Współrzędne krzywoliniowe

Współrzędne krzywoliniowe mogą być określone w przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle E^{n}}$ o dowolnym, skończonym wymiarze ${\displaystyle n.}$ Tworzą one ${\displaystyle n}$ rodzin linii (w ogólnym przypadku linii krzywych) w postaci regularnych siatek przestrzennych (rys. 1).

Najczęściej spotykanymi są współrzędne:

• prostokątne (kartezjańskie),
• ukośnokątne (afiniczne),
• biegunowe,
• cylindryczne,
• sferyczne.

Aby wprowadzić jakieś współrzędne krzywoliniowe, w danej przestrzeni euklidesowej, trzeba podać odpowiednie wzory transformacyjne opisujące sposób przejścia do tych nowych współrzędnych od starych współrzędnych kartezjańskich. Wymaga się przy tym:

(1) aby współrzędnym kartezjańskim punktów przestrzeni ${\displaystyle E^{n}}$ odpowiadały unikalne wartości ${\displaystyle n}$ współrzędnych krzywoliniowych. Dlatego wzory transformacyjne muszą być opisane funkcjami wzajemnie jednoznacznymi. Ta bijekcja nie zawsze jest możliwa w całej przestrzeni ${\displaystyle E^{n},}$

(2) aby funkcje transformujące były różniczkowalne dostateczną liczbę razy dzięki czemu staje się możliwe zdefiniowanie bogatszej struktury, np. wprowadzenie lokalnych baz wektorów w każdym punkcie dziedziny, co pozwala na definiowanie pól wektorowych czy też tensorowych i wykonywanie na nich operacji różniczkowania i całkowania.

Nazwa „współrzędne krzywoliniowe” została wprowadzona przez francuskiego matematyka Gabriela Lamé. Formalizm współrzędnych krzywoliniowych został uogólniony na przestrzenie nieeuklidesowe, m.in. przez Riemanna.

W tym artykule zagadnienie współrzędnych krzywoliniowych omówiono na przykładzie przestrzeni 3-wymiarowej, która jest dobrym modelem przestrzeni fizycznej (podobnie omawia to np. ^[1]). Zaletą takiego podejścia jest to, że podane w nim pojęcia i metody obliczeniowe w sposób naturalny dają się uogólnić na przestrzenie euklidesowe dowolnego wymiaru. Nieznaczne zaś rozszerzenie formalizmu poprzez dopuszczenie dowolnej postaci tensora metrycznego pozwala łatwo przejść do opisu geometrii nieeuklidesowych.

Układy współrzędnych krzywoliniowych znajdują liczne zastosowania np.:

• w teoriach pól fizycznych (skalarnych, wektorowych i tensorowych); pojawiające się w analizie tych pól wielkości geometryczne, takie jak gradient, dywergencja, rotacja, laplasjan itp. wyraża się we współrzędnych krzywoliniowych, wychodząc od definicji tych wielkości we współrzędnych kartezjańskich i po wykorzystaniu wzorów transformacyjnych. Otrzymanym wyrażeniom nadaje się postać uniwersalną, obowiązującą w dowolnym układzie krzywoliniowym;
• w mechanice klasycznej i w mechanice kwantowej przy rozwiązywaniu zagadnień ruchu ciał poddanych działaniu sił centralnych użycie układu krzywoliniowego upraszcza opis ruchu (np. opis ruchu planet wokół gwiazdy centralnej, czy ruchu elektronu wokół jądra atomu – model atomu Bohra w układzie sferycznym);
• w ogólnej teorii względności – użycie współrzędnych krzywoliniowych jest niezbędne, gdyż efektem działania pól grawitacyjnych jest zakrzywienie czasoprzestrzeni. Nie da się ściśle opisać ani pól grawitacyjnych, ani trajektorii ciał poruszających się w tych polach, za pomocą współrzędnych prostokątnych; np. ciała w polach grawitacyjnych poruszają się po liniach geodezyjnych, które nie są prostymi euklidesowymi.

(1) Niech w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle E^{3},}$ z wprowadzonym w niej układem kartezjańskim ${\displaystyle Ox^{1}x^{2}x^{3},}$ będzie dany punkt ${\displaystyle P}$ opisany jego wektorem wodzącym ${\displaystyle {\vec {r}}(x^{1},x^{2},x^{3})}$ zależnym od trzech parametrów ${\displaystyle q^{1},q^{2},q^{3},}$ tj.

${\displaystyle {\vec {r}}=x^{1}{\vec {e}}_{1}+x^{2}{\vec {e}}_{2}+x^{3}{\vec {e}}_{3},}$

gdzie: ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}}$ są wersorami bazy przyjętego układu współrzędnych kartezjańskich oraz

przy czym funkcje ${\displaystyle x^{i}=x^{i}(q^{1},q^{2},q^{3}),\;i=1,2,3}$ są klasy ${\displaystyle C_{1},}$ tj. mają ciągłe pierwsze pochodne cząstkowe.

