Машинный ноль

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить достоверность указанной в статье информации. На странице обсуждения должны быть пояснения. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.

Машинный ноль (Машинный нуль) — числовое значение с таким отрицательным порядком, которое воспринимается машиной как ноль^[1].

Машинный эпсилон (англ. Machine epsilon) — числовое значение, меньше которого невозможно задавать относительную точность для любого алгоритма, возвращающего вещественные числа. Абсолютное значение «машинного эпсилон» зависит от разрядности сетки применяемой ЭВМ, типа (разрядности) используемых при расчетах чисел, и от принятой в конкретном трансляторе структуры представления вещественных чисел (количества бит, отводимых на мантиссу и на порядок).^[2] Формально машинный эпсилон обычно определяют как минимальное из чисел ε, для которого 1+ε>1 при машинных расчетах с числами данного типа^[3]. Альтернативное определение — максимальное ε, для которого справедливо равенство 1+ε=1.

Практическая важность машинного эпсилон связана с тем, что два (отличных от нуля) числа являются одинаковыми с точки зрения машинной арифметики, если их относительная разность по модулю меньше (при определении первого типа) или не превосходит (при определении второго типа) машинного эпсилон.

В языках программирования[править | править код]

Язык Си[править | править код]

В языке Си существуют предельные константы FLT_EPSILON, DBL_EPSILON и LDBL_EPSILON являющиеся «машинными эпсилон», соответствующими первому определению: FLT_EPSILON = 2⁻²³ ≈ 1.19e-07 — это машинный эпсилон для чисел типа float (32 бита), DBL_EPSILON = 2⁻⁵² ≈ 2.20e-16 — для типа double (64 бита), и LDBL_EPSILON = 2⁻⁶³ ≈ 1.08e-19 — для типа long double (80 бит). При альтернативном определении соответствующие машинные эпсилон будут вдвое меньше: 2⁻²⁴ , 2⁻⁵³ и 2⁻⁶⁴ .В некоторых компиляторах Си (например gcc, Intel’s C/C++ compiler) допускается использование переменных четверной точности (_float128, _Quad). Соответствующие машинные эпсилон равны 2⁻¹¹² ≈ 1.93e-34 и 2⁻¹¹³ ≈ 9.63e-35.

Пример[править | править код]

Пример вычисления машинного эпсилона (не путать с машинным нулём) на языке Си.

float macheps(void) { 	float e = 1.0f;  	while (1.0f + e / 2.0f > 1.0f) 		e /= 2.0f; 	return e; } 

Пример на языке C++.

# include <iostream> # include <stdint.h> # include <iomanip>  template<typename float_t, typename int_t> float_t machine_eps() { 	union 	{ 		float_t f; 		int_t   i; 	} one, one_plus, little, last_little;  	one.f    = 1.0; 	little.f = 1.0; 	last_little.f = little.f;  	while(true) 	{ 		one_plus.f = one.f; 		one_plus.f += little.f;  		if( one.i != one_plus.i ) 		{ 			last_little.f = little.f; 			little.f /= 2.0; 		} 		else 		{ 			return last_little.f; 		} 	} }  int main() { 	std::cout << "machine epsilon:\n"; 	std::cout << "float: " << std::setprecision(18)<< machine_eps<float, uint32_t>() << std::endl; 	std::cout << "double: " << std::setprecision(18) << machine_eps<double, uint64_t>() << std::endl; } 

Пример на Python

def machineEpsilon(func=float):     machine_epsilon = func(1)     while func(1)+func(machine_epsilon) != func(1):         machine_epsilon_last = machine_epsilon         machine_epsilon = func(machine_epsilon) / func(2)     return machine_epsilon_last 

Вывод может быть таким (с использованием IPython):

In [1]: machineEpsilon(int) Out[1]: 1 

In [2]: machineEpsilon(float) Out[2]: 2.2204460492503131e-16 

In [3]: machineEpsilon(complex) Out[3]: (2.2204460492503131e-16+0j) 

См. также[править | править код]

• −0 (программирование)

Примечания[править | править код]