Группы симметрии

Группа симметрии (также группа симметрий) некоторого объекта (многогранника или множества точек из метрического пространства) ― группа всех преобразований, для которых данный объект является инвариантом, с композицией в качестве групповой операции. Как правило, рассматриваются множества точек n-мерного евклидова пространства и движения этого пространства, но понятие группы симметрии сохраняет свой смысл и в более общих случаях.

Примеры[править | править код]

• Группа симметрии отрезка в одномерном пространстве содержит два элемента: тождественное преобразование и отражение относительно середины отрезка. Но в двумерном евклидовом пространстве существует уже 4 движения, переводящих заданный отрезок в себя. В трехмерном пространстве отрезок обладает бесконечным множеством симметрий (элементами группы симметрии будут, в частности, повороты на произвольный угол вокруг прямой, содержащей этот отрезок).
• Группа симметрии равностороннего треугольника на плоскости состоит из тождественного преобразования, поворотов на углы 120° и 240° вокруг центра треугольника и отражений относительно его высот. В этом случае группа симметрии состоит из 6 преобразований, которые осуществляют все возможные перестановки вершин треугольника. Следовательно, эта группа изоморфна симметрической группе S₃. Однако группа симметрии квадрата имеет порядок 8, а симметрическая группа S₄ изоморфна группе симметрии правильного тетраэдра.
• Группа симметрии разностороннего треугольника тривиальна, то есть состоит из одного элемента ― тождественного преобразования.
• Если считать, что человеческое тело зеркально симметрично, то его группа симметрии состоит двух элементов: тождественного преобразования и отражения относительно плоскости, которая делит тело на симметричные друг другу правую и левую части.
• Произвольное периодическое замощение плоскости (или орнамент^[1]) имеет группу симметрии, элементы которой всеми возможными способами совмещают некий фиксированный элемент замощения с каждым конгруэнтным ему элементом. Это частный (двумерный) случай кристаллографических групп, о которых сказано далее.
• Группы симметрии решёток. В различных областях математики используются различные понятия решётки. В частности:
  • В физике твёрдого тела и теории кристаллографических групп кристаллическая решётка — это обладающее трансляционной симметрией множество точек аффинного пространства. Симметрии этого множества должны сохранять расстояние между точками, то есть быть движениями. Группа этих движений — это кристаллографическая группа (либо сюръективно гомоморфно отображается в кристаллографическую группу)^[2].
  • В теории групп решётка — это группа, изоморфная ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$, с билинейной формой на ней (в трёхмерном евклидовом пространстве соответствует решётке Браве из теории кристаллографических групп с выделенным началом координат). Симметрии такой решётки должны быть автоморфизмами группы. Группа таких автоморфизмов, в отличие от кристаллографической группы, конечна, если билинейная форма решётки соответствует евклидову пространству^[3].
• Группа симметрии дифференциального уравнения — группа преобразований переменных, сохраняющих вид уравнения и, следовательно, переводящих решения уравнения в решения, вообще говоря, не совпадающие с исходными.

Классификация[править | править код]

Ниже предполагается, что для каждой точки ${\displaystyle x\in \mathbb {E} ^{n}}$ множество образов ${\displaystyle \{g(x)|g\in G\}}$, где ${\displaystyle G}$ — группа симметрии, топологически замкнуто.

Одномерное пространство[править | править код]

Каждое движение одномерного пространства является либо переносом всех точек прямой на некоторое фиксированное расстояние, либо отражением относительно некоторой точки. Множество точек одномерного пространства обладает одной из следующих групп симметрии:

• тривиальная группа C₁
• группа, состоящая из тождественного преобразования и отражения относительно точки (изоморфна циклической группе C₂)
• бесконечные группы, состоящие из степеней некоторого переноса (изоморфны бесконечной циклической группе)
• бесконечные группы, для которых образующими являются некоторый перенос и отражение относительно некоторой точки;
• группа всех переносов (изоморфна аддитивной группе действительных чисел)
• группа всех переносов и отражений относительно каждой точки прямой

Двумерное пространство[править | править код]

В двумерном случае группы симметрии делятся на следующие классы:

• циклические группы C₁, C₂, C₃, … состоящие из поворотов вокруг неподвижной точки на углы, кратные 360°/n
• диэдральные группы D₁, D₂, D₃, …
• специальная ортогональная группа SO(2)
• ортогональная группа O(2)
• 7 групп бордюра
• 17 групп орнамента (или плоских кристаллографических групп)
• бесконечные группы, которые получаются из одномерных групп симметрии добавлением переносов вдоль направления, перпендикулярного исходной прямой
• предыдущий пункт, к которому добавляется симметрия относительно исходной прямой.

Трехмерное пространство[править | править код]

Перечень конечных групп симметрии состоит из 7 бесконечных серий и 7 случаев, рассматриваемых отдельно. В этот перечень входят 32 точечные кристаллографические группы и группы симметрии правильных многогранников.

Непрерывные группы симметрии включают:

• группу симметрии прямого кругового конуса
• группу симметрии кругового цилиндра
• группу симметрии сферы

См. также[править | править код]

• Правильные многогранники
• Список кристаллографических групп
• Точечная группа симметрии

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Г. Вейль. Симметрия. — М.: Наука, 1968.
• Miller, Willard Jr. Symmetry Groups and Their Applications. — New York: Academic Press, 1972.