Энстрофия

Механика сплошных сред
Сплошная среда
Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса
Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость
Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение
Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнение Громеки — Лэмба · Уравнение Бернулли · Интеграл Коши — Лагранжа · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение вихря · Уравнение диффузии · Закон Гука
См. также: Портал:Физика

В гидродинамике энстрофия E может интерпретироваться как другой тип потенциальной плотности^[en]; или, более конкретно, количество, непосредственно связанное с кинетической энергией в модели потока, которое соответствует эффектам диссипации в жидкости. Это особенно полезно при изучении турбулентных течений, и его часто идентифицируют при изучении двигателя, а также в области теории горения.

Для заданной области ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ и однократно слабо дифференцируемого векторного поля ${\displaystyle u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})^{n}}$, которое представляет поток жидкости, такой как решение уравнений Навье-Стокса, его энстрофия определяется как:^[1]

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u):=\int _{\Omega }|\nabla \mathbf {u} |^{2}\,dx,}$

где ${\displaystyle |\nabla \mathbf {u} |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}\left|\partial _{i}u^{j}\right|^{2}}$. Эта величина совпадает с квадратом полунормы ${\displaystyle |\mathbf {u} |_{H^{1}(\Omega )^{n}}^{2}}$решения в пространстве Соболева ${\displaystyle H^{1}(\Omega )^{n}}$.

В случае, когда поток несжимаемый или, что эквивалентно, ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$, энстрофия может быть описана как интеграл от квадрата завихренность ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$,^[2]

${\displaystyle {\mathcal {E}}({\boldsymbol {\omega }})\equiv \int _{\Omega }|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}\,dx}$

или, с точки зрения скорости потока,

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\mathbf {u} )\equiv \int _{S}|\nabla \times \mathbf {u} |^{2}\,dS\,.}$

В контексте несжимаемых уравнений Навье-Стокса энстрофия проявляется в следующем полезном результате^[1]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\mathbf {u} |^{2}\right)=-\nu {\mathcal {E}}(\mathbf {u} ).}$

Величина в скобках слева — это энергия потока, поэтому результат говорит о том, что энергия уменьшается пропорционально кинематической вязкости ${\displaystyle \nu }$, умноженной на энтрофию.

Примечания[править | править код]

Источники[править | править код]

• Umurhan, O. M.; Regev, O. (December 2004). "Hydrodynamic stability of rotationally supported flows: Linear and nonlinear 2D shearing box results". Astronomy and Astrophysics. 427 (3): 855—872. arXiv:astro-ph/0404020. Bibcode:2004A&A...427..855U. doi:10.1051/0004-6361:20040573. S2CID 15418079.
• Weiss, John (March 1991). "The dynamics of enstrophy transfer in two-dimensional hydrodynamics". Physica D: Nonlinear Phenomena. 48 (2—3): 273—294. Bibcode:1991PhyD...48..273W. doi:10.1016/0167-2789(91)90088-Q.

Это заготовка статьи по физике. Помогите Википедии, дополнив её.