. Spinn-matrisene er et eksempel. Det gir en beskrivelse av systemet i «Schrödinger-bildet». For at deres målbare forventningsverdier skal forbli det samme, tilsvarer det å innføre den variable tilstandsvektoren

${\displaystyle \Psi (t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\Psi (0)}$

Den oppfyller derfor Schrödinger-ligningen

${\displaystyle i\hbar {d \over dt}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$

hvor nå Hamilton-operatoren ${\displaystyle {\hat {H}}}$ er konstant. På komponentform gir den differensialligningene

${\displaystyle i\hbar {d \over dt}\psi _{m}(t)=\sum _{n}H_{mn}\psi _{n}(t)}$

Schrödinger-ligningen er mest kjent i den kontinuerlige utgaven hvor den beskriver en ikke-relativistisk partikkel i et potensial. Men på denne formen er den gyldig for alle kvantemekaniske system, ikke-relativistiske og relativiske inkludert kvantefeltteorier.^[10]

I den mer generelle formuleringen av kvantemekanikken som Dirac la grunnlaget for, vil hver observerbar størrelse være beskrevet ved det han kalte et «q-tall», men som i dag vanligvis omtales som en kvantemekanisk operator. Den virker i et abstrakt Hilbert-rom med tilstandsvektorer. For hvert valg av basisvektorer i dette lineære vektorrommet kan virkningen av operatoren uttrykkes ved dens matriseelement. På den måten tar den generelle kvantemekanikken den spesielle formen som Heisenberg utviklet og senere har fått navnet matrisemekanikk.

• Youtube, Development of Heisenberg's matrix mechanics, video
• O. Darrigol, Matrix Mechanics, del av From c-numbers to q-numbers, University of California Press.