Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости со своими многочисленными великолепными свойствами заслуживает особого изучения, поскольку оно само и различные его частные случаи по необходимости и очень разнообразно используются во многих разделах теории функций комплексного переменного[10][4].
Обладая обманчивой простотой, дробно-линейное преобразование составляет основу некоторых захватывающих современных направлений последних математических исследований. Возможное объяснение этого заключается в их тесном и в некотором роде магическом взаимодействии с неевклидовой геометрией. Более того, дробно-линейное преобразование также тесно взаимодействуют с теорией относительностиАльберта Эйнштейна, что было использовано сэром Роджером Пенроузом[4][11].
При дробь из становится сократимой и вырождается в постоянную, то есть перестаёт быть дробно-линейным преобразованием[12].
При и дробно-линейная функция становится следующей целой линейной функцией[13][12][14]:
.
Доопределение на расширенной комплексной плоскости[править | править код]
Компактифицируем комплексную плоскость . Для этого добавим к множеству конечных точек этой плоскости единственную бесконечную, или бесконечно удалённую, точку — некоторый абстрактный идеальный элемент[15].
Расширенной, или замкнутой, комплексной плоскостью называется компактифицированная, то есть дополненная бесконечно удалённой точкой , комплексная плоскость . В связи с этим исходная комплексная плоскость иногда называется конечной, или открытой, плоскостью[16].
Дробно-линейная функция
,
была определена для всех точек расширенной комплексной плоскости , кроме следующих[17]:
при — кроме точек и ;
при — кроме точки .
Доопределим дробно-линейную функцию в этих особых точках, чтобы получить следующее преобразование расширенной комплексной плоскости[17]:
Определитель, или детерминант, дробно-линейного преобразования, записанного в форме
, —
это следующая величина, выражение для которой составлено из постоянных дробно-линейного преобразования[10][3]:
.
Перепишем функцию дробно-линейного преобразования так, чтобы в её записи появилось выражение для детерминанта. Для этого выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при переменной при условии [29][2]:
, .
Теперь очевидно, что при нулевом детерминанте дробно-линейное преобразование вырождается в постоянную , то есть отображает всю комплексную плоскость в одну точку [10][29][2][22].
Не умаляя общности, можно разделить постоянные , , и обычной записи дробно-линейного преобразования либо на , либо на — без разницы, и получить, что его детерминант будет равен единице[30]:
.
Унимодулярная нормировка — приведение значения детерминанта к единице[6]:
.
Унимодулярное дробно-линейное преобразование — дробно-линейное преобразование с унимодулярной нормировкой[31].
определена однозначно на всей расширенной комплексной плоскости [17].
Выразим через (, случай достаточно очевиден):
,
получаем, что любому , и , отвечает одно определённое , а из доопределения преобразования на расширенной плоскости точкам и отвечают точки и соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование биективно, то есть взаимно однозначно[17][32].
2. Гомеоморфность. Достаточно очевидна непрерывность преобразования в силу его доопределения с сохранением непрерывности на расширенной плоскости . Следовательно, дробно-линейное преобразование гомеоморфно, то есть взаимно однозначно и непрерывно на [17].
Отсюда получаем, что дробно-линейное преобразование конформно при , и . Очевидно, что точка расширенной комплексной плоскости — простой полюс, а точка — регулярная, то есть дробно-линейная функция в ней аналитическая. Оба вычета в точках и отличны от нуля: и соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование конформно в оставшихся точках и и, поскольку оно биективно, то и конформно на всей расширенной плоскости [32].
Равенство представлений дробно-линейных преобразований[править | править код]
Изучению подлежит множество всех дробно-линейных преобразований с ненулевыми детерминантами. Две формы дробно-линейных преобразования расширенной комплексной плоскости
и
называются равными, если их они имеют одинаковые значения, то есть при всех значениях комплексной переменной [10].
Если , то , имеем противоречие — детерминант равен нулю: . Следовательно, , и тогда необходимо
.
Собирая всё вместе, получаем:
.
Последнее утверждение имеет следующее следствие[34]:
значение детерминанта дробно-линейного преобразования не постоянно для равных преобразований.
