Простое число Хиггса

Простое число Хиггса — такое простое число, что значение функции Эйлера от него (для простого она равна этому числу минус единица) делит квадрат произведения меньших чисел Хиггса без остатка.

В алгебраической записи — для заданного показателя ${\displaystyle a}$ простое число Хиггса ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{n}}$ удовлетворяет условию:

${\displaystyle \varphi ({\mathfrak {H}}_{n})|\prod _{i=1}^{n-1}{{\mathfrak {H}}_{i}}^{a}}$,

где ${\displaystyle \varphi }$ — функция Эйлера.

Несколько первых простых Хиггса для показателя 2^[1]:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, …

Число 13, например, является простым Хиггса, поскольку квадрат произведения меньших чисел Хиггса равен 5336100, и при делении на 12 получается 444675. Однако число 17 не является простым Хиггса, поскольку квадрат произведения меньших чисел Хиггса равен 901800900, и при делении его на 16 получим остаток 4.

Список наименьших простых чисел, не являющихся простыми Хиггса для степеней от 2 до 7:

Дальнейшие исследования показывают, что числа Ферма ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$ не могут быть простыми Хиггса для показателя ${\displaystyle a}$, если ${\displaystyle a<2^{n}}$.

Неизвестно, имеется ли бесконечно много простых чисел Хиггса для произвольного показателя ${\displaystyle a}$, большего 1. Для ${\displaystyle a=1}$ ситуация совершенно другая — имеется только четыре таких числа: 2, 3, 7 и 43 (последовательность подозрительно похожа на последовательность Сильвестра). В 1993 году установлено, что около половины простых чисел меньших миллиона являются простыми Хиггса, в связи с чем предположено, что даже если число простых Хиггса для показателя 2 и конечно, перебрать их все с помощью компьютера нереально.

• Burris, S.; Lee, S. Tarski’s high school identities (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 1993. — Vol. 100, no. 3. — P. 231—236 [p. 233]. — JSTOR 2324454.
• Sloane, N.; Plouffe, S. The Encyclopedia of Integer Sequences (неопр.). — New York: Academic Press, 1995. — ISBN 0-12-558630-2. M0660