Pytagoras

Pytagoras
Født		Πυθαγόρας 6. århundre f.Kr.[1] Samos
Død		490-årene f.Kr.[2] Metapontion[2]
Beskjeftigelse		Matematiker, filosof, politiker, skribent, musikkforsker, musikkteoretiker
Ektefelle		Theano (formodentlig)
Far		Mnesarchus
Barn		Mnesarchus Myia Damo Telauges Arignote
Nasjonalitet		Samos
Pytagoras på Commons

Pytagoras (gresk: Πυθαγόρας) (født ca. 570 f.Kr. på Samos, død ca. 490 f.Kr. i Kroton i Calabria) var en gresk filosof, mystiker og matematiker, samt grunnlegger av den pytagoreiske skolen, et filosofisk, matematisk og religiøst brorskap i Kroton.

Navnet skrives både «Pytagoras» og «Pythagoras». Språkrådet anbefaler en navneform uten bokstaven h.^[3]

All kjennskap i dag til Pytagoras kommer fra senere omtale, og ingenting skriftlig er kjent fra Pytagoras’ egen hånd. I studiet av Pytagoras’ liv og tankesett kan det være vanskelig å skille fakta fra hypoteser, gjetninger og anekdoter. Han er blitt omtalt som mystiker, vismann, religiøs leder, karismatisk figur, guru, magiker, sjaman, filosof, kosmolog, matematiker og vitenskapsmann.^[4]

Pytagoras' tanker kom til å påvirke mange senere filosofer, inkludert Platon og Aristoteles, og dermed mye av senere vestlig filosofi. Han er også gitt æren for å ha konstruert ordet «filosof» (= visdomsvenn). En rekke vitenskapelige oppdagelser tillegges Pytagoras, både innenfor matematikk, musikkteori og astronomi. Dette inkluderer Pytagoras’ læresetning, stemming, jordas kuleform, samt forbindelsen mellom morgenstjernen og aftenstjernen.

Pytagoras etterlot seg ingenting skriftlig som er kjent i dag, og det gjorde heller ikke hans elever og tilhengere.^[5] Allerede i samtiden skapte Pytagoras splid - han ble høyt elsket eller sterkt mislikt. Historiske kilder er ofte preget av dette, enten tenderer de mot å være hagiografier, eller gjør narr av Pytagoras.

De fem eldste kildene om Pytagoras er Xenofanes, Heraklit, Empedokles, Herodot og Ion av Khios, alle nære samtidige av Pytagoras. Alle disse nevner Pytagoras bare sporadisk. Xenofanes gjør i et fragment narr av troen på sjelevandring i en historie om en person som ser en annen slå en hund og som ber mannen slutte med dette: «Den du slår, har sjelen til min venn, jeg kjenner igjen stemmen.» Senere kilder mente det dreide seg om Pytagoras. Heraklit omtaler Pytagoras som en mann med stor kunnskap, men også utsatt for kritikk og satire.^[4]

Demokrit fra Abdera, født omkring 460 f.Kr., skal ha skrevet et verk om etikk, kalt Pytagoras, men dette verket er gått tapt.^[6] Fra byen Abdera i Nord-Hellas kjenner en også to sølvmynter fra omkring 430 f.Kr., der den ene siden har et portrett av en skjegget mann, omgitt av navnet Pytagoras. Myntbildet vitner om Pytagoras' status og er antagelig laget noen få tiår etter hans død.

Moderatos fra Gades skrev et elleve-binds verk om pytagoreisk tenkning, hvor han forsøker å vise at senere pytagoreere ikke hadde fjernet seg langt i tenkesett fra grunnleggeren Pytagoras.^[7]

Tre viktige senere kilder er Diogenes Laertios (200 e.Kr.), Porfyrios (ca.230-304 e.Kr.) og Jamblikos (ca.230-330 e.Kr.). Alle tre levde altså mange hundre år etter Pytagoras. Verket Liv, lære og utsagn av kjente filosofer av Diogenes Laertios har et avsnitt om Pytagoras. Porfyrios bygger delvis på Dikaiarkhos (ca. 350-285 f.Kr.), en elev av Aristoteles, men ingen av Dikaiarkhos' skrifter er bevart.

