График интегрального синуса для 0 ≤ x ≤ 8π. Интегра́льный си́нус — специальная функция , определяемая интегралом [1] :
Si x = ∫ 0 x sin t t d t . {\displaystyle \operatorname {Si} \,x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt.}
Иногда также пользуются обозначением si x : {\displaystyle \operatorname {si} \,x:}
si x = − ∫ x ∞ sin t t d t = Si x − π 2 . {\displaystyle \operatorname {si} \,x=-\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt=\operatorname {Si} \,x-{\frac {\pi }{2}}.}
Интегральный синус может быть определён через интегральную показательную функцию по аналогии с синусом [2] :
si x = 1 2 i ( Ei ( i x ) − Ei ( − i x ) ) . {\displaystyle \operatorname {si} \,x={\frac {1}{2i}}\left(\operatorname {Ei} \,(ix)-\operatorname {Ei} \,(-ix)\right).}
Интегральный синус был введён Лоренцо Маскерони в 1790 году.
Si ( − x ) = − Si x . {\displaystyle \operatorname {Si} \,(-x)=-\,\operatorname {Si} \,x.} lim x → + ∞ Si x = π 2 , {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\operatorname {Si} \,x={\frac {\pi }{2}},} lim x → + ∞ si x = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\operatorname {si} \,x=0,} lim x → − ∞ Si x = − π 2 , {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {Si} \,x=-{\frac {\pi }{2}},} lim x → − ∞ si x = − π . {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {si} \,x=-\pi .} Интегральный синус имеет локальные экстремумы в точках x = ± π , ± 2 π , ± 3 π , ⋯ {\displaystyle x=\pm \pi ,\,\pm 2\pi ,\,\pm 3\pi ,\,\cdots } Si x = x − x 3 3 ⋅ 3 ! + x 5 5 ⋅ 5 ! − x 7 7 ⋅ 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 . {\displaystyle \operatorname {Si} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!(2n+1)}}x^{2n+1}.} Этот ряд применяется для практического вычисления интегрального синуса, причём в соответствии c теоремой Лейбница погрешность будет меньше модуля последнего взятого члена этого ряда.
↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. // М.: Наука, 1968. — С. 625. ↑ Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 2 // М.: Наука, 1974. — С. 149. Математический энциклопедический словарь. — М. , 1995. — С. 238.