Модифицированное (смещённое) Z-преобразование — более общий случай обычного Z-преобразования, содержащее идеальное запаздывание величиной, кратной частоте дискретизации. Математически записывается как:
![{\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913589e3306b1580d16c4f2092eb498a494e0c54)
где
- T — период дискретизации
- m («параметр смещения») — часть периода дискретизации
![{\displaystyle [0,T).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/729324121cba8e5aec3957b6195a1c5c2a1a98c2)
Модифицированное Z-преобразование широко применяется в теории управления в частности для более точного моделирования систем с задержками.
Если параметр смещения m фиксирован, тогда все свойства модифицированного z-преобразования совпадают со свойствами обычного Z-преобразования.
![{\displaystyle Z\left[\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right]=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F(z,m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1a898fdecd751939df486e57c711800bfc52ef)
![{\displaystyle Z\left[u(t-nT)f(t-nT)\right]=z^{-n}F(z,m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a2e13ad79318a8d8787e738817c372a6122d53)
![{\displaystyle Z\left[f(t)e^{-a\,t}\right]=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb734c6c1932d5d7939212e5e25bb8a9b9740d41)
![{\displaystyle Z\left[t^{y}f(t)\right]=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98deb6d6979b8bbddd256c7c1b129e27f79164a8)
![{\displaystyle \lim _{k=\infty }f(kT+m)=\lim _{k=1+}F(z,m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d574c1daa6153ae65aa6f0b7c573abce25c938)
f(t) | F(z, m) |
1(t) | |
t | |
e-at | |
1 — e-at | |
sin ωt | |
Пусть оригинал для преобразования
. Тогда:
![{\displaystyle F(z,m)=Z\left[\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c7b515ce7a27f7919ba1915c293a397f0fdc88)
![{\displaystyle F(z,m)=Z\left[\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caa4618bfec763cf1666fa5c092f4258663f9f0)
![{\displaystyle F(z,m)=\cos(\omega m)Z\left[\cos(\omega kT)\right]-\sin(\omega m)Z\left[\sin(\omega kT)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f57d62ed1048ede83f55e265ac717c5bf6af83)
![{\displaystyle F(z,m)=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3715cad4f1f8e20be6f05e624b6be77a741bdcc1)
![{\displaystyle F(z,m)={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (T-m))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8574a5c8ede115250a17751bee144d29acb2b5cd)
Если
, то
совпадает с Z-преобразованием:
![{\displaystyle F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec2ca9c6096f69694fcaaa258e005db0fa4dc11)