Både Porfyrios og Jamblikos var nyplatonikere, og begge skrev biografier med tittel Livet til Pytagoras. Porfyrios' sies å ha utlagt Pytagoras' filosofi «grunnleggende platonsk».^[7] Jamblikos skrev verket Om det pytagoreiske levesett. De tre forfatterne omtaler alle Pytagoras som nær overmenneskelig, og omtalen blir mer og mer fantastisk fra den første til den tredje. Jamblikos' Livet til Pytagoras, er beskrevet som «en hedensk parallell til Bibelen».^[8]

Aristoteles nevner ikke ofte Pytagoras, men derimot «de som kaller seg pytagoreere». Platon nevner Pytagoras bare én enkelt gang. Også andre forfattere ser ut til å unngå å nevne ham, som Empedokles og Herodot. Dette kan være et tegn på respekt, men også uttrykk for skepsis til ham og hans lære.^[9]

Mange skribenter har villet ta Pytagoras til inntekt for et spesielt syn, og bildet vi har av Pytagoras i dag, er preget av hvordan han ble tolket i ettertid, i lys av platonsk filosofi.^[10] Han er for eksempel framstilt både som frihetstilhenger og som tyrann. Moderne forskere som W.K.C Guthrie^[11] og Walter Burkert har gjort en betydelig innsats for å forsøke å finne fram til den historiske Pytagoras, ved å gå tilbake til de eldste kildene.

De eldste kildene nevner ikke de matematiske resultatene Pytagoras skal ha kommet fram til.^[4][5] Den delen av arbeidet hans så ikke disse som interessant. I det kjente verket History of Greek Philosophy skriver W.K.C Guthrie at senere kilder er så unisone i sin omtale av matematikeren Pytagoras, at her likevel må være en kjerne av sannhet.

Nøyaktige leveår for Pytagoras er ikke kjent. Han er sannsynligvis født på øya Samos i første halvdel av 500-tallet f.Kr., og Thomas Heath oppgir «ca. 572-497 f.Kr eller muligens noe senere»,^[12] mens MacTutor oppgir ca. 570-490 f.Kr.^[13]

Apollonius fra Samos oppgir at mor til Pytagoras skal ha hatt navnet Pythaīs. Bak dette utsagnet kan ligge et ønske om å knytte Pytagoras til Pythia, Apollons prestinne ved oraklet i Delfi. Flere kilder, inkludert Heraklit, oppgir at far til Pytagoras skal ha vært Mnesarkos. (Jamblikos oppgir navnet Mnemarkos.^[8]) Men det er uenighet om hvor Mnesarkos kom fra: Samos, byen Tyr i Libanon eller øya Limnos.^[8]

Fra tiden omtrent da Pytagoras ble født, opptrer de første greske naturfilosofene, som Tales fra Milet og Anaksimander. Pytagoras levde samtidig med filosofene Anaksimenes og Xenofanes, men døde før Sokrates, Platon og Aristoteles ble født.

Ifølge Diogenes Laertios skal Ferekydes fra Syros ha vært lærer for Pytagoras.^[8] Også om Ferekydes ble det fortalt mange fantastiske historier, som at han var i stand til å forutsi hendelser om skipsforlis og jordskjelv. Da Ferekydes som gammel mann ble syk på øya Dilos, skal Pytagoras ha reist dit for å pleie ham. Selv om fortellingene om Ferekydes og Pytakoras har preg av legender, kan de ha kjent hverandre. Begge var talsmenn for en blanding av mytologi og naturvitenskap.

Jamblikos forteller at Pytagoras skal ha besøkt Tales i Milet og fått undervisning i matematikk der. Tales må i så tilfelle ha vært ganske gammel da.

Pytagoras skal ha forlatt Samos under det tyranniske styret til Polykrates, kanskje på grunn av dette.^[4] Det eksisterer mange fortellinger om senere reiser, men disse fortellingene er usikre og gir ikke et konsistent bilde. Alle reisefortellingene kan være farget av et ønske om å presentere Pytagoras og greske tenkere som arvtakere av kunnskap fra østen.

Isokrates sier om Pytagoras i en tale at «under et besøk til Egypt studerte han folkets religion, og han var den første til å gi grekerne filosofi».^[14] Mange anekdoter eksisterer om reisen til Egypt. En slik anekdote, som skal stamme fra en ellers ukjent forfatter Antifon, forteller at Pytagoras skal ha bedt tyrannen Polykrates om et anbefalingsbrev til den egyptiske herskeren kong Amasis, som var kjent for en pro-gresk holdning.^[8] Fra Amasis fikk Pytagoras videre til anbefalingsbrev til de egyptiske prestene. Fra prestene i Heliopolis ble Pytagoras sendt videre til prestene i Memfis, som igjen sendte ham videre til Teben (gresk: Diospolis). I Teben turte en ikke lenger avvise Pytagoras, men de forsøkte å skremme ham bort ved å presentere religiøse ritualer svært fremmed for gresk tankegang. Pytagoras fulgte pliktoppfyllende alle ritualene og fikk etter dette stor respekt blant egypterne. Som den første utlending fikk han lov til å delta i alle offerhandlinger til egyptiske guder. Anekdoten har vært tolket som et forsøk på å forklare opphavet til senere ritualer brukt av pytagoreerne, ritualer som grekerne kunne oppfatte som fremmedartede.

