Virialteoremet

Virialteoremet i klassisk mekanikk gir en sammenheng mellom middelverdien til den kinetiske energien og middelverdien til den potensielle energien i et system. Det ble formulert på et mer generelt vis av den tyske fysiker Rudolf Clausius rundt 1870 som benyttet det for å få en bedre forståelse av egenskapene till en samling partikler med gjensidige vekselvirkninger når de er i termisk likevekt. Siden er teoremet benyttet i mange andre sammenhenger og da spesielt innen astrofysikk og kosmologi. Navnet er en avledning av det latinske order vis for kraft.

Når systemet inneholder N  partikler, sier det generelle teoremet på matematisk form at middelverdien til deres kinetiske energi K  er gitt som

${\displaystyle \left\langle K\right\rangle =-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle ,}$

der middelverdien på høyre side involverer kraften ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$ som virker på partikkelen med posisjon ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}.}$ Summen av indreproduktene til disse to vektorene definerer «virialet» for systemet. For et konservativt system kan den uttrykkes ved den potensielle energien til systemet.^[1]

For en ikke-relativistiske partikkel er dens impuls ${\displaystyle \mathbf {p} _{k}}$ og hastighet ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}$ forbundet med ${\displaystyle \mathbf {p} _{k}=m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}}$ når den har masse ${\displaystyle m_{k}.}$ Hvis man summerer skalarproduktene mellom disse to vektorene for alle N  partikler i systemet, gir det

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}=2K}$

som er den doble, kinetiske energien til systemet. Dermed er det naturlig å betrakte den relaterte størrelsen ${\displaystyle G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}}$ hvis tidsderiverte er

${\displaystyle {\begin{aligned}{dG \over dt}&=\sum _{k=1}^{N}({\dot {\mathbf {p} }}_{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {p} _{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k})\\&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+2K\end{aligned}}}$

da Newtons andre lov sier at ${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}_{k}=\mathbf {F} _{k}}$ er den totale kraften som virker på partikkelen med posisjon ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}.}$ På denne formen er man bare kommet frem til en identitet i klassisk mekanikk.^[2]

Teoremet fremkommer hvis man nå midler denne identiteten over et langt tidsrom τ. Venstresiden er da

${\displaystyle \left\langle {dG \over dt}\right\rangle ={1 \over \tau }\int _{0}^{\tau }\!dt{dG \over dt}={1 \over \tau }\left(G(\tau )-G(0)\right)}$

Anvendes dette resultatet på et periodisk eller bundet systemet hvor alle variable tar endelige verdier, blir dette null når tiidsmidlet tas over et veldig langt tidsrom. Det gir

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle =-2\left\langle K\right\rangle }$

der de to middelverdiene beregnes på samme måte. Dette er virialteoremet på sin mest generelle form.^[1]

Teoremet får sin viktigste konsekvens for konservative system der kraften på en partikkel kan avledes fra den potensielle energien U  til hele systemet,

${\displaystyle \mathbf {F} _{k}=-{\partial \over \partial \mathbf {r} _{k}}U(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}$

I tillegg må man anta at den kan splittes opp i påvirkningen fra alle andre partikler via et to-partikkelpotensial ${\displaystyle u(r_{kj})}$ der den skalare størrelsen ${\displaystyle r_{kj}=|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}|}$ angir avstanden mellom dem. Den totale, potensielle energien til systemet er da

${\displaystyle U(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}u(r_{kj}).}$

Det betyr at den totale kraften som inngår i teoremet, kan skrives som ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{kj}}$ hvor

${\displaystyle \mathbf {F} _{kj}=-{\partial \over \partial \mathbf {r} _{k}}u(r_{kj})=-{du \over dr_{kj}}{\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j} \over r_{kj}}}$

er kraften fra partikkelen i posisjon ${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$ på den i posisjon ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}.}$ Da er automatisk ${\displaystyle \mathbf {F} _{kj}=-\mathbf {F} _{jk}}$ slik at Newtons tredje lov err oppfylt.^[3]

På denne måten kommer man frem til

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{kj}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{kj}\cdot (\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j})\end{aligned}}}$

slik at virialteoremet for konservative system blir

${\displaystyle 2\left\langle K\right\rangle =\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\left\langle r_{kj}{du \over dr_{kj}}\right\rangle }$

Den midlere, kinetiske energien er dermed gitt ved middelverdien til den deriverte av to-partikkelpotensialet ${\displaystyle u(r)}$ over alle partiklene i systemet.^[3]

