Поверхность рода 0 Поверхность рода 1 Поверхность рода 2 Поверхность рода 3 Род поверхности — топологическая характеристика замкнутой поверхности Σ {\displaystyle \Sigma } . Определяется как максимальное число замкнутых непересекающихся кривых не разделяющих поверхность на части.
Сфера имеет род 0. Тор имеет род 1. Проективная плоскость R P 2 {\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}} имеет род 1. Для ориентируемых поверхностей род равен числу ручек . Эквивалентно, Σ {\displaystyle \Sigma } имеет род g {\displaystyle g} , если Σ {\displaystyle \Sigma } гомеоморфна связной сумме сферы ( S 2 {\displaystyle S^{2}} ) и g {\displaystyle g} торов T 2 {\displaystyle T^{2}} :
Σ ∼ S 2 # ( T 2 # … # T 2 ⏟ g ) {\displaystyle \Sigma \sim S^{2}\#(\underbrace {T^{2}\#\ldots \#T^{2}} _{g})} . Род g {\displaystyle g} ориентированной поверхности Σ {\displaystyle \Sigma } может быть вычислен через её эйлерову характеристику χ ( Σ ) {\displaystyle \chi (\Sigma )} : g = 2 − χ ( Σ ) 2 {\displaystyle g={\frac {2-\chi (\Sigma )}{2}}} . Род поверхности Σ ⊂ C P 2 {\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {C} P^{2}} , являющейся замыканием множества нулей { P ( x , y ) = 0 } {\displaystyle \{P(x,\;y)=0\}} многочлена P ( x , y ) {\displaystyle P(x,\;y)} степени d {\displaystyle d} общего положения, выражается через его степень как: g = ( d − 1 ) ( d − 2 ) 2 . {\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}.} Род гиперэллиптической поверхности Σ ⊂ C P 2 {\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {C} P^{2}} , являющейся замыканием множества: { ( x , y ) ∣ y 2 = P ( x ) } {\displaystyle \{(x,\;y)\mid y^{2}=P(x)\}} . Для свободного от квадратов многочлена P ( x ) {\displaystyle P(x)} степени d {\displaystyle d} , выражается через его степень как: g = ⌈ d − 1 2 ⌉ {\displaystyle g=\left\lceil {\frac {d-1}{2}}\right\rceil } . Для неориентируемых поверхностей род равен числу вклеенных в неё лент Мёбиуса Эквивалентно, Σ {\displaystyle \Sigma } имеет род g {\displaystyle g} , если Σ {\displaystyle \Sigma } гомеоморфна связной сумме сферы ( S 2 {\displaystyle S^{2}} ) и g {\displaystyle g} проективных плоскостей R P 2 {\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}} :
Σ ∼ S 2 # ( R P 2 # … # R P 2 ⏟ g ) {\displaystyle \Sigma \sim S^{2}\#(\underbrace {\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}\#\dots \#\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}} _{g})} . Род g {\displaystyle g} неориентируемой поверхности Σ {\displaystyle \Sigma } может быть вычислен через её эйлерову характеристику χ ( Σ ) {\displaystyle \chi (\Sigma )} : g = 2 − χ ( Σ ) {\displaystyle g=2-\chi (\Sigma )} . Компактные
поверхности и их погружения в трёхмерное пространство
Класс гомеоформности компактной триангулируемой поверхности определяется ориентируемостью, числом компонент края и эйлеровой характеристикой.
Без края
Ориентируемые Неориентируемые
С краем Связанные понятия
Свойства Характеристики Операции