Ifølge Porfyrios skal Pytagoras ha lært geometri fra egypterne, aritmetikk fra fønikerne og astronomi fra kaldeerne.^[8] Kaldea var et område i sørlige Mesopotamia. Antonius Diogenes hevdet at Pytagoras hadde oppholdt seg blant arabere, egyptere, kaldeere og hebreere, og hadde lært av drømmetydning av dem.^[15] Sofisten Filostratos skriver at Pytagoras var i kontakt med indiske vismenn. Han skal ha satt seg inn i de eleusinske mysterier, og studert med keltere og iberere.^[16]

Ca. 530 f.Kr. reiste Pytagoras til Kroton og bosatte seg der.^[17] Byen var en del av Magna Graecia, et område i Sør-Italia kolonisert av grekere. Porfyrios bygger på Dikaiarkhos når han forteller at Pytagoras ved ankomsten til Kroton gjorde et sterkt inntrykk på ledelsen i byen. Han ble invitert til å holde tale for byens yngre menn, deretter for skoleelever og for en forsamling av kvinner. Denne inndelingen i grupper kan reflektere en gammel form for organisering av samfunnet, med spesialiserte klubber eller forsamlinger. Pytagoras skal ha holdt taler om moral og blant annet oppfordret lytterne til å respektere alder og foresatte.^[18] Han skal ha vært en svært god og overbevisende taler.

I Kroton fikk Pytagoras en rekke tilhengere, og blant disse innstiftet han pytagoreernes brorskap. Sagnkongen Numa Pompilius av Roma skal ha blitt undervist av Pytagoras, men allerede Cicero påpekte at de to ikke var samtidige; Pythagoras levde rundt 150 år etter Numa, ettersom den 62. olympiaden falt sammen med filosofens ankomst og Lucius Tarquinius Superbus' tronovertakelse.^[19]

Theano er omtalt som en tilhenger av Pytagoras, og ifølge noen kilder skal han ha giftet seg med henne. Andre skribenter omtaler Theano som Pytagoras' datter. Jamblikos nevner at Pytagoras hadde en datter Myia og en sønn Mnesarkos.^[20] Også en annen datter, Arignote, skal ha vært pytagoréer.^[21]

I begynnelsen var Pytagoras og disiplene hans høyt respektert, og Porfyrios beretter at flere av dem fikk politisk ansvar i byer i Magna Graecia. Gradvis oppsto det imidlertid misunnelse og fiendskap, der aristokraten Cylon fra Kroton skal ha vært en drivende kraft i motstanden mot Pytagoras. Cylon ville først bli en følger av Pytagoras, men ble avvist: Pytagoras ble i antikken sett på som oppdageren av fysiognomikk, sammenhengen mellom karakter og utseende, og Pytagoras skal på et dette grunnlag ha avvist Cylon. Dette aksepterte ikke Cylon, som ville ha hevn og startet et opprør mot Pytagoras.

Hendelsesforløpet opprøret mot pytagoreerne i Kroton er uklart.^[22] Noen kilder sier at Pytagoras og hans tilhengere oppholdt seg i et hus da de ble angrepet. Andre kilder sier at Pytagoras var på reise til Delos for å stelle læreren Ferekydes da angrepet skjedde. Dikaiarkhos forteller av Pytagoras flyktet til Locri, også dette en by i Magna Graecia. Her ble han imidlertid avvist, og endte i byen Metapontum, der det også kom til fiendtligheter mot pytagoreerne. Selv skal Pytagoras ha gjemt seg i et tempel for musene, og avsluttet han angivelig livet sitt, kanskje av naturlige årsaker, kanskje etter å ha begått selvmord. Igjen varierer kildene.

Den eksisterer et stort antall anekdoter og fantasifulle fortellinger om Pytagoras, ofte for å vise at han hadde overnaturlige evner, for å vise hans gudommelige karakter og spesielle evner.