Virrialteoremet tar en spesielt enkel form når det konservative potensialet er homogent, det vil si at det oppfyller ${\displaystyle u(\lambda r)=\lambda ^{n}u(r).}$ Det betyr at det er en potensfunksjon av formen ${\displaystyle u(r)=kr^{n}.}$ Da blir ${\displaystyle rdu/dr=nu}$ som innsatt i virialteoremet gir

${\displaystyle 2\left\langle K\right\rangle =n\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\left\langle u(r_{kj})\right\rangle =n\left\langle U\right\rangle }$

Den midlere kinetiske energi kan derfor direkte finnes fra den midlere potensielle energien. Det er velkjent fra den harmoniske oscillatoren hvor ${\displaystyle n=2}$ slik at ${\displaystyle \left\langle K\right\rangle =\left\langle U\right\rangle .}$ Likedan for et Coulomb-potensial med ${\displaystyle n=-1}$ gir teoremet at ${\displaystyle 2\left\langle K\right\rangle =-\left\langle U\right\rangle .}$ Da venstresiden her må være positiv, gjelder dette bare for et attraktivt potensial. Det reflekterer nødvendigheten for at bevegelsen til systemet må være bunden for at virialteoremet skal kunne anvendes.^[2]

Da systemets totale energi ${\displaystyle E=\left\langle K\right\rangle +\left\langle U\right\rangle }$ er konstant, vil man nå ha

${\displaystyle \left\langle U\right\rangle ={2 \over 2+n}E\,,\quad \left\langle K\right\rangle ={n \over 2+n}E\ .}$

For et gravitasjonspotensial eller Coulomb-potensial er derfor den midlere, kinetiske energien ${\displaystyle \left\langle K\right\rangle =-E.}$

En galakse kan bestå av mange millioner eller milliarder med stjerner som blir holdt sammen av gravitasjonskrefter, det vil si at de skyldes et homogent vekselvirkningspotensial med ${\displaystyle n=-1.}$ Den midlere, kinetiske energien til stjernene i galaksen kan nå skrives som

${\displaystyle \left\langle K\right\rangle ={1 \over 2}\sum _{k=1}^{N}\left\langle m_{k}v_{k}^{2}\right\rangle \equiv {1 \over 2}M\left\langle v^{2}\right\rangle }$

når hver av dem har massen ${\displaystyle m_{k}}$ og hastigheten ${\displaystyle v_{k}}$ relativt til tyngdepunktet til galaksen. På høyresiden er summen over bidragene fra alle stjernene forenklet ved å innføre den totale massen ${\displaystyle M}$ og deres midlere, kvadratiske hastighet ${\displaystyle \left\langle v^{2}\right\rangle .}$ Den kan måles av astronomene ved å observere stjernenes rødforskyvninger.

Hvis nå massen ${\displaystyle M}$ av lysende stjerner er den totale massen i galaksen, vil den midlere, potensielle energien til alle stjernene ha en verdi

${\displaystyle \left\langle U\right\rangle =-\alpha {GM^{2} \over R}}$

Her inngår en numerisk faktor ${\displaystyle \alpha \approx 1}$ fra Newtons gravitasjonslov samt galaksens radius ${\displaystyle R}$ som kan observeres. Sammenholdes dette med virialteoremet ${\displaystyle \left\langle K\right\rangle =-\left\langle U\right\rangle /2,}$ viser det seg at dette ikke er oppfylt. Den potensielle energien må være mye større enn hva den synes å være fra observasjonene. Det er blandt annet fra slike betraktninger man er kommet frem til at galakser må inneholde en stor mengde ekstra masse som ikke sender ut lys. Den omtales i dag som mørk materie og utgjør i et virkelig mysterium i moderne kosmologi.^[4]

Mørk materie ble foreslått av den sveitsiske fysiker og astronom Fritz Zwicky i 1933. Han studerte på lignende vis Coma-hopen som inneholder et stort antall lysende galakser. Deres rødforskyvninger var på den tiden nylig blitt målt. I tillegg kunne han anslå hvor mange galakser en hop inneholder og massen til hver dem. Igjen viste virialteoremet at de må inneholde mye ikke-lysende materie i tillegg til de observerte galaksene.^[5]

Den aller første anvendelse av virialteoremet var i statistisk mekanikk da Johannes van der Waals i 1873 utledet sin tilstandsligning for reelle gasser. I tillegg til interne vekselvirkninger mellom partiklene beskrevet ved potensialet ${\displaystyle u(r),}$ vil også kreftene fra veggene i volumet V  da bidra i virialteoremet.