(2) Definicja: Parametry ${\displaystyle q^{1},q^{2},q^{3}}$ nazywamy współrzędnymi krzywoliniowymi punktu ${\displaystyle P,}$ jeżeli istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość (1) pomiędzy nimi, a współrzędnymi kartezjańskimi ${\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3}}$ punktu ${\displaystyle P,}$ przy czym wymaga się, by poniższy jakobian był różny od zera dla punktów ${\displaystyle (q^{1},q^{2},q^{3})\in D,}$ gdzie ${\displaystyle D}$ – zbiór, na jakim chce się wprowadzić współrzędne krzywoliniowe, tj.^[2]

${\displaystyle \left|{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{\alpha }}}\right|\equiv \left|{\frac {\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}{\partial (q^{1},q^{2},q^{3})}}\right|\equiv }$

${\displaystyle {}\qquad \equiv \left|{\begin{matrix}{\frac {\partial x^{1}}{\partial q^{1}}}&{\frac {\partial x^{1}}{\partial q^{2}}}&{\frac {\partial x^{1}}{\partial q^{3}}}\\{\frac {\partial x^{2}}{\partial q^{1}}}&{\frac {\partial x^{2}}{\partial q^{2}}}&{\frac {\partial x^{2}}{\partial q^{3}}}\\{\frac {\partial x^{3}}{\partial q^{1}}}&{\frac {\partial x^{3}}{\partial q^{2}}}&{\frac {\partial x^{3}}{\partial q^{3}}}\end{matrix}}\right|\neq 0\,\,{\text{dla}}\,\,(q^{1},q^{2},q^{3})\in D.}$

Warunek niezerowania się jakobianu oznacza, że w każdym punkcie rozważanego obszaru ${\displaystyle D}$ będzie można wprowadzić 3 osie lokalnego układu współrzędnych, styczne do linii współrzędnych i parami nierównoległe (por. rys. 2).

(3) Warunek równoważny: Jakobian transformacji odwrotnej o składowych ${\displaystyle q^{\alpha }=q^{\alpha }(x^{1},x^{2},x^{3}),\,\,\alpha =1,2,3}$ musi być różny od zera dla punktów ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})\in f(D),}$ gdzie ${\displaystyle f(D)}$ – obraz zbioru ${\displaystyle D}$ w transformacji ${\displaystyle f}$ dokonującej przejścia od współrzędnych krzywoliniowych do kartezjańskich.

(4) Definicja: Mówi się, że funkcje ${\displaystyle x^{i}=x^{i}(q^{1},q^{2},q^{3}),\;i=1,2,3}$ wprowadzają w przestrzeni krzywoliniowy układ współrzędnych.

(5) Definicja: Krzywe współrzędnych. Siatka współrzędnych krzywoliniowych

a) Ustalając wartości dwu nowych współrzędnych, a zmieniając wartość pozostałej, otrzymuje się krzywą w przestrzeni opisaną parametrycznie za pomocą zmieniającej się wartości współrzędnej, np.

${\displaystyle {\vec {r}}(q^{1},b,c)}$

przedstawia krzywą współrzędnych ${\displaystyle q^{1}}$ przy ustalonych wartościach współrzędnych ${\displaystyle q^{2}=b}$ oraz ${\displaystyle q^{3}=c.}$

b) Zmieniając wartości ${\displaystyle b,c}$ współrzędnych ${\displaystyle q^{2},\ q^{3},}$ otrzymuje się różne linie siatki współrzędnej ${\displaystyle q^{1}.}$

c) Postępując podobnie dla pozostałych współrzędnych, uzyskuje się wszystkie linie siatki współrzędnych krzywoliniowych.

d) Przez każdy punkt ${\displaystyle P(a,b,c)}$ przechodzą trzy przecinające się wzajemnie linie współrzędnych ${\displaystyle {\vec {r}}(q^{1},b,c),}$ ${\displaystyle {\vec {r}}(a,q^{2},c),}$ ${\displaystyle {\vec {r}}(a,b,q^{3}).}$

(1) Współrzędne sferyczne ${\displaystyle r,\phi ,\theta }$ są zdefiniowane przez następujące funkcje współrzędnych kartezjańskich ${\displaystyle x,y,z{:}}$

${\displaystyle r=r(x,y,z)\equiv {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},}$

${\displaystyle \phi =\phi (x,y,z)\equiv \mathrm {arctg} {\frac {y}{x}},}$

${\displaystyle \theta =\theta (x,y,z)\equiv \mathrm {arctg} {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}},}$

przy czym: ${\displaystyle x\neq 0,\;y\neq 0,\;z\neq 0,}$

${\displaystyle r\in (0,+\infty ),\quad \phi \in [0,2\pi ),\quad \theta \in (0,\pi ).}$

(2) Konwersję ze współrzędnych sferycznych na współrzędne kartezjańskie ${\displaystyle x,y,z}$ określają wzory odwrotne:

${\displaystyle x=x(r,\theta ,\phi )\equiv r\,\sin \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle y=y(r,\theta ,\phi )\equiv r\,\sin \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle z=z(r,\theta ,\phi )\equiv r\,\cos \theta .}$

