Функции распределения Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X {\displaystyle X} примет значение, меньшее x {\displaystyle x} , где x {\displaystyle x} — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий (см. ниже ) полностью определяет случайную величину.
Пусть дано вероятностное пространство ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} , и на нём определена случайная величина X {\displaystyle X} с распределением P X {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}} . Тогда функцией распределения случайной величины X {\displaystyle X} называется функция F X : R → [ 0 , 1 ] {\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]} , задаваемая формулой
F X ( x ) = P ( X ⩽ x ) ≡ P X ( ( − ∞ , x ] ) {\displaystyle F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leqslant x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x]\right)} . То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины X {\displaystyle X} называют функцию F ( x ) {\displaystyle F(x)} , значение которой в точке x {\displaystyle x} равно вероятности события { X ⩽ x } {\displaystyle \{X\leqslant x\}} , то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых X ( ω ) ⩽ x {\displaystyle X(\omega )\leqslant x} .
F X {\displaystyle F_{X}} непрерывна справа [1] : lim ε → 0 + F X ( x + ε ) = F X ( x ) {\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0+}F_{X}(x+\varepsilon )=F_{X}(x)} F X {\displaystyle F_{X}} не убывает на всей числовой прямой. lim x → − ∞ F X ( x ) = 0 {\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0} . lim x → + ∞ F X ( x ) = 1 {\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1} . Распределение случайной величины P X {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}} однозначно определяет функцию распределения. Верно и обратное: если функция F ( x ) {\displaystyle F(x)} удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что F ( x ) {\displaystyle F(x)} является её функцией распределения. По определению непрерывности справа, функция F X {\displaystyle F_{X}} имеет правый предел F X ( x + ) {\displaystyle F_{X}(x+)} в любой точке x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } , и он совпадает со значением функции F X ( x ) {\displaystyle F_{X}(x)} в этой точке. В силу неубывания, функция F X {\displaystyle F_{X}} также имеет и левый предел F X ( x − ) {\displaystyle F_{X}(x-)} в любой точке x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция F X {\displaystyle F_{X}} либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода . Внимание! Ниже записаны свойства для другого определения функции распределения - для непрерывной слева!
Из свойств вероятности следует, что ∀ x ∈ R , ∀ a , b ∈ R {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\;\forall a,b\in \mathbb {R} } , таких что a < b {\displaystyle a<b} :
P ( X ⩾ x ) = 1 − F X ( x ) {\displaystyle \mathbb {P} (X\geqslant x)=1-F_{X}(x)} ; P ( X ⩽ x ) = F X ( x + 0 ) {\displaystyle \mathbb {P} (X\leqslant x)=F_{X}(x+0)} ; P ( X > x ) = 1 − F X ( x + 0 ) {\displaystyle \mathbb {P} (X>x)=1-F_{X}(x+0)} ; P ( X = x ) = F X ( x + 0 ) − F X ( x ) {\displaystyle \mathbb {P} (X=x)=F_{X}(x+0)-F_{X}(x)} ; P ( a < X ⩽ b ) = F X ( b + 0 ) − F X ( a + 0 ) {\displaystyle \mathbb {P} (a<X\leqslant b)=F_{X}(b+0)-F_{X}(a+0)} ; P ( a ⩽ X ⩽ b ) = F X ( b + 0 ) − F X ( a ) {\displaystyle \mathbb {P} (a\leqslant X\leqslant b)=F_{X}(b+0)-F_{X}(a)} ; P ( a < X < b ) = F X ( b ) − F X ( a + 0 ) {\displaystyle \mathbb {P} (a<X<b)=F_{X}(b)-F_{X}(a+0)} ; P ( a ⩽ X < b ) = F X ( b ) − F X ( a ) {\displaystyle \mathbb {P} (a\leqslant X<b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)} ; Если случайная величина X {\displaystyle X} дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности
P ( X = x i ) = p i , i = 1 , 2 , … {\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\ldots } , то функция распределения F X {\displaystyle F_{X}} этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:
F X ( x ) = ∑ i : x i < x p i {\displaystyle F_{X}(x)=\sum \limits _{i\colon x_{i}<x}p_{i}} . Эта функция непрерывна во всех точках x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } , таких что x ≠ x i , ∀ i {\displaystyle x\not =x_{i},\;\forall i} , и имеет разрыв первого рода в точках x = x i , ∀ i {\displaystyle x=x_{i},\;\forall i} .
Распределение P X {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}} называется непрерывным, если такова его функция распределения F X {\displaystyle F_{X}} . В этом случае:
P ( X = x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle \mathbb {P} (X=x)=0,\;\forall x\in \mathbb {R} } , и
F X ( x − 0 ) = F X ( x ) , ∀ x ∈ R {\displaystyle F_{X}(x-0)=F_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} } , а следовательно формулы имеют вид:
P ( X ∈ | a , b | ) = F X ( b ) − F X ( a ) {\displaystyle \mathbb {P} (X\in |a,b|)=F_{X}(b)-F_{X}(a)} , где | a , b | {\displaystyle |a,b|} означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.
Абсолютно непрерывные распределения [ править | править код ] Распределение P X {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}} называется абсолютно непрерывным , если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега ) функция f X ( x ) {\displaystyle f_{X}(x)} , такая что:
F X ( x ) = ∫ − ∞ x f X ( t ) d t {\displaystyle F_{X}(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\!f_{X}(t)\,dt} . Функция f X {\displaystyle f_{X}} называется плотностью распределения . Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если f X ∈ C ( R ) {\displaystyle f_{X}\in C(\mathbb {R} )} , то F X ∈ D ( R ) {\displaystyle F_{X}\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )} , и
d d x F X ( x ) = f X ( x ) , ∀ x ∈ R {\displaystyle {\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} } . Иногда в иностранной литературе берётся такое определение функции распределения:
F X ( x ) = P ( X ⩽ x ) ≡ P X ( ( − ∞ , x ] ) {\displaystyle F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leqslant x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x]\right)} . Определённая так функция распределения будет непрерывна справа, а не слева.
Многомерные функции распределения [ править | править код ] Пусть ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} фиксированное вероятностное пространство, и X = ( X 1 , … , X n ) : Ω → R n {\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{n})\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}} — случайный вектор. Тогда распределение P X {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}} , называемое распределением случайного вектора X {\displaystyle X} или совместным распределением случайных величин X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} , является вероятностной мерой на R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . Функция этого распределения F X : R n → [ 0 , 1 ] {\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,1]} задаётся по определению следующим образом:
F X ( x 1 , … , x n ) = P ( X 1 < x 1 , … , X n < x n ) ≡ P X ( ∏ i = 1 n ( − ∞ , x i ) ) {\displaystyle F_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\mathbb {P} (X_{1}<x_{1},\ldots ,X_{n}<x_{n})\equiv \mathbb {P} ^{X}\left(\prod \limits _{i=1}^{n}(-\infty ,x_{i})\right)} , где ∏ {\displaystyle \prod } в данном случае обозначает декартово произведение множеств .
Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для n > 1 {\displaystyle n>1} .
Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии В библиографических каталогах