Функции Кельвина — группа бесселевых функций. Каждая их пара представляют решения дифференциального уравнения:
![{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+x{\frac {df}{dx}}-(ix^{2}+\nu ^{2})f=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901a056c75b5f17f23bf149eb2b0b35d20dbc5cd)
Введены Уильямом Томсоном (лордом Кельвином), который исследовал их в приложениях.
Они определяются следующим образом:
![{\displaystyle \operatorname {ber} _{\nu }(x)=\operatorname {Re} \left(e^{\frac {i\nu \pi }{2}}\cdot I_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4}})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70cf704e74bc41da1a6ee735ca6768aea39e2a7f)
![{\displaystyle \operatorname {bei} _{\nu }(x)=\operatorname {Im} \left(e^{\frac {i\nu \pi }{2}}\cdot I_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4}})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ae4b6704558d1c143f8425622bfbe056a14c3e)
где
— функция Инфельда
Для целых n имеет место разложения в ряд:
![{\displaystyle \mathrm {bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2da961ae958ccb03f6a11e66ac59d36ff43314d)
![{\displaystyle \mathrm {ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3b5d0a3ea65190b00e85e79f254bff6bc1acd8)
Они определяются следующим образом:
![{\displaystyle \operatorname {kei} _{\nu }(x)=\operatorname {Im} \left(e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}\cdot K_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4}})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86fbfce11bc420b0f807481cd9f6e0794dac749a)
где
— функция Макдональда.
Для целых n имеет место разложения в ряд:
![{\displaystyle \mathrm {kei} _{n}(x)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Ber} _{n}(x)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2be027f6a1f4dfb8cea795a3cb1ac96bf615720e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ker} _{n}(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Bei} _{n}(x)\\&{}\quad +{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5508c805f706bd6d37ff53fd3df29490d2ce446)
Они определяются следующим образом:
![{\displaystyle \operatorname {her} _{\nu }(x)=\operatorname {Re} \left(H_{\nu }^{(1)}(x\cdot e^{\frac {3i\pi }{4}})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50aafd4f1415d4c05ddb125a90e3502fdd0ede09)
![{\displaystyle \operatorname {hei} _{\nu }(x)=\operatorname {Im} \left(H_{\nu }^{(1)}(x\cdot e^{\frac {3i\pi }{4}})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73635efd642cf25cb2454b5e3da91bb693dc05bd)
где
— функция Ханкеля первого рода.