(3) Jakobian przejścia

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}}=\left|{\begin{array}{c}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}&{\frac {\partial x}{\partial \phi }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}&{\frac {\partial y}{\partial \phi }}\\{\frac {\partial z}{\partial r}}&{\frac {\partial z}{\partial \theta }}&{\frac {\partial z}{\partial \phi }}\end{array}}\right|=}$

${\displaystyle =\left|{\begin{array}{c}\sin \theta \cos \phi &r\cos \theta \cos \phi &-r\sin \theta \sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &r\cos \theta \sin \phi &r\sin \theta \cos \phi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{array}}\right|=r^{2}\sin \theta .}$

W punktach, gdzie jakobian jest różny od zera można wprowadzić lokalne układy wektorów bazowych, styczne do linii współrzędnych (por. rys. 4).

Mając dany układ współrzędnych krzywoliniowych, można określić dla niego, w każdym punkcie przestrzeni, lokalne wersory osi, przy czym można to zrobić na dwa różne sposoby:

1. wersory bazy ${\displaystyle ({\hat {g}}_{1},{\hat {g}}_{2},{\hat {g}}_{3})}$ są styczne do linii współrzędnych, przechodzących przez dany punkt. Współrzędne ${\displaystyle r^{1},r^{2},r^{3}}$ wektora reprezentowanego w tej bazie nazywa się jego współrzędnymi kontrawariantnymi (przeciwzmienniczymi). Tę bazę nazywa się także bazą wektorów kontrawariantnych;
2. wersory kobazy ${\displaystyle ({\hat {g}}^{1},{\hat {g}}^{2},{\hat {g}}^{3}),}$ zwanej też bazą dualną, są normalne do płaszczyzn współrzędnych przechodzących przez dany punkt. Współrzędne ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}$ wektora reprezentowanego w kobazie nazywa się jego współrzędnymi kowariantnymi (współzmienniczymi). Tę bazę nazywa się również bazą wektorów kowariantnych;
3. dowolny wektor w ${\displaystyle E^{3}}$ można zapisać dwojako
   

${\displaystyle {}\qquad \qquad {\vec {v}}=v^{\alpha }{\hat {g}}_{\alpha }=v_{\alpha }{\hat {g}}^{\alpha },\qquad \alpha =1,2,3.}$

W układzie współrzędnych kartezjańskich baza i kobaza są identyczne: ${\displaystyle ({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{3})\equiv ({\hat {e}}^{1},{\hat {e}}^{2},{\hat {e}}^{3}).}$

Aby odróżnić współrzędne kontrawariantne od kowariantnych stosuje się umowę:

1. współrzędnym kontrawariantnym (liczonym względem bazy) przypisuje się wskaźniki górne,
2. współrzędnym kowariantnym (liczonym względem kobazy) przypisuje się wskaźniki dolne.

(1) Wektory bazy i kobazy dla dowolnego układu współrzędnych krzywoliniowych, pozwala obliczać uniwersalna procedura (patrz niżej).

(2) Współrzędne nazywa się ortogonalnymi, jeżeli linie współrzędnych przecinają się pod kątami prostymi. Np. współrzędne sferyczne, walcowe, biegunowe są ortogonalne.

(3) Wektory bazy (i kobazy) współrzędnych ortogonalnych są ortogonalne. W takim przypadku wektory bazy i kobazy są parami równoległe do siebie.

(4) Wybór bazy pozwala wykonywać w niej obliczenia, np.

• dowolne pole wektorowe ${\displaystyle {\vec {r}}(x^{1},x^{2},x^{3})}$ może być rozłożone na składowe przez rzutowanie:

• na wektory bazy – wtedy pole to ma współrzędne kontrawariantne – ${\displaystyle r^{1},r^{2},r^{3}}$ lub
• na wektory kobazy – wtedy pole ma współrzędne kowariantne – ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3};}$

• współrzędne pola są zazwyczaj funkcjami różniczkowalnymi (zależnymi od punktów przestrzeni) – dzięki temu możliwe jest wykonywanie obliczeń, np. obliczanie zmian pola w zadanych warunkach, korzystając z równań pola (np. równań Maxwella, równań Einsteina).

(1) W każdym nieosobliwym punkcie ${\displaystyle {\vec {r}}(x^{1},x^{2},x^{3})}$ rozpatrywanego obszaru ${\displaystyle D}$ można zdefiniować trzy wektory bazowe ${\displaystyle {\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}}$ styczne odpowiednio do krzywych ${\displaystyle q^{1},q^{2},q^{3}}$ przy ustalonych wartościach dwóch pozostałych nowych współrzędnych ${\displaystyle {\vec {g}}_{1}={\tfrac {\partial {\vec {r}}}{\partial q^{1}}}=\left[{\tfrac {\partial x^{1}}{\partial q^{1}}},{\tfrac {\partial x^{2}}{\partial q^{1}}},{\tfrac {\partial x^{3}}{\partial q^{1}}}\right]={\tfrac {\partial x^{1}}{\partial q^{1}}}{\vec {e}}_{1}+{\tfrac {\partial x^{2}}{\partial q^{1}}}{\vec {e}}_{2}+{\tfrac {\partial x^{3}}{\partial q^{1}}}{\vec {e}}_{3},}$