Действительно, если постоянные , , и заменить на постоянные , , и при , то детерминант увеличится в раз. Для равных форм преобразований неизменно отличие детерминанта[34].
Таким образом, дробно-линейное преобразование
,
имея в этой форме четыре постоянные, зависит только от трёх комплексных параметров[35].
В общем случае дробно-линейного преобразования расширенной комплексной плоскости
,
его образ , как правило, отличен от исходной точки комплексной плоскости. Тем не менее и здесь присутствуют неподвижные точки преобразования [36].
Неподвижная точка дробно-линейного преобразования — это точка комплексной плоскости, совпадающая со своим образом при этом преобразовании. Следовательно, неподвижная точка должна удовлетворять следующему уравнению[37][38]:
,
,
.
Это квадратное уравнение всегда имеет два различных или совпадающих корня (за исключением случая тождественного дробно-линейного преобразования ). В случае, когда при второй корень отсутствует, будем считать, что он тоже «равен бесконечности» . В частности[37][38][6][39][40]:
имеется хотя бы одна неподвижная точка тогда и только тогда, когда , поскольку ;
имеется хотя бы одна неподвижная точка тогда и только тогда, когда , поскольку .
Неподвижные точки целого линейного преобразования[править | править код]
Имеется критерий неподвижных точек того, что преобразование — целое линейное:
целое линейное преобразование имеет хотя бы одну бесконечно удаленную неподвижную точку[41].
Дробно-линейная функция — целая линейная, если её постоянные и [36]:
.
В любом случае, поскольку всегда , у целого линейного преобразования есть неподвижная точка — это бесконечно удалённая точка расширенной комплексной плоскости [36].
1. Случай . Точка
—
конечная вторая неподвижная точка целого линейного преобразования
2. Случай . Если и , то у целого линейного преобразования
нет конечной неподвижной точки. Однако его бесконечная удалённая точка представляет собой две слившиеся неподвижные точки, поскольку при , и конечная неподвижная точка
Неподвижные точки общего дробно-линейного преобразования[править | править код]
Дробно-линейная функция считается дробно-линейной функцией общего вида, если её постоянная . У такой функции следующие точки комплексной плоскости не являются неподвижными:
Тогда существует одна двойная конечная неподвижная точка
,
которая равна нулю тогда и только тогда, когда , [41].
Равенство дробно-линейных преобразований по трём точкам[править | править код]
Только тождественное дробно-линейное преобразование имеет более двух неподвижны точек, у него все точки комплексной плоскости неподвижны. Поэтому, если у дробно-линейного преобразования больше двух неподвижных точек, то оно тождественное. Получается следующее утверждение[41]:
два дробно-линейных преобразования равны, если их значения совпадают в трёх различных точках.
Пусть значения двух дробно-линейных преобразований и совпадают в трёх различных точках , и :
, .
Тогда для обратного преобразования
,
и для последовательного выполнения преобразований и получаем:
,
Преобразование получилось тождественное, поскольку у него три различные неподвижные точки , и :
.
Отсюда, с одной стороны,
,
а с другой стороны, в силу ассоциативности последовательного выполнения преобразований, то же самое выражение
.
В итоге заключаем, что два дробно-линейных преобразования и равны:
.
Следовательно, для задания дробно-линейного преобразования достаточно иметь три различные точки комплексной плоскости , и вместе с их образами , и , причём такое преобразование единственное[44].
Это согласуется с тем, что дробно-линейное преобразование зависит только от трёх комплексных параметров[35].
