Лемма Адамара

Лемма Адамара (англ. Hadamard's lemma, фр. Lemme de Hadamard) — утверждение, описывающее строение гладкой вещественной функции. Названа в честь французского математика Жака Адамара^[1].

Если функция ${\displaystyle f}$ — аналитическая, то и функции ${\displaystyle g_{1},\;\ldots ,\;g_{n}}$ в приведенной выше формуле аналитические.

Обобщенная формулировка[править | править код]

Лемма Адамара может быть сформулирована в более общей форме, когда часть переменных играет роль параметров:

Доказательство.

Рассмотрим вспомогательную функцию ${\displaystyle f(tx,\,y)=f(tx_{1},\,\ldots ,\,tx_{n},\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})}$, где ${\displaystyle t}$ — дополнительная вещественная переменная (параметр). Пусть ${\displaystyle t}$ пробегает значения из отрезка ${\displaystyle [0,\,1]}$, тогда функция ${\displaystyle f(tx,\,y)}$, рассматриваемая как функция ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} }$ при каждом фиксированном значении параметра ${\displaystyle t}$, пробегает в пространстве функций от ${\displaystyle n+m}$ переменных некоторую кривую с концами ${\displaystyle f(0,\,y)}$ и ${\displaystyle f(x,\,y)}$.

Рассматривая ${\displaystyle f(tx,\,y)}$ как функцию переменной ${\displaystyle t}$, зависящую от параметров ${\displaystyle x\in R^{n}}$ и ${\displaystyle y\in R^{m}}$, и применяя формулу Ньютона — Лейбница, можно записать:

${\displaystyle f(x,\,y)-f(0,\,y)=\int _{0}^{1}{\frac {df(tx,\,y)}{dt}}\,dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,\,y)\,dt=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x,\,y),}$

где

${\displaystyle g_{i}(x,\,y):=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,\,y)\,dt.}$

Требуемая гладкость функций ${\displaystyle g_{i}(x,\,y)}$ следует из известной теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, которая доказывается в курсе математического анализа.

Применения[править | править код]

Лемма Адамара позволяет получить ряд полезных следствий, находящих применения в разных разделах математики, в первую очередь, в теории особенностей.

• С помощью леммы Адамара легко доказывается Лемма Морса.
• Другое полезное следствие леммы Адамара (в её обобщённом виде) состоит в том, что если росток гладкой функции ${\displaystyle f(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})}$ обращается в нуль на гиперплоскости ${\displaystyle x=0}$, то он представим в виде ${\displaystyle f=x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),}$ где ${\displaystyle g}$ — некоторая гладкая функция.
• Отсюда вытекает, что для ростка любой гладкой функции ${\displaystyle f(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})}$ имеет место представление ${\displaystyle f=f_{0}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),}$ где ${\displaystyle f_{0}=f(0,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})}$ и ${\displaystyle g}$ — гладкие функции.
• Применяя индукцию, отсюда нетрудно получить также более общее представление:

${\displaystyle f=f_{0}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x\,f_{1}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+\ldots +x^{n}\,f_{n}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x^{n+1}\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),}$

где ${\displaystyle f_{i}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})}$ и ${\displaystyle g}$ — гладкие функции и ${\displaystyle n}$ — произвольное натуральное число.

См. также[править | править код]

• Формула Тейлора
• Лемма Морса

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Зорич В.А. Математический анализ.
• Павлова Н.Г., Ремизов А.О. Введение в теорию особенностей. — М.: Изд-во МФТИ, 2022. — 181 с. — ISBN 978-5-7417-0794-4.