${\displaystyle {\vec {g}}_{2}={\tfrac {\partial {\vec {r}}}{\partial q^{2}}}=\left[{\tfrac {\partial x^{1}}{\partial q^{2}}},{\tfrac {\partial x^{2}}{\partial q^{2}}},{\tfrac {\partial x^{3}}{\partial q^{2}}}\right]={\tfrac {\partial x^{1}}{\partial q^{2}}}{\vec {e}}_{1}+{\tfrac {\partial x^{2}}{\partial q^{2}}}{\vec {e}}_{2}+{\tfrac {\partial x^{3}}{\partial q^{2}}}{\vec {e}}_{3},}$

${\displaystyle {\vec {g}}_{3}={\tfrac {\partial {\vec {r}}}{\partial q^{3}}}=\left[{\tfrac {\partial x^{1}}{\partial q^{3}}},{\tfrac {\partial x^{2}}{\partial q^{3}}},{\tfrac {\partial x^{3}}{\partial q^{3}}}\right]={\tfrac {\partial x^{1}}{\partial q^{3}}}{\vec {e}}_{1}+{\tfrac {\partial x^{2}}{\partial q^{3}}}{\vec {e}}_{2}+{\tfrac {\partial x^{3}}{\partial q^{3}}}{\vec {e}}_{3},}$

gdzie:

${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}}$ – wektory ortonormalne układu współrzędnych kartezjańskich.

(2) Z powyższych wzorów widać, że:

Baza układu kartezjańskiego transformuje się w bazę układu krzywoliniowego za pomocą macierzy transformacji

${\displaystyle \Lambda _{\alpha }^{i}(x^{i}\to q^{\alpha })=\left[{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{\alpha }}}\right],\qquad i,\alpha =1,2,3.}$

Elementami tej macierzy są pochodne współrzędnych kartezjańskich względem współrzędnych krzywoliniowych, obliczone w danym punkcie obszaru ${\displaystyle D.}$ Macierze transformacji obliczone w różnych punktach przestrzeni będą mieć więc na ogół różne elementy.

Macierz transformacji ma istotne znaczenie w określaniu własności transformacyjnych obiektów geometrycznych (wektorów, tensorów), określonych w danym punkcie obszaru ${\displaystyle D.}$

(3) Niezerowanie się jakobianu gwarantuje, że wektory ${\displaystyle {\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}}$ są nierównoległe do siebie, a więc tworzą bazę. W skrócie wektory te można zapisać jednym wyrażeniem ${\displaystyle {\vec {g}}_{\alpha }={\tfrac {\partial {\vec {r}}}{\partial q^{\alpha }}}=\left[{\tfrac {\partial x^{1}}{\partial q^{\alpha }}},{\tfrac {\partial x^{2}}{\partial q^{\alpha }}},{\tfrac {\partial x^{3}}{\partial q^{\alpha }}}\right]={\tfrac {\partial x^{1}}{\partial q^{\alpha }}}{\vec {e}}_{1}+{\tfrac {\partial x^{2}}{\partial q^{\alpha }}}{\vec {e}}_{2}+{\tfrac {\partial x^{3}}{\partial q^{\alpha }}}{\vec {e}}_{3},\quad \alpha =1,2,3}$

lub stosując konwencję sumacyjną Einsteina

gdzie sumuje się po powtarzającym się wskaźniku ${\displaystyle j,}$ przyjmując ${\displaystyle j=1,2,3.}$

(4) Nieznikanie jakobianu w każdym punkcie gwarantuje też, że istnieje wzór odwrotny

gdzie sumuje się po powtarzającym się wskaźniku ${\displaystyle \alpha ,}$ przyjmując ${\displaystyle \alpha =1,2,3.}$

(5) Wzory (2) i (3) realizują wzajemne transformacje pomiędzy bazami: ${\displaystyle ({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})}$ i ${\displaystyle ({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}).}$

(6) Macierz ${\displaystyle \Lambda _{i}^{\alpha }=\left[{\frac {\partial q^{\alpha }}{\partial x^{i}}}\right]}$ jest odwrotna do macierzy ${\displaystyle \Lambda _{\alpha }^{i}=\left[{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{\alpha }}}\right],}$ co oznacza, że słuszna jest zależność

${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{\alpha }}}{\frac {\partial q^{\alpha }}{\partial x^{j}}}=\delta _{j}^{\,i},\quad i,j=1,2,3}$

– sumujemy tu po wskaźniku ${\displaystyle \alpha .}$

(7) Podobnie, słuszna jest zależność odwrotna

${\displaystyle {\frac {\partial q^{\beta }}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial x^{j}}{\partial q^{\alpha }}}=\delta _{\alpha }^{\beta },\quad \alpha ,\beta =1,2,3}$

– sumujemy tu po wskaźniku ${\displaystyle j.}$

Uwaga: Wektory bazy ${\displaystyle {\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}}$ są styczne odpowiednio do linii współrzędnych ${\displaystyle q^{1},q^{2},q^{3}}$ – nie są jednak ortogonalne jeśli linie współrzędnych w danym punkcie nie przecinają się pod kątami prostymi. Ponadto wektory te nie są unormowane do ${\displaystyle 1,}$ co więcej – ich długość może zmieniać się ze zmianą położenia ${\displaystyle {\vec {r}}}$ w przestrzeni. Spośród wielu baz wygodne są bazy ortogonalne, gdyż łatwiej wykonywać w nich obliczenia.

