Специальная унитарная группа — группа унитарных матриц заданного порядка с определителем, равным 1, и произведением матриц как групповой операцией; для матриц размером
обозначается
.
Специальная унитарная группа является подгруппой унитарной группы
, состоящей из всех унитарных матриц
:
.
Группа
имеет
параметр, так как матрица
содержит
чисел, но одно из них не является независимым и определяется из условия равенства определителя единице. Соответственно, количество генераторов тоже равно
.
Для группы
генераторы известны как матрицы Паули:
00 | | | |
Аналогом матриц Паули для
служат матрицы Гелл-Манна:
00 | | | |
00 | | | |
00 | | | |
Генераторы для
определяются как
с использованием соотношения:
.
Они подчиняются следующим соотношениям:
, где
— структурная константа, значения которой равны:
,
,
;
.
Эрмитовы матрицы генераторы для
, аналогичные матрицам Паули и матрицам Гелл-Манна, имеют вид:
00 | | | |
00 | | | |
00 | | | |
00 | | | |
00 | | | |
Эти матрицы удовлетворяют выражению для следа:
![{\displaystyle Tr{(\lambda _{k}^{2})}=2;k=1..15}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281e23eb0a7bea2a473625817c88b68cb8a25d25)
и тождеству Якоби:
![{\displaystyle [[\lambda _{l},\lambda _{k}],\lambda _{j}]+[[\lambda _{k},\lambda _{j}],\lambda _{l}]+[[\lambda _{j},\lambda _{l}],\lambda _{k}]=0;j<k<l;j,k,l=1..15}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ca474c1d44e5c6aa201a6076919dcc6d1f0a13)
При этом коммутатор вычисляется как:
![{\displaystyle [\lambda _{j},\lambda _{k}]=2i\sum _{m}f_{jkl}\lambda _{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8d2ffdd7b71756f2e825a7a9f9b9033bfa7881)
Таблица структурных констант
![{\displaystyle f_{1,2,3}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ca6a6938fedbe642f61eade2c10e6a4abd2028)
![{\displaystyle f_{1,4,7}=f_{2,4,6}=f_{2,5,7}=f_{3,4,5}=f_{1,9,12}=f_{2,9,11}=f_{2,10,12}=f_{3,9,10}=f_{4,9,14}=f_{5,10,14}=f_{6,11,14}=f_{7,11,13}=f_{7,12,14}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7316574da64db152a27621815bd502675bbdc585)
![{\displaystyle f_{1,5,6}=f_{3,6,7}=f_{1,10,11}=f_{3,11,12}=f_{4,10,13}=f_{6,12,13}=-{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d2d23677236e2933576dc8e050f39127b522fe1)
![{\displaystyle f_{4,5,8}=f_{6,7,8}=f_{8,9,10}=f_{8,11,12}=f_{9,10,15}=f_{11,12,15}=f_{13,14,15}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953d22abd9ada4ad076795ffc887aac62e9da381)
![{\displaystyle f_{8,13,14}=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da204bf5e9eb6d3d03d5f0af8b3e45df488a0eb)