Построение дробно-линейных преобразований по трём точкам[править | править код]
Построение преобразования по трём конкретным точкам[править | править код]
Построим дробно-линейное преобразование , единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам , и , на которых преобразование имеет следующие конкретные и не всегда конечные значения[44]:
дробно-линейное преобразование , отображающее произвольные конечные комплексные точки , и в конкретные точки , и соответственно, задаётся следующей функцией[44]:
1. Сначала построим дробно-линейное преобразование , единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам , и , на которых преобразование имеет следующие конечные значения[44]:
дробно-линейное преобразование , отображающее произвольные конечные комплексные точки , и в произвольные конечные точки , и соответственно, задаётся следующей неявной функцией[45]:
Доказательство 1. Согласно доказанному выше, функция
отображает произвольные конечные комплексные точки , и в конкретные точки , и . Следовательно, последовательное выполнение функций отобразит комплексные точки , и в точки , и :
Оно переводит произвольные конечные комплексные точки , и в произвольные конечные точки , и соответственно, поскольку:
обе его части равны нулю при и ;
обе его части равны бесконечности при и ;
обе его части равны единице при и .
2. Дробно-линейное преобразование построено по трём точкам для случая, когда все шесть точек и , , конечные. В случае бесконечных точек нужно воспользоваться следующим мнемоническим правилом:
в случае, если какая-то (только одна, так как одна на плоскости для z) или какая-то (только одна, так как одна на плоскости для w) или они обе вместе , то тогда в уравнении
разности с бесконечными и заменяются на константу 1, то есть попросту вычёркиваются[48].
Поскольку каждая из шести точек и входит в последнее уравнение дважды. один раз в числителе уравнения, а второй раз в его знаменателе, причём с одним и тем же знаком[49], то это правило легко проверяется с использованием предельного перехода к бесконечности. Например, если точка , то тогда, временно считая конечной, заменим на
где суть четыре произвольных различных конечных комплексных числа[48][50][51][52][53].
Если обозначить двойное отношение четвёрки чисел через , то при любой из 24 перестановок четвёрки чисел, входящих в это двойное отношение, получаем одну из следующих шести числовых величин[53]:
.
Распространим это определение на случай бесконечной точки.
Двойное отношением четырёх точек, одна из которых бесконечно удалённая, — это предел двойного отношения четырёх конечных точек, когда соответствующая точка стремится к бесконечности[54][50][51].
В соответствии с последним определением получаем разные виды двойного отношения четырёх точек[55]:
,
,
,
.
Имеет место следующее утверждение, называемое инвариантностью двойного отношения[55][50][51]:
двойное отношением четырёх точек есть инвариант дробно-линейного преобразования
,
то есть двойное отношением четырёх точек остаётся неизменным при действии дробно-линейного преобразования.
Доказательство проведём двумя разными способами. Пусть:
— произвольное дробно-линейное преобразование;
— четыре произвольные различные точки комплексной плоскости;
— образы соответственно точек при преобразовании .
Доказательство 1. Построим дробно-линейное преобразование по трём точкам: три из четырёх точек отображаются преобразованием в три точки соответственно, то есть
,
причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.
Поскольку , то при получаем:
,
причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.
Отсюда сразу по определению следует, что
.
Доказательство 2. Найдём формулу для разности образов точек дробно-линейного преобразования , формулы остальных разностей вычисляются аналогично:
.
.
Следовательно,
,
причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.
Чтобы полностью определить преобразование , выберем третью точку, воспользуемся тем, что преобразование:
переводит бесконечную точку в точку .
Доказательство 1. Так как две различные неподвижные точки и можно упорядочить двумя разными способами, то рассмотрим два случая.
1. Пусть
, —
два дробно-линейных преобразования, и — преобразование, обратное к преобразованию . Тогда получаем:
.
Поскольку у последнего дробно-линейного преобразования, отображающего в , две неподвижные точки и :
,
,
то оно обязательно имеет вид
,
где — некоторая комплексная постоянная,
, .
Тем самым получаем следующую неявную форму некоторого дробно-линейного преобразования:
.
Это преобразование имеет две неподвижные точки и . Так как оно переводит третью точку в точку :
, то есть ,
то эта неявная форма будет представлять дробно-линейное преобразование . Причём , поскольку , и , поскольку дробно-линейное преобразование не вырождается в постоянную.
2. Аналогично можно показать, что в случае другого порядка неподвижных точек неявная форма дробно-линейного преобразования
,
где , — постоянная.
Доказательство 2. Построим дробно-линейное преобразование по этим шести точкам, подставив их в уравнение