Wektory bazy łatwo unormować do ${\displaystyle 1{:}}$ po prostu dzieli się te wektory przez ich długość, którą oblicza się jako pierwiastek z iloczynu skalarnego wektora przez siebie:

${\displaystyle h_{1}={\sqrt {{\vec {g}}_{1}\cdot {\vec {g}}_{1}}}={\sqrt {\left({\frac {\partial x^{1}}{\partial q^{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x^{2}}{\partial q^{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x^{3}}{\partial q^{1}}}\right)^{2}}},}$

${\displaystyle h_{2}={\sqrt {{\vec {g}}_{2}\cdot {\vec {g}}_{2}}}={\sqrt {\left({\frac {\partial x^{1}}{\partial q^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x^{2}}{\partial q^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x^{3}}{\partial q^{2}}}\right)^{2}}},}$

${\displaystyle h_{3}={\sqrt {{\vec {g}}_{3}\cdot {\vec {g}}_{3}}}={\sqrt {\left({\frac {\partial x^{1}}{\partial q^{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x^{2}}{\partial q^{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x^{3}}{\partial q^{3}}}\right)^{2}}}.}$

Powyższe współczynniki noszą nazwę współczynników Lamego.

Unormowane wektory bazy (tzn. jej wersory) mają postać:

${\displaystyle {\hat {g}}_{1}={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q^{1}}},\quad {\hat {g}}_{2}={\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q^{2}}},\quad {\hat {g}}_{3}={\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q^{3}}}.}$

(1) Współrzędne kartezjańskie ${\displaystyle x,y,z}$ są wyrażone przez współrzędne sferyczne wzorami

${\displaystyle x=r\,\sin \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle y=r\,\sin \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle z=r\,\cos \theta .}$

(2) Obliczamy wektory bazowe: ${\displaystyle {\vec {g}}_{r}={\tfrac {\partial {\vec {r}}}{\partial r}}=\left[{\tfrac {\partial x}{\partial r}},{\tfrac {\partial y}{\partial r}},{\tfrac {\partial z}{\partial r}}\right]=[\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta ],}$ ${\displaystyle {\vec {g}}_{\theta }={\tfrac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}=\left[{\tfrac {\partial x}{\partial \theta }},{\tfrac {\partial y}{\partial \theta }},{\tfrac {\partial z}{\partial \theta }}\right]=[r\cos \theta \cos \phi ,r\cos \theta \sin \phi ,-r\sin \theta ],}$ ${\displaystyle {\vec {g}}_{\phi }={\tfrac {\partial {\vec {r}}}{\partial \phi }}=\left[{\tfrac {\partial x}{\partial \phi }},{\tfrac {\partial y}{\partial \phi }},{\tfrac {\partial z}{\partial \phi }}\right]=[-r\sin \theta \sin \phi ,r\sin \theta \cos \phi ,0].}$

(3) Wektory te są ortogonalne, gdyż zerują się ich iloczyny skalarne

${\displaystyle {\vec {g}}_{r}\cdot {\vec {g}}_{\theta }=0,\quad {\vec {g}}_{r}\cdot {\vec {g}}_{\phi }=0,\quad {\vec {g}}_{\theta }\cdot {\vec {g}}_{\phi }=0,}$

co łatwo policzyć, mnożąc wektory przez siebie.

(4) Obliczamy długości wektorów ${\displaystyle {\vec {g}}_{r},{\vec {g}}_{\phi },{\vec {g}}_{\theta },}$ czyli współczynniki Lamego

${\displaystyle h_{r}={\sqrt {{\vec {g}}_{r}\cdot {\vec {g}}_{r}}}={\sqrt {(\sin \theta \cos \phi )^{2}+(\sin \theta \sin \phi )^{2}+(\cos \theta )^{2}}}=1,}$

${\displaystyle h_{\theta }={\sqrt {{\vec {g}}_{\theta }\cdot {\vec {g}}_{\theta }}}={\sqrt {(r\cos \theta \cos \phi )^{2}+(\dots )^{2}+(\dots )^{2}}}=r,}$

${\displaystyle h_{\phi }={\sqrt {{\vec {g}}_{\phi }\cdot {\vec {g}}_{\phi }}}={\sqrt {(-r\sin \theta \sin \phi )^{2}+(r\sin \theta \cos \phi )^{2}+0^{2}}}=r\sin \theta .}$

(5) Normujemy wektory ${\displaystyle {\vec {g}}_{r},{\vec {g}}_{\phi },{\vec {g}}_{\theta }}$ do ${\displaystyle 1,}$ dzieląc je przez ich długości