Porfyrios skriver at Pytagoras skal ha hatt forgylte hofter, som en gud. Han skal ifølge Jamblikos ha brukt dette til å la seg identifisere, en gang han møtte Apollon-presten Abaris.^[8]

Både Porfyrios og Jamblikos forteller at Pytagoras hadde evnen til å være to ulike steder på en gang, for eksempel i Kroton og i Mesopotamia.

Flere kilder forteller om Pytagoras evne til å lære opp dyr. Han skal for eksempel ha lært opp en okse til å avstå fra å spise bønner. Porfyrios og Jamblikos skriver begge at en vill bjørn skal ha sverget til Pytagoras at den aldri mer ville spise kjøtt.^[17]

Pytagoras skal ha hatt evnen til å huske sine tidligere liv, inkludert livet som helten Euforbos i den trojanske krig.^[23]

En gang Pytagoras møtte fiskere, var han i stand til å forutsi helt nøyaktig antallet fisk de ville komme til å hente opp i garnet sitt. Også ved en rekke andre anledninger skal Pytagoras ha vist profetiske evner. I Mesopotamia, etter å ha drukket vann fra en brønn, skal han ha forutsagt et jordskjelv.

I Mesopotamia skal en elv ha hilst Pytagoras velkommen, da han ville krysse elva. Hilsenen var så høy at alle som sto rundt hørte den. Elver var på Pytagoras' tid guddommelige, så anekdoten er uttrykk for en religiøs forestilling.

I Kroton grunnla Pytagoras et filosofisk, matematisk og religiøst brorskap, og medlemmene her er kalt pytagoreere. Dette var et lukket brorskap av både kvinner og menn, der både kunnskap og ritualer ble holdt hemmelig. Kilder anslår at antallet medlemmer ikke har oversteget tre hundre. I tillegg til de innvidde medlemmene var det også en stor gruppe pytagorister, personer som sympatiserte med Pytagoras og som mer eller mindre forsøkte å rette seg etter hans lære.

Pytagoreerne måtte gjennom en flere års prøvetid for å vise seg verdige til å være med i brorskapet. Evnen til å utvise taushet og å gjennomføre en asketisk og etisk livsførsel ble sett på som viktig i denne prøveperioden. Jamblikos skriver at kandidatene etter fem års stillhet ble kalt esoterikos, innvidde medlemmer i den innerste sirkelen. Pytagoras skal ha hatt en absolutt autoritet i gruppen.

Kunnskap i brorskapet ble blant annet representert som fyndord, på gresk akousmata («hørte ting»), og symbola, symboler og passord. Tross hemmelighetsholdet er mange slike akousmata gjengitt av senere skribenter.^[24] Pytagoreisk kunnskap er i ettertiden blitt karakterisert som «esoterisk», en blanding av guddommelig, mystisk og rasjonell innvidd kunnskap.^[25] Ritualer ble tillagt stor vekt i brorskapet, inkludert begravelsesritualer.

Ingenting sikkert er kjent om Pytagoras' bidrag til matematikk, men i tradisjonen er han blitt stående som en av pionérene i vestlig matematikk. Han har fått æren for læresetninger, og som med alt annet ved Pytagoras, er også dette omdiskutert. Pytagoreerne la stor vekt på matematikk, og det har ikke vært uvanlig at funn gjort i en større krets, i ettertid tilskrives lederen. Men det er også fullt mulig at han var en matematisk begavelse og original tenker.

Pytagoras skal ha ment at alle ting ikke bare kan uttrykkes ved tall, men grunnleggende er tall.^[12] Aristoteles skriver i Metafysikken at «Pytagoreerne studerte matematikk, og var de første som utviklet denne vitenskapen. Studiet ledet dem til å tro at matematiske prinsipper er grunnleggende for alt. Og siden tallene er det grunnleggende prinsippet i matematikk, trodde de at de kunne finne i tallene - mer enn i ild, jord og vann - analogier for alt som finnes. En egenskap ved tallene er «lov og rett», en annen er «sjelen og tanken», en tredje er «muligheter», og så videre. Og da egenskaper og forhold i musikkens skalaer virket basert på tall, og det syntes som om alt annet også var det, måtte tallene være det ultimat grunnleggende i hele det fysiske universet.»^[26]

Pytagoreisk tallforståelse sammenfattes ofte til at «alt er tall», men dette utsagnet er også omdiskutert.^[27] Har Aristoteles og senere skribenter oppfattet pytagoreerne riktig? Er bildet vi har at denne talltenkningen, farget av platonsk filosofi om ideale elementer?

