Rozkład Panjera
Parametry a , b {\displaystyle a,b}
Nośnik N ∪ { 0 } {\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}
Wartość oczekiwana (średnia) a + b 1 − a {\displaystyle {\frac {a+b}{1-a}}}
Wariancja a + b ( 1 − a ) 2 {\displaystyle {\frac {a+b}{(1-a)^{2}}}}
Odkrywca Harry H. Panjer
Rozkład Panjera (rozkład z klasy rozkładów Panjera) – dyskretny rozkład stosowany w matematyce ubezpieczeniowej do opisu liczby szkód w modelu ryzyka łącznego.
Rozkłady Panjera określone są wzorem rekurencyjnym:
p k = ( a + b k ) ⋅ p k − 1 , k ⩾ 1. {\displaystyle p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1},\quad k\geqslant 1.} gdzie p k = P ( X = k ) . {\displaystyle p_{k}=P(X=k).}
Wartość p 0 {\displaystyle p_{0}} wynika z zależności.
∑ k = 0 ∞ p k = 1. {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1.} Rozkłady Panjera to rozkłady spełniających założenia wzoru Panjera w jego podstawowej formie (tzn. przy m = 0 {\displaystyle m=0} ).
Rozkładami należącymi do klasy rozkładów Panjera są (w nawiasie podano zakresy wartości występujących w założeniu parametrów a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} ):
rozkład Poissona (gdy a = 0 , {\displaystyle a=0,} b > 0 {\displaystyle b>0} ), rozkład dwumianowy (gdy a < 0 , {\displaystyle a<0,} b = − a ( l + 1 ) , {\displaystyle b=-a(l+1),} l = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle l=1,2,3,\dots } ), rozkład ujemny dwumianowy (gdy a ∈ ( 0 , 1 ) , {\displaystyle a\in (0,1),} b > − a {\displaystyle b>-a} ), rozkład zdegenerowany p 0 = 1 {\displaystyle p_{0}=1} (gdy b = − a {\displaystyle b=-a} ). Rozkład P r ( N = k ) {\displaystyle Pr(N=k)} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} p 0 {\displaystyle p_{0}} W N ( x ) {\displaystyle W_{N}(x)} E ( N ) {\displaystyle E(N)} V a r ( N ) {\displaystyle Var(N)} dwumianowy ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k {\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}} − p 1 − p {\displaystyle {\frac {-p}{1-p}}} p ( n + 1 ) 1 − p {\displaystyle {\frac {p(n+1)}{1-p}}} ( 1 − p ) n {\displaystyle (1-p)^{n}} ( p x + ( 1 − p ) ) n {\displaystyle (px+(1-p))^{n}} n p {\displaystyle np} n p ( 1 − p ) {\displaystyle np(1-p)} Poissona e − λ λ k k ! {\displaystyle e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}} 0 {\displaystyle 0} λ {\displaystyle \lambda } e − λ {\displaystyle e^{-\lambda }} e λ ( s − 1 ) {\displaystyle e^{\lambda (s-1)}} λ {\displaystyle \lambda } λ {\displaystyle \lambda } ujemny dwumianowy Γ ( r + k ) k ! Γ ( r ) p r ( 1 − p ) k {\displaystyle {\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}} 1 − p {\displaystyle 1-p} ( 1 − p ) ( r − 1 ) {\displaystyle (1-p)(r-1)} p r {\displaystyle p^{r}} ( p 1 − x ( 1 − p ) ) r {\displaystyle \left({\frac {p}{1-x(1-p)}}\right)^{r}} r ( 1 − p ) p {\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p}}} r ( 1 − p ) p 2 {\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}
Można wykazać[1] , że nie istnieją rozkłady spełniające założenia wzoru Panjera dla których:
b < − a , {\displaystyle b<-a,} a ⩾ 1 , {\displaystyle a\geqslant 1,} b > − a , {\displaystyle b>-a,} a < 0 , {\displaystyle a<0,} b > − 1. {\displaystyle b>-1.} Zachodzi ponadto:
V a r ( X ) E ( X ) = 1 1 − a {\displaystyle {\frac {Var(X)}{E(X)}}={\frac {1}{1-a}}} oraz
V a r ( X ) > E ( X ) ⟺ a > 0 , {\displaystyle Var(X)>E(X)\iff a>0,} V a r ( X ) = E ( X ) ⟺ a = 0 , {\displaystyle Var(X)=E(X)\iff a=0,} V a r ( X ) < E ( X ) ⟺ a < 0. {\displaystyle Var(X)<E(X)\iff a<0.} W 1981 roku Bjørn Sundt i William S. Jewell uogólnili wzór Panjera wprowadzając parametr m {\displaystyle m} określający wyraz ciągu ( p n ) n ∈ N {\displaystyle (p_{n})_{n\in \mathbb {N} }} począwszy od którego wszystkie kolejne wyrazy spełniają założenia wzoru Panjera. Wcześniejsze wyrazy są dowolne[1] . Powstała tym samym szersza klasa rozkładów nazywaną klasą Sundta-Jewella [2] .
↑ a b B. B. Sundt B. B. , W.S. W.S. Jewell W.S. W.S. , Further results on recursive evaluation of compound distributions [PDF], „ASTIN Bulletin”, 1, 12, International Actuarial Association , 1981, s. 27–39 (ang. ) .??? ↑ Harry H. Panjer. Sundt and Jewell Class of Distributions . „Encyclopedia of Actuarial Science”, 2006-09-15. John Wiley & Sons, Ltd.. DOI : 10.1002/9780470012505.tas040 . (ang. ) . Wojciech Otto: Ubezpieczenia majątkowe . Wyd. 1. Cz. I: Teoria ryzyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2004, seria: Matematyka w ubezpieczeniach. ISBN 83-204-2887-4 . (pol. ) . Brak numerów stron w książce Rozkłady statystyczne
Rozkłady ciągłe Rozkłady dyskretne