${\displaystyle {\hat {g}}_{r}={\frac {{\vec {g}}_{r}}{h_{r}}}=[\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta ],}$

${\displaystyle {\hat {g}}_{\theta }={\frac {{\vec {g}}_{\theta }}{h_{\theta }}}=[\cos \theta \cos \phi ,\cos \theta \sin \phi ,-\sin \theta ],}$

${\displaystyle {\hat {g}}_{\phi }={\frac {{\vec {g}}_{\phi }}{h_{\phi }}}=[-\sin \phi ,\cos \phi ,0].}$

Powyższe wektory tworzą bazę ortonormalną układu kontrawariantnych współrzędnych sferycznych. Widać, że współrzędne tych wektorów zależą tylko od współrzędnych ${\displaystyle \phi ,\theta }$ punktu ${\displaystyle {\vec {r}}=(r,\phi ,\theta ),}$ w którym wektory te tworzą bazę – styczną do linii współrzędnych sferycznych. Oznacza to, że dwie bazy wyznaczone dla dwu różnych punktów o współrzędnych ${\displaystyle (r_{1},\phi ,\theta )}$ i ${\displaystyle (r_{2},\phi ,\theta )}$ są identyczne.

(6) Skrętność układu wektorów bazy

Można sprawdzić, że mnożąc wektorowo wektor ${\displaystyle {\hat {g}}_{r}}$ przez wektor ${\displaystyle {\hat {g}}_{\theta },}$ otrzyma się wektor ${\displaystyle {\hat {g}}_{\phi },}$ tzn.

${\displaystyle {\hat {g}}_{r}\times {\hat {g}}_{\theta }={\hat {g}}_{\phi }}$

co oznacza, że wektory te ustawione w kolejności ${\displaystyle {\hat {g}}_{r},{\hat {g}}_{\theta },{\hat {g}}_{\phi }}$ tworzą bazę prawoskrętną.

a) Ustalając jedną z nowych współrzędnych, a zmieniając dwie pozostałe, otrzymuje się powierzchnię w przestrzeni opisaną parametrycznie za pomocą zmieniających się współrzędnych, np.

${\displaystyle {\vec {r}}(q^{1},q^{2},c)}$

przedstawia powierzchnię współrzędnych ${\displaystyle q^{1},q^{2}}$ przy ustalonej wartości współrzędnej ${\displaystyle q^{3}=c.}$

b) Zmieniając wartość ${\displaystyle c}$ współrzędnej ${\displaystyle q^{3},}$ otrzymuje się różne powierzchnie współrzędnych ${\displaystyle q^{1},q^{2}.}$

c) Postępując podobnie dla pozostałych współrzędnych, uzyskuje się wszystkie powierzchnie współrzędnych krzywoliniowych.

d) Przez każdy punkt ${\displaystyle P(a,b,c)}$ przechodzą trzy przecinające się wzajemnie powierzchnie współrzędnych ${\displaystyle {\vec {r}}(q^{1},q^{2},c),}$ ${\displaystyle {\vec {r}}(a,q^{2},q^{3}),}$ ${\displaystyle {\vec {r}}(q^{1},b,q^{3}).}$

W każdym punkcie ${\displaystyle {\vec {r}}}$ przestrzeni można zdefiniować trzy wektory kobazowe, prostopadłe do kolejnych powierzchni ${\displaystyle E^{2}}$ o ustalonej wartości jednej z nowych współrzędnych; wektory te oblicza się jako gradienty nowych współrzędnych

${\displaystyle {\vec {g}}^{1}={\text{grad}}\,q^{1}=\left[{\frac {\partial q^{1}}{\partial x^{1}}},{\frac {\partial q^{1}}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial q^{1}}{\partial x^{3}}}\right]={\frac {\partial q^{1}}{\partial x^{1}}}{\vec {e}}_{1}+{\frac {\partial q^{1}}{\partial x^{2}}}{\vec {e}}_{2}+{\frac {\partial q^{1}}{\partial x^{3}}}{\vec {e}}_{3},}$

${\displaystyle {\vec {g}}^{2}={\text{grad}}\,q^{2}=\left[{\frac {\partial q^{2}}{\partial x^{1}}},{\frac {\partial q^{2}}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial q^{2}}{\partial x^{3}}}\right]={\frac {\partial q^{2}}{\partial x^{1}}}{\vec {e}}_{1}+{\frac {\partial q^{2}}{\partial x^{2}}}{\vec {e}}_{2}+{\frac {\partial q^{2}}{\partial x^{3}}}{\vec {e}}_{3},}$

${\displaystyle {\vec {g}}^{3}={\text{grad}}\,q^{3}=\left[{\frac {\partial q^{3}}{\partial x^{1}}},{\frac {\partial q^{3}}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial q^{3}}{\partial x^{3}}}\right]={\frac {\partial q^{3}}{\partial x^{1}}}{\vec {e}}_{1}+{\frac {\partial q^{3}}{\partial x^{2}}}{\vec {e}}_{2}+{\frac {\partial q^{3}}{\partial x^{3}}}{\vec {e}}_{3},}$

gdzie:

${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}}$ – wektory ortonormalne układu współrzędnych kartezjańskich.