Tallene var for grekerne de positive heltallene, de naturlige tallene. Likevel ble tallet 1 lenge ikke betraktet som et tall, men som den grunnleggende enheten. Denne betraktningsmåten kan ha opprinnelse hos pytagoreerne.^[12] Skillet mellom partall («kvinnelige tall») og oddetall («mannlige tall») tilskrives Pytagoras. Summen av ulike tall gir kvadrattall, og ulike tall regnet han derfor som mer perfekte og «mannlige» enn partallene. Disse danner i stedet rektangler, som i hans øyne gjorde dem ufullkomne, dvs. «kvinnelige».^[28]

Jamblikos gir også Pytagoras æren for å ha oppdaget såkalt «vennlige tall». Angivelig uttalte han at en venn er «en som er det annet jeg, slik som 220 og 284».^[29] Det han mente, var at 220 kan deles på 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55 og 110, og om disse legges sammen, blir de 284. 284 kan deles på 1, 2, 4, 71 og 142, og om disse legges sammen, får man 220. Et tallpar ${\displaystyle (a,b)}$ er vennlig dersom summen av ekte divisorer i det ene tallet ${\displaystyle a}$ er lik det andre tallet ${\displaystyle b}$ og omvendt.

Pytagoras skal også ha introdusert figurtall.

Flere systemer var i bruk av grekerne for å representere heltallene, alle basert på bruk av bokstavene i det greske alfabetet. Egne symboler for tall var ikke i bruk.^[30]

Gresk opererte ikke med rasjonale tall, men med forhold mellom to og flere heltall. Pytagoras må ha vært kjent med noe teori for forholdstall, siden dette var grunnlaget for musikkteorien hans. De første kildene vi har til teori for forholdstall, er imidlertid fra tiden etter Pytagoras, for eksempel fra Evdoksos fra Knidos. Tre typer middelverdier, aritmetisk, harmonisk og geometrisk middel, kan uttrykkes som forholdstall, og opphavet til disse middelverdiene føres mange ganger tilbake til Pytagoras, blant annet ved tilnavnet pytagoreiske gjennomsnitt.

Om Pytagoras har hatt en forståelse av irrasjonale tall, er omdiskutert.^[31] Proklos har i Det evdemiske sammendraget en setning som er blitt tolket som «Det var Pytagoras som oppdaget teori for irrasjonale».^[32] Thomas Heath argumenterer imidlertid for at det siste ordet i den greske setningen skal oversettes med «forholdstall», ikke «irrasjonale». Pytagoreernes forhold til inkommensurable størrelser er et stort og omdiskutert emne.

Diodorus Siculus siterer en tidlig kilde, Kallimakhos, som skal ha sagt at Pytagoras var den første til å introdusere geometriske problemstillinger fra Egypt, og han skal ha oppdaget flere geometriske problemer på egen hånd.^[32] I Det evdemiske sammendraget skriver Proklos at Pytagoras fulgte etter Tales fra Milet og utviklet geometri til å være en av de frie kunstene. Han skal også ha konstruerte «de kosmiske figurene», det vil si de fem regulære legemene, men dette er nok en overdrivelse.

Bruk av areal til å uttrykke produkt av to størrelser er grunnleggende i gresk matematikk og geometri. Ved hjelp av dette kan enkelte former for andregradsligninger løses geometrisk, i det som i ettertiden kalles «(gresk) geometrisk algebra». Slike arealbetraktninger har sitt opphav fra pytagoreerne og kanskje Pytagoras selv.^[33]

Setningen som i dag er kjent som Pytagoras' læresetning, gir sammenhengen mellom sidelengdene ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ og ${\displaystyle c}$ i en rettvinklet trekant:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Sammenhengen var kjent lenge før Pytagoras tid, blant annet i babylonsk matematikk. Selv om tradisjonen har knyttet setningen sterkt til Pytagoras, finnes det ikke sikkert grunnlag for å si at han oppdaget sammenhengen på egen hånd:

Though this is the proposition universally associated with the name of Pythagoras, no really trustworthy evidence exists that it was actually discovered by him...I would not go so far as to deny to Pythagoras the credit of the discovery of our proposition; nay, I like to believe that the tradition is right, and that it was really his.

Thomas Heath^[34]

Det er mulig at Pytagoras introduserte setningen til grekerne, etter for eksempel å ha fått kunnskapen fra reiser i Babylon, men heller ikke dette kan belegges med historiske fakta.^[35]

Flere kilder forteller at Pytagoras skal ha ofret en okse da han oppdaget sammenhengen uttrykt i setningen, men dette samsvarer ikke med tradisjonen om at pytagoreerne var mot blodoffer.

