Группа крашеных кос
Из Википедии, бесплатной энциклопедии
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Central_braid.svg/300px-Central_braid.svg.png)
Группа крашеных кос (или группа чистых кос, от англ. pure braid group) — группа, образованная для заданного всеми крашеными косами из нитей относительно операции произведения кос. Является подгруппой группы кос и обозначается символом .
Определение
[править | править код]Как и группа кос, группа крашеных кос допускает ряд различных воплощений, которые приводят к изоморфным группам. Ниже представлены основные такие воплощения, рассматриваемые в литературе.
Геометрические косы
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/Braid_product.svg/450px-Braid_product.svg.png)
Классическое определение группы крашеных кос основано на их умножении. Произведение двух крашеных кос и с одинаковым числом нитей является крашеной косой, тривиальная коса является крашеной, а обратная коса к крашеной является крашеной. В связи с этим множество всех крашеных кос из нитей, рассматриваемое вместе с операцией умножения, является группой, которая называется группой крашеных кос[1][2].
Траектории движения точек на плоскости
[править | править код]Группа крашеных кос изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства упорядоченных наборов различных точек евклидовой плоскости[1][3]:
- .
Автоморфизмы свободной группы
[править | править код]Группа крашеных кос изоморфна группе крашеных сплетающих автоморфизмов свободной группы.
Автогомеоморфизмы проколотого диска
[править | править код]Группа крашеных кос изоморфна крашеной группе классов отображений замкнутого диска с проколами[4][5]:
- .
Задание образующими и соотношениями
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%83%D1%8E%D1%89%D0%B8%D0%B5_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D1%8B_%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%88%D0%B5%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D1%81.svg/470px-%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%83%D1%8E%D1%89%D0%B8%D0%B5_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D1%8B_%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%88%D0%B5%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D1%81.svg.png)
Группа крашеных кос является конечно представленной. Простейшее её задание выглядит следующим образом.
Для таких и , что , пусть
- .
Данные кос порождают группу крашеных кос [1][6]. Они называются стандартными образующими или образующими Маркова[7].
В этих образующих группа крашеных кос может быть задана следующими соотношениями[6]:
где — коммутатор элементов и .
Причёсанная нормальная форма
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Braid_combing.svg/470px-Braid_combing.svg.png)
Представление крашеной косы в виде
называется её причёсанным видом, если каждая коса имеет геометрического представителя, у которого все нити, кроме -ой, являются прямыми, а -ая зацепляется только за нити с меньшими номерами[8].
Запись косы , в которой каждая коса представлена в виде несократимого слова[англ.] в образующих , называется её причёсанной нормальной формой:
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 3 Прасолов и Сосинский, 1997, p. 91.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, с. 33.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, с. 41.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, с. 57.
- ↑ Прасолов и Сосинский, 1997, p. 96.
- ↑ 1 2 Кассель и Тураев, 2014, с. 36.
- ↑ Малютин, 2009, p. 118.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, с. 35.
Литература
[править | править код]- Кассель, К, Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М.: МЦНМО, 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6.
- Прасолов, В. В, Сосинский, А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия . — М.: МЦНМО, 1997. — 352 с. — ISBN 5-900916-10-3.
Ссылки
[править | править код]- Малютин, А. В.. Псевдохарактеры групп кос и простота зацеплений // Алгебра и анализ. — 2009. — Т. 21, вып. 2. — С. 113—135.