Número surreal

Conjuntos de números

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$

$\mathbb {I} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$

Naturais $\mathbb {N}$
Inteiros $\mathbb {Z}$
Racionais $\mathbb {Q}$
Irracionais $\mathbb {I}$ (Este conjunto não faz parte dos conjuntos anteriores mas está contido em $\mathbb {R}$ )
Reais $\mathbb {R}$
Imaginários
Complexos $\mathbb {C}$
Números hiper-reais
Números hipercomplexos

Quaterniões $\mathbb {H}$
Octoniões $\mathbb {O}$
Sedeniões $\mathbb {S}$
Complexos hiperbólicos $\mathbb {R} ^{1,1}$
Quaterniões hiperbólicos
Bicomplexos
Biquaterniões
Coquaterniões

Em matemática, os números surreais são uma classe de números que inclui todos os números reais e também números "infinitos", maiores ou menores que qualquer número real; também inclui números "infinitesimais", que estão mais próximos do zero que qualquer número real. Todos os números reais estão rodeados de números surreais, que estão mais próximos de si do que qualquer número real. Os números surreais têm estrutura de corpo ordenado, o que significa que as quatro operações aritméticas básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) são definidas e se comportam como esperado. O inverso multiplicativo de um número infinito é um infinitesimal não nulo, e vice-versa. Nisto, os surreais são semelhantes aos números hiperreais, mas a sua construção é muito diferente. A classe dos surreais é maior e inclui os hiperreais^[1] como também os ordinais de Cantor como subclasses. Os matemáticos elogiaram os surreais por serem mais simples, mais gerais e construídos de forma mais limpa do que o sistema, mais comum, dos números reais.

Histórico

No contexto tradicional da teoria dos conjuntos, não existe o conjuntos dos números surreais, que, se existisse, teria a cardinalidade do conjunto de todos os conjuntos.

Os ordinais infinitos já constavam na obra de Bertrand Russell no Principia mathematica e no Introdução à Filosofia da Matemática.

Já os números surreais foram inicialmente propostos por John H. Conway por volta de 1970, e mais tarde desenvolvidos por Donald Knuth^[2] no seu livro de 1974 Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness. Este livro era, na realidade, uma noveleta matemática e é notável por ser um dos raros casos em que uma nova ideia matemática foi apresentada pela primeira vez numa obra de ficção. No seu livro, que toma a forma de diálogo, Knuth criou o termo números surreais para aquilo que Conway tinha simplesmente chamado números. Conway gostou do novo nome, e adoptou-o mais tarde ele mesmo. Conway então descreveu os números surreais e usou-os para analisar jogos no seu livro de 1976 On Numbers and Games.

Esboço da construção

Um número surreal é representado por um par ordenado (representado como {L|R}) em que L e R são conjuntos de números surreais, e em que não existe um elemento de L que seja maior que algum elemento de R. Quando L ou R for vazio, ele pode ser omitido na representação. As chavetas em volta do conjunto também podem ser omitidas na representação (ou seja, {{}|{a,b,c}} pode ser representado como {|a,b,c}). Intuitivamente, o número surreal representado por {L|R} está "entre" os elementos de L e os elementos de R, ou seja, l < {L|R} < r para todos $l\in L$ e $r\in R.$

Esta definição é análoga à definição de conjunto, na teoria dos conjuntos com o axioma da regularidade: A é um conjunto se A = { A₁, A₂, ... } em que cada A_i é um conjunto.

A ordenação é definida também de forma indutiva, ou seja, {A|B} será menor ou igual a {C|D} dependendo de propriedades dos blocos mais básicos (essencialmente compara-se cada elemento de A com {C|D}, cada elemento de B com {C|D}, etc).

Os números surreais e sua ordenação são definidos por indução transfinita, a partir do zero, definido como {|}. A cada geração, aparecem novos números e outras formas (equivalentes) de representar números de gerações anteriores.

Assim, a geração inicial S₀ inclui apenas o zero, 0 = {|}.

A geração um S₁ inclui os números surreais que são construídos a partir do zero, ou seja, {0|} e {|0}. O par {0|0} não é um número surreal, porque existe um elemento no lado esquerdo (zero) que é maior ou igual que um elemento no lado direito (zero). Nesta geração, temos que {|0} < {|} < {0|}.

Referências

↑ Béla Bajnok (2013). An Invitation to Abstract Mathematics. [S.l.: s.n.]
↑ «Título ainda não informado (favor adicionar)» (PDF). www.ime.usp.br

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[1] Béla Bajnok (2013). An Invitation to Abstract Mathematics. [S.l.: s.n.]

[2] «Título ainda não informado (favor adicionar)» (PDF). www.ime.usp.br

[1]

[2]

v d e Números
Conjuntos contáveis	Números naturais ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Números inteiros ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Números racionais ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Números algébricos ( $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ ) Números computáveis
Números reais e suas extensões	Números reais ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Números complexos ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) Quaterniões ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Octoniões ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Sedeniões ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Números complexos hiperbólicos Números hipercomplexos Números superreais Números irracionais Números transcendentais Números transfinitos Números hiper-reais Números surreais
Outros sistemas	Números cardinais Números ordinais Números p-ádicos Números supernaturais

v d e Infinitesimais
História	Adigualdade Cálculo Notação de Leibniz Símbolo integral Críticas à análise não-standard The Analyst O Método dos Teoremas Mecânicos Princípio de Cavalieri
Ramos correlacionados	Análise não padronizada Cálculo não-standard Teoria interna dos conjuntos Geometria diferencial sintética Análise não-standard construtiva
Formalizações	Diferencial Número hiper-real Número dual Número surreal
Conceitos individuais	Standard part function Transfer principle Hiperinteiro Teorema do incremento Monad Conjunto interno Corpo de Levi-Civita Conjunto hiperfinito Princípio da continuidade Overspill Micro-continuidade Transcendental law of homogeneity
Pessoas	Gottfried Wilhelm Leibniz Abraham Robinson Pierre de Fermat Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler
Física/Engenharia	Deformação relativa Equação do pêndulo
Livros texto	Analyse des Infiniment Petits Elementary Calculus Cours d'Analyse

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