En gruppering av tre heltall ${\displaystyle (a,b,c)}$ som oppfyller Pytagoras' setning, kalles et pytagoreisk trippel. Et eksempel på et slikt trippel er (3, 4, 5).

Pytagoras har en stor plass i historien for musikkteori, ved å fått æren for å ha oppdaget at toner og musikk har et matematisk fundament. Forhold mellom intervaller kan beskrives ved forhold mellom tall. Ofte blir Pytagoras også gitt æren for å være oppdageren av monokorden, et plankeinstrument med én streng. Ved hjelp av et bevegelig trestykke under strengen kan en variere tonehøyden og også demonstrere matematiske forhold.

Som så mye rundt Pytagoras er også oppdagelsen av harmoniske forhold omgitt av fantasifulle fortellinger. Nikomakhos fra Gerasa beretter at Pytagoras en gang gikk forbi en smie og hørte da klangen fra hammere som slo mot metall. Lyden fra de fleste slagene var i full harmoni med hverandre, men også disharmonisk lyd forekom. I harmoniene skal Pytagoras ha identifisert intervaller som oktav, kvart og kvint, og han skal ha registrert at kvarten og kvinten sammen laget disharmoni. Han løp inn i smien, og der inne gjennomførte han en rekke eksperimenter. Disse viste at det ikke var styrken i slagene eller hammerformen, men forholdet mellom hammervekt som skapte harmoniene.^[36]

Etter den grunnleggende oppdagelsen skal Pytagoras ha utviklet det som ble det klassiske greske tonale systemet, med skalaer og akkorder. Grunnleggende var tetrakorden, en gruppe av fire tonehøyder med kvart-intervaller i mellom. Forholdet mellom de fire første tallene (1 : 2 : 3 : 4) skal Pytagoras ha kalt tetraktys («fire-het»), og i forholdet 1:2 fant han oktaven, i 2:3 kvinten og i 3:4 kvarten. Tetraktys ble for pytagoreerne en hemmelig nøkkel for å forstå verden og kosmos. Dette forholdet mente de å se ikke bare i musikk, men overalt i naturen. I en innvielsesseremoni skal pytagoreerne ha sverget troskap til Pytagoras, oppdageren av tetraktys.^[36]

Den kristne skribenten Hippolytus fra Roma gir i verket Argument mot alt kjetteri plass til omtale av Pytagoras. Her skriver han at Pytagoras mente at kosmos har sin egen sang og musikk. Hvert himmellegeme skal også ha sin egen rytme og melodi, og sammen skaper de musikk. Hippolytus' omtale gjenspeiler at Pytagoras gjennom hele antikken og middelalderen var kjent for sin forestilling om «sfærenes harmoni».^[36]

I moderne musikkteori er flere begreper gitt navn etter Pytagoras. I pytagoreisk stemming favoriseres rene kvinter framfor andre intervall, en måte å stemme på som var i bruk gjennom hele middelalderen. For å beskrive forhold mellom intervall i en slik skala eller stemming brukes et lite intervall kalt et «pytagoreisk komma».

Pytagoras skal være en av de første til å mene at både jorda og universet har en kuleform. Hva som inspirerte teorien er ikke kjent, men det har vært spekulert på om Pytagoras observerte skyggen av jorda under en måneformørkelse. Det er også mulig at bakgrunnen bare var estetisk, et ønske om å koble jorda til en perfekt form.^[37]

En annen oppdagelse som Pytagoras har fått æren for, er at morgenstjernen og aftenstjernen er ett og samme objekt, i dag kjent som planeten Venus.

Pytagoras kan være den første greker som la merke til at planetene beveger seg fra vest til øst, motsatt fiksstjernenes daglige omdreining. En slik kunnskapen kan ha skrevet seg fra babylonerne.^[5]

Senere pytagoreere laget et verdensbilde der både sola, jorda og planeter sirkler rundt en brennende flamme. For Pytagoras var nok jorda sentrum i universet, og sola, stjernene og planetene sirkulerte rundt denne. Opphavet til det pytagoreiske verdensbildet med flammen i midten skal være pytagoreeren Filolaos.^[37]

Pytagoras og pytagoreerne blandet aritmetikk, geometri, astronomi og musikkteori med filosofi, mystikk og religion. Den foregående inndelingen i avsnitt, etter moderne naturvitenskapelige skillelinjer, er nok ikke representativ for Pytagoras' eget tankesett.

