Теорема Манна — Вальда
Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Теорема Манна — Вальда (англ. Mann–Wald theorem) или теорема о непрерывном отображении (англ. continuous mapping theorem, CMT) — положение теории вероятностей, которое утверждает, что непрерывные функции сохраняют предел даже в том случае, если их аргументы — последовательности случайных величин. Непрерывная функция в определении Гейне отображает сходящуюся последовательность в другую сходящуюся последовательность: если xn → x, то g(xn) → g(x). Теорема утверждает, что этот результат сохраняется и при замене детерминированной последовательности {xn} на последовательность случайных величин {Xn}, а понятие сходимости для вещественных чисел — на один из типов сходимости случайных величин.
Теорема впервые доказана Манном и Вальдом в 1943 году[1].
Формулировка[править | править код]
Пусть {Xn}, X — случайные элементы, определённые на метрическом пространстве S. Пусть функция g: S→S′ (где S′ есть другое метрическое пространство) разрывна в точках из множества Dg причём Pr[X ∈ Dg] = 0. Тогда[2][3][4]
См. также[править | править код]
Примечания[править | править код]
- ↑ Amemiya, 1985, p. 88
- ↑ Van der Vaart, 1998, Theorem 2.3, page 7
- ↑ Billingsley, 1969, p. 31, Corollary 1
- ↑ Billingsley, 1999, p. 21, Theorem 2.7
Литература[править | править код]
- Анатольев, Станислав. Эконометрика для продолжающих. Курс лекций . — Москва, 2006. — 60 с.
- Amemiya, Takeshi. Advanced Econometrics (неопр.). — Cambridge, MA: Harvard University Press, 1985. — ISBN 0-674-00560-0.
- Billingsley, Patrick[англ.]. Convergence of Probability Measures (неопр.). — John Wiley & Sons, 1969. — ISBN 0-471-07242-7.
- Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures (неопр.). — 2nd. — John Wiley & Sons, 1999. — ISBN 0-471-19745-9.
- Mann, H. B.; Wald, A.[англ.]. On Stochastic Limit and Order Relationships (англ.) // Annals of Mathematical Statistics[англ.] : journal. — 1943. — Vol. 14, no. 3. — P. 217—226. — doi:10.1214/aoms/1177731415. — .
- Van der Vaart, A. W. Asymptotic statistics (неопр.). — New York: Cambridge University Press, 1998. — ISBN 0-521-49603-9.