Når systemet er i termisk likevekt med temperatur T, kan den midlere, kinetiske energien beregnes fra kinetisk teori og er ${\displaystyle 2\left\langle K\right\rangle =3Nk_{B}T}$ når den uttrykkes ved Boltzmanns konstant k_B. Det fulle teoremet tar dermed formen

${\displaystyle 3Nk_{B}T=\sum _{k=1}^{N}\left(-\left\langle \mathbf {F} _{k}^{ext}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle +\sum _{j<k}\left\langle r_{kj}{du \over dr_{kj}}\right\rangle \right)}$

Det første leddet representerer bidraget fra kollisjonene som partiklene har med de omsluttende veggene. Hvis trykket i gassen er P, kan denne eksterne kraften skrives som ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}^{ext}=-P\Delta \mathbf {S} _{k}}$ hvor diet lille flateelementet ${\displaystyle \Delta \mathbf {S} _{k}}$ har en retningsnormaal som er rettet inn i volumet. Dermed gir dette bidraget

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}^{ext}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle =P\oint _{S}\!d\mathbf {S} \cdot \mathbf {r} =3PV}$

i den kontinuerlige grensen der man kan gjøre bruk av divergensteoremet med ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {r} =3.}$ Det siste bidraget fra interne krefter kan beregnes ved hjelp av statistisk mekanikk. Da har man

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\left\langle r_{kj}{du \over dr_{kj}}\right\rangle ={1 \over 2}N\rho \int _{V}\!d^{3}r\,r{du \over dr}g(r)}$

hvor ${\displaystyle \rho =N/V}$ er tettheten av partikler og ${\displaystyle g(r)}$ er en «korrelasjonsfunksjon». Den beskriver sannsynligheten for å finne andre partikler i avstand r  fra en gitt partikkel. Tilstandsligningen for en reell gass tar dermed formen

${\displaystyle P=\rho k_{B}T-{1 \over 6}\rho ^{2}\int _{V}\!d^{3}r\,r{du \over dr}g(r)}$

hvor korreksjonene til den ideelle gassloven finnes i det siste leddet.^[6]

Dette resultatet for trykket skal også være gyldig i den kondenserte fasen, det vil si der gassen er godt over til å bli en væske. Det første leddet kan tilskrives bevegelsen til partiklene, mens det andre skyldes deres vekselvirkninger. Da tettheten ρ  for en væske kan være typisk en faktor tusen ganger større enn for gassen, vil dens trykk være bestemt av begge leddene i motsetning til en gass hvor det første ledet dominerer. For at en væske skal ha et trykk rundt 1 atm, vil det derfor fremkomme ved en delikat balanse mellom disse to leddene som da hver for seg vil være mye større.

Den nøyaktige formen till vekselvirkningspotensialet ${\displaystyle u(r)}$ er ikke kjent. Det kan ikke være noen homogen funksjon, og må være frastøtende for små separasjoner mellom partiklene da molekyler ikke kan trenge inn i hverandre. Dessuten må det være tiltrekkende for llitt større avstander slik at gassen kan kondensere og gå over til en væske ved lavere temperaturer.

Hvis tettheten av partikler er tilstrekkelig liten, kan man benytte den statistiske Boltzmann-fordelingen til å vise at korrelasjonsfunksjonen har formen

${\displaystyle g(r)=e^{-\beta u(r)}}$

når man i eksponenten definerer ${\displaystyle \beta =1/k_{B}T.}$ For små avstander der potensialet er sterkt positivt, er denne funksjonen svært liten i overensstemmelse med forventingen om at sannsynligheten for å finne andre partikler så nærme skal være liten. Derimot for større avstander hvor potensialet går mot null, blir denne sannsynligheten ${\displaystyle g(r)\rightarrow 1}$ fordi der vil det alltid finnes en annen partikkel.^[6]

Med denne korrelasjonsfunksjonen blir tilstandsligningen nå

${\displaystyle {\begin{aligned}{P \over k_{B}T}&=\rho -{1 \over 6}\rho ^{2}\int _{V}\!d^{3}r\,r{d \over dr}\left[1-e^{-\beta u(r)}\right]\\&=\rho +{1 \over 2}\rho ^{2}\int _{V}\!d^{3}r\left[1-e^{-\beta u(r)}\right]\end{aligned}}}$

etter en partiell integrasjon. På dette viset kommer korreksjonen til ideell gass frem med et ledd som kalles den andre virialkoeffisienten B₂. Ved en mer nøyaktig fremgangsmåte gyldig ved større tettheter, vil korreksjonene opptre i en rekke med ledd av høyere orden i tettheten ρ . De tilsvarende koeffisientene kan systematisk beregnes, og man har en virial tilstandsligning.

• LibreTexts, Virial Theorem, med forenklet fremstilling
• MathPages, The Virial Theorem, med interessante kommentarer