Blant pytagoreerne var Pytagoras beundret for evnen til å lage nye ord, og det eksisterer en omfattende tradisjon for at det var Pytagoras som laget ordet «philosophos», med betydning «en elsker av visdom». Om denne tradisjonen er rett - og i så tilfelle hva slags visdom Pytagoras har hatt i tankene - er igjen gjenstand for diskusjon.^[38]

Pytagoras følger etter de joniske tenkerne, førsokratikerne som hadde tatt opp spørsmål om hva som er det grunnleggende og uforanderlige i universet. Svaret Pytagoras gir er tall og matematikk. Kunnskap i matematikk er sikker kunnskap.^[39] Pytagoreisk tenkning er også framstilt som et tidlig forsøk på å skape orden og sammenheng i kosmos.

Politisk skal pytagoreerne ha gått inn for et hierarkisk styresett, der de som har innsikt skal styre og også ha privilegier og ære.^[39]

Et vitnesbyrd om Pytagoras som tenker er gitt av Herodot, som omtaler Pytagoras som «ikke den dårligste sofisten blant grekerne».^[9] Bruken av ordet «sofist» hadde mange valører og kunne bli brukt om kunnskapsrike personer og filosofer. (Den nedsettende betydningen av ordet kom inn senere, med Platon.)

Pytagoreerne betraktet Pytagoras i en mellomstilling mellom gudene og menneskene, en framstilling som kanskje Pytagoras selv har bidratt til å forsterke. Ofte understrekes en forbindelse mellom Pytagoras og guden Apollon. Pytagoras' omtale av Troja-helten Euforbos som en tidligere inkarnasjon, er også blitt forklart med denne heltens nære samarbeid med Apollon. Også den mytologiske Orfeus er ofte nevnt som en lærer for Pytagoras.^[40]

I de mange fyndordene som finnes etter Pytagoras, er det mange leveregler, regler for hva en skal gjøre og ikke gjøre. Noen av de mest detaljerte er, ifølge Aristoteles, regler for ofringer til gudene og regler for å ære gudene.

Pytagoras skal ha lagt stor vekt på sjelen og dens evne til å overleve etter døden. Dette er tanker og ideer han kanskje har hentet fra læreren Ferekydes og fra orfisme. Etter døden drar sjelen videre og kan ta bolig i et nytt menneske eller et dyr, gjennom reinkarnasjon. Dette gjør at alt levende må være likeverdig og må behandles med respekt. Følgere av Pytagoras skal ha blitt lovet et godt liv etter døden, basert på et strengt etisk levesett, en grunnleggende tanke han også delte med orfistene.^[41]

Som en konsekvens av troen på reinkarnasjon, karakteriserer tradisjonen ofte Pytagoras og pytagoreere med vegetarianisme. Både Evdoksos og Dikaiarkhos går ut fra at Pytagoras har vært vegetarianer, og Jamblikos oppfordrer til å avstå fra å drepe og spise alle legemer med sjel. Også orfistene praktiserte vegetarianisme.^[42]

I gresk religion og offentlig liv var dyreoffer helt sentralt, og en konsekvent form for vegetarianisme ville isolere pytagoreerne fra resten av samfunnet. Kravet til å avstå fra kjøtt er derfor omdiskutert. Jamblikos skriver at sjeler ikke går inn i alle dyr, og bare de som ikke har sjel, kan ofres. Det er også mulig at ulike krav ble stilt til ulike grupper av pytagoreere, slik at streng vegetarianisme bare ble praktisert av en liten indre kjerne. Porfyrios skriver at «de som har lov til å spise kjøtt, skal bare spise dyr som kan ofres».^[42]

Kravet til diett blant pytagoreerne er imidlertid langt fra entydig og konsistent i kildene. Hos noen skribenter finner en beskrevet forbud mot å spise bestemte dyr eller fiskearter, for eksempel hvite haner. Også forbud mot å spise bestemte deler av dyr er omtalt, for eksempel mage, hjerte, hjerne og testikler. Andre kilder oppgir bare forbud mot å ofre dyr og forbud mot å spise dyr som er ofret.

Berømt er Pytagoras' forbud mot å spise bønner. Dette forbudet gjaldt favabønner og er omtalt av blant andre Aristoteles og Porfyrios.

Mange forklaringer blir gitt på de ulike diettreglene, ikke bare troen på reinkarnasjon, men også religiøse årsaker samt likhet med forplantningsorganer.

