Теорема Рауса определяет отношение между площадями заданного треугольника и треугольника, образованного тремя попарно пересекающимися чевианами . Теорема утверждает, что если в треугольнике A B C {\displaystyle ABC} точки D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} и F {\displaystyle F} лежат на сторонах B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} и A B {\displaystyle AB} соответственно, то, обозначив C D B D {\displaystyle {\tfrac {CD}{BD}}} = x {\displaystyle =x} , A E C E {\displaystyle {\tfrac {AE}{CE}}} = y {\displaystyle =y} и B F A F {\displaystyle {\tfrac {BF}{AF}}} = z {\displaystyle =z} , ориентированная площадь треугольника, образованного чевианами A D {\displaystyle AD} , B E {\displaystyle BE} и C F {\displaystyle CF} по отношению к площади треугольника A B C {\displaystyle ABC} выражается соотношением
( x y z − 1 ) 2 ( x y + y + 1 ) ( y z + z + 1 ) ( z x + x + 1 ) {\displaystyle {\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}}} Теорема была доказана Э. Дж. Раусом на 82 странице его Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples в 1896 году. В частном случае, x = y = z = 2 {\displaystyle x=y=z=2} теорема представляет собой известную теорему об one-seventh area triangle . В случае x = y = z = 1 {\displaystyle x=y=z=1} медианы пересекаются в центроиде .
Положим площадь треугольника A B C {\displaystyle ABC} равной 1 {\displaystyle 1} . Для треугольника A B D {\displaystyle ABD} и линии F R C {\displaystyle FRC} , используя теорему Менелая , получим:
A F F B × B C C D × D R R A = 1 {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1} Тогда D R R A = B F F A × D C C B = z x x + 1 {\displaystyle {\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}} Поэтому площадь треугольника A R C {\displaystyle ARC} равна
S A R C = A R A D S A D C = A R A D × D C B C S A B C = x z x + x + 1 {\displaystyle S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}} Аналогично, получаем: S B P A = y x y + y + 1 {\displaystyle S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}} и S C Q B = z y z + z + 1 {\displaystyle S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}} Таким образом, площадь треугольника P Q R {\displaystyle PQR} равна:
S P Q R = S A B C − S A R C − S B P A − S C Q B {\displaystyle \displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}} = 1 − x z x + x + 1 − y x y + y + 1 − z y z + z + 1 {\displaystyle =1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}} = ( x y z − 1 ) 2 ( x z + x + 1 ) ( y x + y + 1 ) ( z y + z + 1 ) . {\displaystyle ={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.} Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) «Three more proofs of Routh’s theorem», Crux Mathematicorum 7:199-203. H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, pp. 211, 219-220, 2nd edition, Wiley, New York. J. S. Kline, D. Velleman. (1995) «Yet another proof of Routh’s theorem» (1995) Crux Mathematicorum 21:37-40 Jay Warendorff. Routh’s Theorem The Wolfram Demonstrations Project . Weisstein, Eric W. Routh's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld . Routh’s Theorem by Cross Products - MathPages Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh’s theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.