Октаэдральные соты порядка 4
Из Википедии, бесплатной энциклопедии
| octahedral tiling honeycomb порядка 4 | |
|---|---|
 Перспективная проекция в модели Пуанкаре | |
| Тип | Гиперболические правильные соты Паракомпактные однородные соты[англ.] |
| Символы Шлефли|{3,4,4} {3,41,1} | |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |       ↔    ↔   ↔   |
| Ячейки | октаэдр {3,4} |
| Грани | треугольник {3} |
| Edge figure | квадрат {4} |
| Вершинная фигура | Квадратный паркет, {4,4}    |
| Двойственные соты | Квадратные мозаичные соты[англ.], {4,4,3} |
| Группы Коксетера | [4,4,3] [3,41,1] |
| Свойства | Правильные |
В гиперболическом пространстве размерности 3 восьмиугольные соты порядка 4 — правильные паракомпактные соты. Они называются паракомпактными, поскольку имеют бесконечные вершинные фигуры со всеми вершинами как идеальные точки на бесконечности. Если многогранник задан символом Шлефли {3,4,4}, он имеет четыре октаэдра {3,4} вокруг каждого ребра и бесконечное число октаэдров вокруг каждой вершины в квадратном паркете {4,4}, в качестве расположения вершин[англ.][1].
Геометрические соты — это заполняющие пространство многогранники или ячейки большей размерности. Заполнение происходит так, что между ними не остаётся зазоров. Это пример более общего математического понятия мозаики или замощения в пространстве любой размерности.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве подобно выпуклым однородным сотам[англ.]. Их можно построить также в неевклидовых пространствах, такие как однородные гиперболические соты[англ.]. Любой конечный однородный многогранник может быть спроецирован на его описанную сферу для образования однородных сот в сферическом пространстве.
Симметрия[править | править код]
Построение с половинной симметрией, [3,4,4,1+], существует как {3,41,1}, с чередованием двух видов (цветов) октаэдральных ячеек. ↔ . Второе построение с половинной симметрией, [3,4,1+,4]: ↔ . Более высокий индекс симметрии, [3,4,4*], индекс 8, существует с пирамидальной фундаментальной областью, [((3,∞,3)),((3,∞,3))]: .
Эти соты содержат , 
, которые замощают 2-гиперциклические поверхности наподобие паракомпактных мозаик 
или 
Связанные многогранники и соты[править | править код]
Многогранник входит в 15 правильных гиперболических сот в 3-мерном пространстве, 11 из которых, подобно этим сотам, паракомпактны и имеют бесконечные ячейки или вершинные фигуры.
| 11 паракомпактных правильных сот | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 {6,3,3} |  {6,3,4} |  {6,3,5} |  {6,3,6} |  {4,4,3} |  {4,4,4} | ||||||
 {3,3,6} |  {4,3,6} |  {5,3,6} |  {3,6,3} | {3,4,4} | |||||||
Имеется пятнадцать однородных сот[англ.] в [4,4,3] семействе групп Коксетера, включая эту однородную форму.
| {4,4,3} | r{4,4,3} | t{4,4,3} | rr{4,4,3} | t0,3{4,4,3} | tr{4,4,3} | t0,1,3{4,4,3} | t0,1,2,3{4,4,3} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| |  |  |  |  |  |  |  |
| |  |  |  |  |  |  | |
| {3,4,4} | r{3,4,4} | t{3,4,4} | rr{3,4,4} | 2t{3,4,4} | tr{3,4,4} | t0,1,3{3,4,4} | t0,1,2,3{3,4,4} |
Соты являются частью последовательности сот с вершинной фигурой в виде квадратного паркета:
| Соты {p,4,4} | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Пространство | E3 | H3 | ||||
| Форма | Аффинные | Паракомпактные | Некмпактные | |||
| Название | {2,4,4} | {3,4,4} | {4,4,4} | {5,4,4} | {6,4,4} | ..{∞,4,4} |
Coxeter |    | |  |   |    |   |
| Image |  | | |  |  |  |
| Cells |  {2,4} |  {3,4} | {4,4} |  {5,4} |  {6,4} |  {∞,4} |
Соты являются частью последовательности правильных четырёхмерных многогранников и сот с октаэдральными ячейками[англ.].
| Многогранники {3,4,p} | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Пространство | S3 | H3 | |||||||||
| Форма | Конечные | Паракомпактные | Некомпактные | ||||||||
| Название | {3,4,3}  | {3,4,4} | {3,4,5} | {3,4,6} | {3,4,7} | {3,4,8}  | ... {3,4,∞} | ||||
| Рисунок |  | |  |  |  |  |  | ||||
| Vertex figure |  {4,3} | {4,4}  |  {4,5} |  {4,6} |  {4,7} |  {4,8} |  {4,∞} | ||||
Спрямлённые восьмиугольные соты порядка 4[править | править код]
| Спрямлённые восьмиугольные соты порядка 4 | |
|---|---|
| | |
| Тип | Паракомпактные однородные соты[англ.] |
| Символы Шлефли | r{3,4,4} or t1{3,4,4} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина | ↔ ↔ ↔ |
| Ячейки | r{4,3}  {4,4}  |
| Грани | треугольные {3} квадратные {4} |
| Вершинная фигура |  |
| Группы Коксетера | [4,4,3] |
| Свойства | вершинно транзитивны |
Спрямлённые восьмиугольные соты порядка 4, t1{3,4,4}, имеют фасеты в виде кубооктаэдра и квадратного паркета, с квадратной пирамидой в качестве вершинной фигуры.
