Matemática financeira

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A matemática financeira utiliza uma série de conceitos matemáticos aplicados à análise de dados financeiros em geral.^[1] Os problemas clássicos de matemática financeira são ligados a questão do valor do dinheiro no tempo (juro e inflação) e como isso é aplicado a empréstimos, investimentos e avaliação financeira de projetos.^[2] E esses conceitos, comuns nos livros didáticos de matemática, propõem e reforçam comportamentos financeiros ligados ao consumo quando trabalham o conteúdo com questões e exemplos relativos ao tema.^[3]

O tema também pode de ser aplicado a precificação de ações e de derivativos, mas esse tipo de aplicação não é tratada neste artigo.

• Principal, Capital ou Valor Presente: Valor que está sendo emprestado ou investido.
• Juro: Compensação paga pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento) para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. Pode ser expresso em valor monetário ($) ou como uma taxa de juro (%).
• Saldo: É a soma do Principal com o Juro em um determinado momento.
• Parcela ou Pagamento: Valor pago pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento).

Ver artigo principal: Juro

Em geral, os problemas tratados pela matemática financeira consideram o regime de juros compostos ao invés de juros simples. Nesse regime, a fórmula usada é : ^[2]

${\displaystyle FV=PV(1+i)^{n},}$

ou, invertendo os termos,

${\displaystyle PV={\frac {FV}{(1+i)^{n}\,}},}$

onde

• ${\displaystyle FV:}$ Valor Futuro (do inglês Future Value)
• ${\displaystyle PV:}$ Valor Presente (do inglês Present Value)
• ${\displaystyle i:}$ Taxa de juros (do inglês Interest Rate)
• ${\displaystyle n:}$ Número de períodos

Esse pode ser o caso de financiamento de um bem de consumo, como o exemplo descrito na seção Exemplo de aplicação acima.^[2]

O valor ${\displaystyle pmt}$ de cada parcela (ou pagamento periódico) pode ser considerado como o Valor Futuro (${\displaystyle FV}$) relativo a essa parcela. Portanto, a parcela do 3º mês, por exemplo, pode ser trazida a Valor Presente através da seguinte fórmula:

${\displaystyle PV_{3}={\frac {pmt}{(1+i)^{3}\,}}}$

Nesse caso, o Valor Presente (${\displaystyle PV}$) total é a soma dos "Valores Presentes" de todas as parcelas:

${\displaystyle PV=\sum _{k=1}^{n}{\frac {pmt}{(1+i)^{k}\,}}}$

Esse somatório representa a soma de uma progressão geométrica porque cada parcela ${\displaystyle k}$ é o resultado da parcela anterior multiplicado por um valor constante a cada período que passa. Nesse caso, trata-se de uma progressão geométrica de valor inicial ${\displaystyle a_{1}={\tfrac {pmt}{(1+i)}}}$ e razão (a ser multiplicada pelo termo anterior) ${\displaystyle q={\tfrac {1}{(1+i)}}}$. Assim, aplicando a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{1}q^{i-1}={\tfrac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}}$, chega-se em:

${\displaystyle PV={\frac {{\frac {pmt}{(1+i)}}\left(1-{\frac {1}{(1+i)}}^{n}\right)}{1-{\frac {1}{(1+i)}}}}}$

simplificando os termos, chega-se em:

${\displaystyle PV={\frac {pmt}{i}}\left(1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right)}$

ou, invertendo os termos,

${\displaystyle pmt={\frac {PV\cdot i}{1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}}}}$

Esse exemplo considera que o primeiro pagamento ocorre 1 período depois do primeiro fluxo. Ou seja, entre ${\displaystyle PV}$ e ${\displaystyle pmt_{1}}$ existe um período. Caso o primeiro pagamento ocorra no período 0 (zero) ou depois de 1 período, a fórmula precisa ser adaptada.

Da mesma forma como o exemplo anterior, o Valor Presente (${\displaystyle PV}$) total é a soma dos "Valores Presentes" de todas as parcelas, porém, considerando ${\displaystyle n=\infty .}$ Aplicando a fórmula da soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{1}q^{n-1}={\frac {a_{1}}{1-q}}}$, chega-se a:

${\displaystyle PV={\frac {\frac {pmt}{1+i}}{1-{\frac {1}{1+i}}}}}$

simplificando os termos, chega-se em:

${\displaystyle PV={\frac {pmt}{i}}}$

Nesses casos, não é possível chegarmos em uma fórmula genérica simples para o Valor Presente ${\displaystyle PV}$. É necessário somar o Valor Presente de cada pagamento descontando cada parcela pelo prazo correspondente. No caso dos pagamentos terem uma periodicidade constante, pode-se usar a fórmula comumente chamada de Valor Presente Líquido ${\displaystyle VPL}$ (ou ${\displaystyle NPV}$ do inglês Net Present Value):

${\displaystyle {\mbox{NPV}}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {CF_{t}}{(1+i)^{t}}}}$ onde ${\displaystyle CF_{t}}$ é o Fluxo de Caixa (do inglês Cash Flow) no período ${\displaystyle t}$

Projetos de investimento, como a abertura de uma loja, compra de uma máquina ou construção de uma estrada requerem um investimento financeiro inicial e é esperado que gerem resultado financeiro positivo ao longo do tempo. A matemática financeira ajuda a avaliar se o resultado esperado compensará o investimento inicial.^[2]

Nesses casos, costuma-se usar uma notação um pouco diferente da que foi usada nesse artigo até aqui:

• ${\displaystyle CF}$ ou ${\displaystyle FC:}$ Fluxo de Caixa (Cash Flow em inglês). Valor monetário esperado em determinado período. Pode ser interpretado como o resultado financeiro (lucro) trazido pelo projeto em determinado mês ou ano.
• ${\displaystyle CF_{0}}$ ou ${\displaystyle FC_{0}:}$ Costuma ser usado para identificar o Investimento Inicial, que é feito no momento 0 (zero). Valor monetário a ser investido no projeto ao iniciá-lo. Normalmente é um valor negativo, caracterizando-o como uma despesa.
• ${\displaystyle NPV}$ ou ${\displaystyle VPL:}$ Valor Presente Líquido (Net Present Value em inglês). Soma do investimento inicial com os demais fluxos de caixa trazidos a valor presente.

${\displaystyle NPV=CF_{0}+{\frac {CF_{1}}{(1+i)}}+{\frac {CF_{2}}{(1+i)^{2}}}+{\frac {CF_{3}}{(1+i)^{3}}}+\cdots }$

A taxa de juros (${\displaystyle i}$) a ser usada no cálculo do valor presente líquido para avaliação de projetos é a taxa mínima de atratividade (TMA), que é a taxa de juros que representa o mínimo que o investidor se propõe a ganhar ao fazer o investimento.

Indicadores usados na avaliação financeira de projetos:

Payback: Tempo decorrido entre o investimento inicial e o momento no qual o lucro líquido acumulado se iguala ao valor desse investimento.

Taxa Interna de Retorno — TIR ou IRR (do inglês Internal Rate of Return): Valor da taxa de juro para que ${\displaystyle NPV}$ seja igual a 0 (zero).

• Mercado de capitais
• Renda fixa

Referências

O Wikilivros tem um livro chamado Matemática financeira

A Wikiversidade possui cursos relacionados a Matemática financeira

• Calculadora Financeira On-line- Versão on-line das principais fórmulas financeiras do Excel e OpenOffice Calc.
• Calculadora de Amortização- Calcula o pagamento dos juros e do principal bem como o acumulado dos juros e pagamentos.
• Calculadora HP-12C Virtual
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