Pytagoras skal ha hevdet at det eksisterte en spesiell form for ideelt vennskap mellom de innvidde, et pytagoreisk vennskap. Dette vennskapet ville eksistere selv om to innvidde personer aldri hadde møtt hverandre før.^[25] Ifølge historikeren Timaios skal Pytagoras ha sagt at de som gikk inn i fellesskapet, måtte holde alt felles. Vennskapet var imidlertid begrenset til medlemmene av brorskapet. Apollonios fra Tyana skriver at «Pytagoras betraktet vennene som guder, de andre var ikke verdt å nevne og talte ingenting».^[43]

Ifølge den tidligste kilden, Xenofanes, skulle Pytagoras nettopp ha gjenkjent sjelen til en venn i en hund.

Sammenblanding av filosofi og matematikk viser seg også her, ved definisjonen av vennlige tall.

Etter at Pytagoras var død, ble pytagoreerne spredd. Brorskapet gikk langsomt i oppløsning, men spredningen førte også til at idéene ble spredd. Pytagoreerne delte seg også i to fraksjoner, og historikere har hatt problem med å fastslå om denne fraksjoneringen skjedde under eller etter opprøret mot pytagoreerne.^[44]

W.K.C Guthrie skriver at det må være hevet over tvil at Pytagoras ga impuls til «en ny tradisjon i filosofien».^[45] Walter Burkett karakteriserer Pytagoras mer som en seer og mystiker, men ikke som filosof eller naturvitenskapsmann. Uansett tolkning og karakteristikk framstår Pytagoras som en viktig inspirator som senere skribenter bygger videre på. Men så lite vites sikkert om mannen at den store mengden litteratur som er skrevet senere - også tilegnet Pytagoras og pytagoreere - har vært viktigere enn Pytagoras selv.^[25]

Pytagoras skal ha gitt inspirasjon i mange retninger, og forfatteren og filosofi-professoren Charles H. Kahn deler påvirkningen opp i tre områder:^[46]

• Troen på det okkulte og det overnaturlige
• Reinkarnasjon og vegetarianisme
• Naturvitenskap: matematikk, musikk og astronomi.

Ifølge Aristoteles var Platons filosofi sterkt påvirket av Pytagoras.^[47] Bildet av Pytagoras endret seg sterkt etter Platon og hans akademi, fra å være en religiøs mystiker til å være sett på som skaperen av en matematisk filosofi.^[48] Atronomi, musikkteori, geoemtri og aritmetikk ble sett på som søstervitenskaper, slik som det ble uttrykt i quadrivium, en gruppering av fire av de syv frie kunstene.

Neopytagoreisme er en filosofisk retning i hellinistisk tid som forsøkte å ta opp igjen og fornye pytagoreisk tenkning, blant annet ved å blande mystiske religiøse elementer med annen eksisterende filosofi. Retningen var farget av platonismen og kom igjen til å påvirke nyplatonismen. Kjente nypytagoreister er Apollonios fra Tyana, Moderatos fra Gades og Nikomakhos fra Gerasa.

I middelalderen spilte Boëthius en viktig rolle for å formidle et platonsk bilde av Pytagoras. Boëthius' verker om aritmetikk, geometri, astronomi og musikk kom til å sette et tydelig preg på høyere utdanning i Europa, og disse verkene bygget tungt på nypytagoreeren Nikomakhos.

• K. S. Guthrie, red. (1988). The Pythagorean Sourcebook and Library. Grand Rapids: Phanes Press. ISBN 0-933999-51-8. 
• Thomas Heath (1981). A history of Greek mathematics. I. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-24073-8. 
• Christoph Riedweg (2002). Pythagoras. His life, teaching and influence. Ithaca: Cornell University Press. ISBN 978-0-8014-7452-1. 
• Charles H. Kahn (2001). Pythagoras and the pythagoreans. A brief history. Indianapolis: Hackett Publishing Company. ISBN 978-0-87220-575-8. 
• Carl A. Hufmann, red. (2002). A history of pythagoreanism. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-64847-6. 
• Ove Kr. Sundberg (1980). Pythagoras og de tonende tall. Oslo: Tanum-Norli. ISBN 82-518-0900-2. 

• «The life of Pythagoras, by Iamblichus». Internet Archive. Besøkt 14. desember 2021.  Jamblikos verk i engelsk oversettelse av Thomas Taylor, 1918
• «The complete Pythagoras». Internet Archive. Besøkt 14. desember 2021.  Pytagoras-biografier og fragment oversatt til engelsk av Kenneth Sylvan Guthrie
• «Pythagoras of Samos». MacTutor History of Mathematics Archive. Besøkt 14. desember 2021.