Усечённые восьмиугольные соты порядка 4[править | править код]
| Усечённые восьмиугольные соты порядка 4 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты[англ.] |
| Символы Шлефли | t{3,4,4} или t0,1{3,4,4} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина | ↔ ↔ ↔ |
| Ячейки | t{3,4}  {4,4} |
| Грани | квадратные {4} шестиугольные {6} |
| Вершинная фигура |  |
| Группы Коксетера | [4,4,3] |
| Свойства | вершинно транзитивны |
Усечённые восьмиугольные соты порядка 4, t0,1{3,4,4}, имеют фасеты в виде усечённого октаэдра и квадратного паркета с квадратной пирамидой в качестве вершинной фигуры.
Скошенные восьмиугольные соты порядка 4[править | править код]
| Скошенные восьмиугольные соты порядка 4 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты[англ.] |
| Символы Шлефли | rr{3,4,4} или t0,2{3,4,4} s2{3,4,4} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |  ↔ |
| Ячейки | rr{3,4}  r{4,4}  |
| Грани | треугольник {3} квадрат {4} |
| Вершинная фигура |  треугольная призма |
| Группы Коксетера | [4,4,3] |
| Свойства | вершинно транзитивны |
Скошенные восьмиугольные соты порядка 4, t0,2{3,4,4}, имеют грани в виде ромбокубооктаэдра и квадратного паркета с вершинной фигурой в виде треугольной призмы.
Скошено-усечённые восьмиугольные соты порядка 4[править | править код]
| Скошено-усечённые восьмиугольные соты порядка 4 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты[англ.] |
| Символы Шлефли | tr{3,4,4} или t0,1,2{3,4,4} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина | ↔ |
| Ячейки | tr{3,4}  r{4,4} |
| Грани | квадратные {4} шестиугольные {6} восьмиугольные {8} |
| Вершинная фигура |  тетраэдр |
| Группы Коксетера | [4,4,3] |
| Свойства | вершинно транзитивны |
Скошено-усечённые восьмиугольные соты порядка 4, t0,1,2{3,4,4}, имеют фасеты в виде усечённого кубооктаэдра и квадратного паркета с тетраэдром в качестве вершинной фигуры.
Струг-усечённые восьмиугольные соты порядка 4[править | править код]
| Струг-усечённые восьмиугольные соты порядка 4 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты[англ.] |
| Символы Шлефли | t0,1,3{3,4,4} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина | ↔ |
| Ячейки | t{3,4}  rr{4,4}  |
| Грани | треугольник {3} квадрат {4} восьмиугольные {8} |
| Вершинная фигура |  квадратная пирамида |
| Группы Коксетера | [4,4,3] |
| Свойства | вершинно транзитивны |
Струг-усечённые восьмиугольные соты порядка 4, t0,1,3{3,4,4}, имеют фасеты в виде усечённого октаэдра и квадратного паркета с квадратной пирамидой в качестве вершинной фигуры.
Плосконосые восьмиугольные соты порядка 4[править | править код]
| Плосконосые восьмиугольные соты порядка 4 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные равнобедренные соты |
| Символы Шлефли | s{3,4,4} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина | ↔  ↔  ↔ |
| Ячейки | квадратный паркет икосаэдр квадратная пирамида |
| Грани | {3} {4} |
| Вершинная фигура | |
| Группы Коксетера | [4,4,3+] [41,1,3+] [(4,4,(3,3)+)] |
| Свойства | вершинно транзитивны |
Плосконосые восьмиугольные соты порядка 4, s{3,4,4}, имеют диаграмму Коксетера — Дынкина . Они являются равнобедренными сотами[англ.] с квадратными пирамидами, квадратными мозаиками и икосаэдрами.
См. также[править | править код]
- Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве[англ.]
- Список правильных многомерных многогранников и соединений
Примечания[править | править код]
- ↑ Coxeter, 1999, с. Chapter 10, Table III.
Литература[править | править код]
- Coxeter. Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs // Regular Polytopes[англ.]. — 3rd. ed.. — Dover Publications, 1973. — С. 294–296. — ISBN 0-486-61480-8.
- Coxeter. Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — С. 212-213. — ISBN 0-486-40919-8.
- Jeffrey R. Weeks. Chapter 16-17: Geometries on Three-manifolds I,II // The Shape of Space. — 2nd. — ISBN 0-8247-0709-5.
- N.W. Johnson. Uniform Polytopes. — (Manuscript).
- N.W. Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — University of Toronto, 1966. — (Ph.D. Dissertation).
- N.W. Johnson. Chapter 13: Hyperbolic Coxeter groups // Geometries and Transformations. — 2015.
- Norman W. Johnson, Asia Ivic Weiss. Quadratic Integers and Coxeter Groups // Can. J. Math.. — 1999. — Т. 51, вып. 6. — С. 1307–1336.
 | Для улучшения этой статьи желательно:
|