Гармоническое число H n , 1 {\displaystyle H_{n,1}} , где n = ⌊ x ⌋ {\displaystyle n=\lfloor {x}\rfloor } (красная линия) и его асимптотический предел γ + ln ( x ) {\displaystyle \gamma +\ln(x)} (синяя линия). В математике n -м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда :
H n = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n . {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.} Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда .
Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана .
Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом: { H n = H n − 1 + 1 n H 1 = 1 {\displaystyle {\begin{cases}H_{n}=H_{n-1}+{\frac {1}{n}}\\H_{1}=1\end{cases}}} Также верно соотношение: H n = γ + ψ ( n + 1 ) = Γ ′ ( n ) Γ ( n ) + 1 n + γ {\displaystyle H_{n}=\gamma +\psi (n+1)={\frac {\Gamma '(n)}{\Gamma (n)}}+{\frac {1}{n}}+\gamma } , где ψ ( n ) {\displaystyle \psi (n)} — дигамма-функция , γ = − ψ ( 1 ) {\displaystyle \gamma =-\psi (1)} — постоянная Эйлера — Маскерони . Еще соотношения: H n = ∑ k = 1 n ( n k ) ( − 1 ) k + 1 k {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}} H n = n ∑ k = 1 n ( n − 1 k − 1 ) ( − 1 ) k + 1 k 2 = ( − 1 ) n − 1 n Δ n − 1 1 − 2 , {\displaystyle H_{n}={n}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {(-1)^{k+1}}{k^{2}}}={(-1)^{n-1}}{n}\Delta ^{n-1}{1}^{-2},} где Δ n 1 − 2 = Δ n x − 2 {\displaystyle \Delta ^{n}{1}^{-2}=\Delta ^{n}{x}^{-2}} в точке x = 1 {\displaystyle {x}=1} - верхняя конечная разность n -го порядка функции f ( x ) = 1 x 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{{x}^{2}}}} . Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках, отличных от точек натурального ряда):
интегральные представления: H x = ∫ 0 1 1 − t x 1 − t d t , R e ( x ) > − 1 {\displaystyle H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}dt,\quad Re(x)>-1} предельные представления: H x = lim n → ∞ ( ln ( n ) − ∑ k = 0 n 1 x + k + 1 ) + γ {\displaystyle H_{x}=\lim _{n\to \infty }\left(\ln(n)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{x+k+1}}\right)+\gamma } H x = x ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + 1 ) ( x + k + 1 ) {\displaystyle H_{x}=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)(x+k+1)}}} ; разложение в ряд Тейлора в точке x = 0 {\displaystyle x=0} : H x = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 ζ ( k + 1 ) x k = ζ ( 2 ) x − ζ ( 3 ) x 2 + ζ ( 4 ) x 3 − ζ ( 5 ) x 4 + ⋯ , {\displaystyle H_{x}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)x^{k}=\zeta (2)x-\zeta (3)x^{2}+\zeta (4)x^{3}-\zeta (5)x^{4}+\cdots ,} где ζ ( x ) {\displaystyle \zeta (x)} — дзета-функция Римана ; асимптотическое разложение : H x = γ + ln ( x ) + 1 2 x − 1 12 x 2 + 1 120 x 4 − 1 252 x 6 + 1 240 x 8 − 1 132 x 10 + ⋯ {\displaystyle H_{x}=\gamma +\ln(x)+{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+{\frac {1}{240x^{8}}}-{\frac {1}{132x^{10}}}+\cdots } . ∑ k = 1 ∞ H k z k = − ln ( 1 − z ) 1 − z {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }H_{k}z^{k}=-{\frac {\ln(1-z)}{1-z}}}
H 1 / 2 = 2 − 2 ln 2 {\displaystyle H_{1/2}=2-2\ln 2} H 1 / 3 = 3 − 3 ln 3 2 − π 2 3 {\displaystyle H_{1/3}=3-{\frac {3\ln 3}{2}}-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}} H 1 / 4 = 4 − 3 ln 2 − π 2 {\displaystyle H_{1/4}=4-3\ln 2-{\frac {\pi }{2}}} H 1 / 5 = 5 − 5 ln 5 4 − 1 2 1 + 2 5 π − 5 2 ln φ , {\displaystyle H_{1/5}=5-{\frac {5\ln 5}{4}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\pi -{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln \varphi ,} где φ {\displaystyle \varphi } — золотое сечение . H 1 / 7 = 7 − ln 14 − π 2 c t g π 7 − 2 cos ( π 7 ) ln ( cos π 14 ) + 2 sin ( 3 π 14 ) ln ( sin π 7 ) − 2 sin ( π 14 ) ln ( cos 3 π 14 ) {\displaystyle H_{1/7}=7-\ln 14-{\frac {\pi }{2}}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{7}}-2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\ln \left(\cos {\frac {\pi }{14}}\right)+2\sin \left({\frac {3\pi }{14}}\right)\ln \left(\sin {\frac {\pi }{7}}\right)-2\sin \left({\frac {\pi }{14}}\right)\ln \left(\cos {\frac {3\pi }{14}}\right)} Суммы, связанные с гармоническими числами [ править | править код ] ∑ k = 1 n H k = ( n + 1 ) H n − n = ( n + 1 ) ( H n + 1 − 1 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{H_{k}}=(n+1){H_{n}}-n=(n+1)({H_{n+1}}-1)} ∑ k = 1 ∞ H k k = ∞ {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k}}=\infty } ∑ k = 1 ∞ H k k 2 = 2 ζ ( 3 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}=2\zeta (3)} ∑ k = 1 ∞ H k k 3 = 1 2 ζ ( 2 ) 2 = 5 4 ζ ( 4 ) = π 4 72 {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{3}}}={\frac {1}{2}}\zeta (2)^{2}={\frac {5}{4}}\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{72}}} ∑ k = 1 ∞ H k k 4 = 3 ζ ( 5 ) − ζ ( 2 ) ζ ( 3 ) = 3 ζ ( 5 ) − π 2 6 ζ ( 3 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{4}}}=3\zeta (5)-\zeta (2)\zeta (3)=3\zeta (5)-{\frac {\pi ^{2}}{6}}\zeta (3)} Тождества, связанные с гармоническими числами [ править | править код ] ( H n ) 3 = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n 1 i j k {\displaystyle (H_{n})^{3}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{ijk}}} ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n − 1 ∑ k = j + 1 1 1 i j k = 1 2 H n ( H n 2 − ζ n ( 2 ) ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{1}{\frac {1}{ijk}}={\frac {1}{2}}H_{n}(H_{n}^{2}-\zeta _{n}(2))} , где ζ n ( 2 ) = ∑ k = 1 n 1 k 2 {\displaystyle \zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}} ζ n ( 2 ) = ( H n ) 2 − ∑ k = 1 n − 1 2 H k k + 1 − 1 {\displaystyle \zeta _{n}(2)=(H_{n})^{2}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {2H_{k}}{k+1}}-1} , где ζ n ( 2 ) = ∑ k = 1 n 1 k 2 {\displaystyle \zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}} H n 2 + 1 = ( H n ) 2 + ∑ k = 1 n − 1 ( H ( k + 1 ) 2 − 1 − 2 H k k + 1 − H k 2 ) {\displaystyle H_{n^{2}}+1=(H_{n})^{2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(H_{(k+1)^{2}-1}-{\frac {2H_{k}}{k+1}}-H_{k^{2}}\right)} С помощью формулы суммирования Эйлера-Маклорена получаем следующую формулу:
H n = ln n + γ + 1 2 n + ∑ k = 1 m B 2 k 2 k n 2 k − θ m , n B 2 m + 2 ( 2 m + 2 ) n 2 m + 2 , {\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}+\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}}},} где 0 < θ m , n < 1 {\displaystyle 0<\theta _{m,n}<1} , γ {\displaystyle \gamma } — постоянная Эйлера , которую можно вычислить быстрее из других соображений[каких? ] , а B k {\displaystyle B_{k}} — числа Бернулли .
Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа p > 3 {\displaystyle p>3} выполняется сравнение: H p − 1 ≡ 0 ( mod p 2 ) . {\displaystyle H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}.} Некоторые значения гармонических чисел [ править | править код ] H 1 = 1 H 2 = 3 2 = 1 , 5 H 3 = 11 6 ≈ 1,833 H 4 = 25 12 ≈ 2,083 H 5 = 137 60 ≈ 2,283 {\displaystyle {\begin{matrix}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\H_{3}&=&{\frac {11}{6}}&\approx &1{,}833\\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\approx &2{,}083\\\\H_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\approx &2{,}283\end{matrix}}} H 6 = 49 20 = 2 , 45 H 7 = 363 140 ≈ 2,593 H 8 = 761 280 ≈ 2,718 H 10 3 ≈ 7,485 H 10 6 ≈ 14,393 {\displaystyle {\begin{matrix}H_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363}{140}}&\approx &2{,}593\\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\approx &2{,}718\\\\H_{10^{3}}&\approx &7{,}485\\\\H_{10^{6}}&\approx &14{,}393\end{matrix}}}
Числитель и знаменатель несократимой дроби , представляющей собой n -e гармоническое число, являются n -ми членами целочисленных последовательностей A001008 и A002805 , соответственно.
В 2002 году Lagarias доказал[1] , что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство
σ ( n ) ≤ H n + ln ( H n ) e H n {\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}} верно при всех целых n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} со строгим неравенством при n > 1 {\displaystyle n>1} , где σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} — сумма делителей числа n {\displaystyle n} .