Monstrous moonshine

Monstrous moonshine, также известная как Гипотеза чудовищного вздора — неожиданная^[1] связь простой конечной группы-монстра ${\displaystyle M}$ с модулярными функциями (в частности, с ${\displaystyle j}$-инвариантом)^[2]. Была выдвинута как гипотеза в 1970-х годах и доказана в 1992 году.

Monstrous moonshine также называется в английском языке moonshine theory, а до момента доказательства называлась monstrous moonshine hypothesis.

В русском языке она может именоваться оригинальным англоязычным названием или переводиться разными способами:

• Гипотеза чудовищного вздора^[2].
• Лунные гипотезы^[3].
• Лунный свет^[4].
• Moonshine-гипотеза^[5].

Первое проявление связи обнаружено в конце 1970-х годов Джоном Маккеем^[англ.], обратившим внимание на то, что коэффициенты ряда Фурье нормализованного ${\displaystyle j}$-инварианта:

${\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+\cdots }$^[6]

(${\displaystyle \tau }$ — отношение полупериодов^[англ.], ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$) являются специфическими линейными комбинациями размерностей ${\displaystyle r_{i}}$^[7] неприводимых представлений группы ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&=2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r_{5}\\&=2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{4}+2r_{5}+r_{7}\\&=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\dots \end{aligned}}}$.

Джон Томпсон для объяснения феномена предложил изучить степенные ряды с коэффициентами, являющимися характерами представлений монстра, вычисленными для различных его элементов. В 1979 году Джон Конвей (предложивший термин monstrous moonshine, впервые узнав о соотношении Маккея) и Саймон Нортон^[англ.] построили такие функции (ряды Маккея — Томпсона), и обнаружили их сходство с главными модулярными функциями (нем. Hauptmodul), сформулировав содержание гипотезы: каждый ряд Маккея — Томпсона соответствует определённой главной модулярной функции^[8].

В 1992 году гипотеза была доказана учеником Конвея Ричардом Борчердсом, впоследствии получившим Филдсовскую премию, в том числе за этот результат. Доказательство существенным образом опиралось на свойства некоторой алгебры вершинных операторов (монстр-вершинной алгебры^[англ.]), для которой группа-монстр является группой симметрий, и тем самым обнаружена связь утверждения с теорией струн и конформной теорией поля (основывающихся на алгебрах вершинных операторов).