Uwaga 1: Wektory kobazy można formalnie otrzymać z wektorów bazy przez zamianę licznika z mianownikiem we wzorach, np. z ${\displaystyle {\vec {g}}_{1}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q^{1}}}}$ otrzyma się ${\displaystyle {\vec {g}}^{1}={\frac {\partial q^{1}}{\partial {\vec {r}}}}{:}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}{\vec {g}}_{1}&{}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q^{1}}}&{}=\left[{\frac {\partial x^{1}}{\partial q^{1}}},{\frac {\partial x^{2}}{\partial q^{1}}},{\frac {\partial x^{3}}{\partial q^{1}}}\right]={\frac {\partial x^{1}}{\partial q^{1}}}{\vec {e}}_{1}+{\frac {\partial x^{2}}{\partial q^{1}}}{\vec {e}}_{2}+{\frac {\partial x^{3}}{\partial q^{1}}}{\vec {e}}_{3},\\[1ex]{\vec {g}}^{1}&{}={\text{grad}}\,q^{1}&{}=\left[{\frac {\partial q^{1}}{\partial x^{1}}},{\frac {\partial q^{1}}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial q^{1}}{\partial x^{3}}}\right]={\frac {\partial q^{1}}{\partial x^{1}}}{\vec {e}}_{1}+{\frac {\partial q^{1}}{\partial x^{2}}}{\vec {e}}_{2}+{\frac {\partial q^{1}}{\partial x^{3}}}{\vec {e}}_{3}.\end{alignedat}}}$

Uwaga 2: Z powyższej własności wynika, że długości wektorów bazy i kobazy są liczbami wzajemnie odwrotnymi. Innymi słowy: współczynniki Lamego dla wektorów bazy są odwrotnościami współczynników dla wektorów kobazy

${\displaystyle h^{1}={\sqrt {{\vec {g}}^{1}\cdot {\vec {g}}^{1}}}={\frac {1}{h_{1}}},}$

${\displaystyle h^{2}={\sqrt {{\vec {g}}^{2}\cdot {\vec {g}}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}}},}$

${\displaystyle h^{3}={\sqrt {{\vec {g}}^{3}\cdot {\vec {g}}^{3}}}={\frac {1}{h_{3}}}.}$

Powyższe współczynniki naszą nazwę współczynników Lamego dla wektorów kobazy.

Uwaga 3: Wektory ${\displaystyle {\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}}$ kobazy są prostopadłe do powierzchni współrzędnych – wektory te nie są jednak w ogólności ortogonalne, jeśli powierzchnie współrzędnych w danym punkcie nie przecinają się pod kątami prostymi. Ponadto wektory te nie są unormowane do ${\displaystyle 1,}$ co więcej – ich długość może zmieniać się ze zmianą położenia ${\displaystyle {\vec {r}}}$ w przestrzeni.

(1) Współrzędne sferyczne ${\displaystyle r,\phi ,\theta }$ są wyrażone przez współrzędne kartezjańskie ${\displaystyle x,y,z{:}}$

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},}$

${\displaystyle \phi =\mathrm {arctg} {\frac {y}{x}},}$

${\displaystyle \theta =\mathrm {arctg} {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}.}$

(2) Obliczamy wektory kobazy:

${\displaystyle {\vec {g}}^{r}={\frac {\partial r}{\partial {\vec {r}}}}=\left[{\frac {\partial r}{\partial x}},{\frac {\partial r}{\partial y}},{\frac {\partial r}{\partial z}}\right]=[\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta ],}$

${\displaystyle {\vec {g}}^{\theta }={\frac {\partial \theta }{\partial {\vec {r}}}}=\left[{\frac {\partial \theta }{\partial x}},{\frac {\partial \theta }{\partial y}},{\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right]=\left[{\frac {\cos \theta \cos \phi }{r}},{\frac {\cos \theta \sin \phi }{r}},-{\frac {\sin \theta }{r}}\right],}$

${\displaystyle {\vec {g}}^{\phi }={\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {r}}}}=\left[{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right]=\left[-{\frac {\sin \phi }{r\sin \theta }},{\frac {\cos \phi }{r\sin \theta }},0\right].}$

(3) Wektory te są ortogonalne, gdyż zerują się ich iloczyny skalarne

${\displaystyle {\vec {g}}^{r}\cdot {\vec {g}}^{\theta }=0,\quad {\vec {g}}^{r}\cdot {\vec {g}}^{\phi }=0,\quad {\vec {g}}^{\theta }\cdot {\vec {g}}^{\phi }=0,}$

co łatwo policzyć.

(4) Obliczamy długości wektorów ${\displaystyle {\vec {g}}^{r},{\vec {g}}^{\phi },{\vec {g}}^{\theta },}$ czyli współczynniki Lamego

${\displaystyle h^{r}={\sqrt {{\vec {g}}^{r}\cdot {\vec {g}}^{r}}}={\sqrt {(\sin \theta \cos \phi )^{2}+(\sin \theta \sin \phi )^{2}+(\cos \theta )^{2}}}=1,}$

${\displaystyle h^{\theta }={\sqrt {{\vec {g}}^{\theta }\cdot {\vec {g}}^{\theta }}}={\sqrt {(\dots )^{2}+(\dots )^{2}+(\dots )^{2}}}={\frac {1}{r}},}$

${\displaystyle h^{\phi }={\sqrt {{\vec {g}}^{\phi }\cdot {\vec {g}}^{\phi }}}={\sqrt {(\dots )^{2}+(\dots )^{2}+0^{2}}}={\frac {1}{r\sin \theta }}.}$

Porównując współczynniki Lamego dla bazy ze współczynnikami dla kobazy, widać, że są one parami, liczbami wzajemnie odwrotnymi, tj. ${\displaystyle h^{r}=1/{h_{r}},\ h^{\theta }=1/{h_{\theta }},\ h^{\phi }=1/{h_{\phi }}.}$

(5) Normujemy wektory ${\displaystyle {\vec {g}}_{r},{\vec {g}}_{\theta },{\vec {g}}_{\phi }}$ do ${\displaystyle 1,}$ dzieląc je przez ich długości

${\displaystyle {\hat {g}}^{r}={\frac {{\vec {g}}^{r}}{h^{r}}}=[\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta ],}$

${\displaystyle {\hat {g}}^{\theta }={\frac {{\vec {g}}^{\theta }}{h^{\theta }}}=[\cos \theta \cos \phi ,\cos \theta \sin \phi ,-\sin \theta ],}$

${\displaystyle {\hat {g}}^{\phi }={\frac {{\vec {g}}^{\phi }}{h^{\phi }}}=[-\sin \phi ,\cos \phi ,0].}$

Powyższe wektory tworzą kobazę ortonormalną układu współrzędnych sferycznych. Widać, że współrzędne tych wektorów zależą tylko od współrzędnych ${\displaystyle \phi ,\theta }$ punktu ${\displaystyle {\vec {r}}=(r\,\phi ,\theta ),}$ w którym te wektory obliczono.

(6) Porównując wektory kobazy ortonormalnej ${\displaystyle {\hat {g}}^{r},{\hat {g}}^{\theta },{\hat {g}}^{\phi }}$ z wektorami bazy ortonormalnej ${\displaystyle {\hat {g}}_{r},{\hat {g}}_{\theta },{\hat {g}}_{\phi },}$ widać, że są one parami identyczne. Oznacza to, że wektory nieunormowane ${\displaystyle {\vec {g}}^{r},{\vec {g}}^{\phi },{\vec {g}}^{\theta }}$ oraz ${\displaystyle {\vec {g}}_{r},{\vec {g}}_{\phi },{\vec {g}}_{\theta }}$ są parami do siebie równoległe.

Jest to przejawem ogólnej własności: wektory bazy i kobazy dla współrzędnych krzywoliniowych ortogonalnych są parami równoległe.

Wyrażając w bazie ${\displaystyle {\vec {g}}_{i},\;i=1,2,3}$ układu współrzędnych wektor infinitezymalnego przemieszczenia ${\displaystyle d{\vec {r}}}$ (tj. ${\displaystyle d{\vec {r}}=dq^{i}{\vec {g}}_{i}),}$ otrzyma się wielkość skalarną

${\displaystyle ds^{2}\equiv |d{\vec {r}}|^{2}=d{\vec {r}}\cdot d{\vec {r}}=dq^{i}{\vec {g}}_{i}\cdot dq^{j}{\vec {g}}_{j}={\vec {g}}_{i}{\cdot }{\vec {g}}_{j}\,dq^{i}dq^{j}.}$

Można pokazać, że powyższa wielkość jest niezmiennikiem, co jest zgodne z tym, iż iloczyn skalarny wektorów jest wielkością geometryczną, niezależną od bazy, w której wektory się wyraża.

Iloczyny skalarne wektorów bazy ${\displaystyle {\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{j}}$ mają istotne znaczenie – tworzą tensor metryczny (kowariantny).

1) Tensorem metrycznym kowariantnym nazywa się tensor ${\displaystyle g_{ij}}$ utworzony z iloczynów skalarnych wektorów bazy, tj.

${\displaystyle g_{ij}={\vec {g}}_{i}{\vec {g}}_{j}.}$

2) Tensorem metrycznym kontrawariantnym nazywa się tensor utworzony z iloczynów skalarnych wektorów kobazy, tj.

${\displaystyle g^{ij}={\vec {g}}^{i}{\vec {g}}^{j}.}$

3) Tensorem metrycznym mieszanym nazywa się tensor

${\displaystyle g_{i}^{\,\,j}={\vec {g}}_{i}\,{\vec {g}}^{j}=\delta _{i}^{\,j}}$

lub

${\displaystyle g_{\,j}^{i}={\vec {g}}^{i}\,{\vec {g}}_{j}=\delta _{j}^{i}.}$