Augustin Cauchy ( x n ) n {\displaystyle (x_{n})_{n}} bir gerçel sayı dizisi olsun. Eğer her ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} için,
| x n − x m | < ϵ {\displaystyle |x_{n}-x_{m}|<\epsilon } eşitsizliğinin her n , m > N {\displaystyle n,m>N} ( N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } ) için sağlandığı bir N {\displaystyle N} göstergeci varsa, ( x n ) n {\displaystyle (x_{n})_{n}} dizisine Cauchy dizisi denir.
İspat:
( x n ) n {\displaystyle (x_{n})_{n}} yakınsak bir gerçel sayı dizisi ve ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} herhangi bir pozitif gerçel sayı olsun. Dizinin limitine a {\displaystyle a} diyelim. Demek ki, öyle bir N {\displaystyle N} doğal sayısı vardır ki, her n > N {\displaystyle n>N} için,
| x n − a | < ϵ 2 {\displaystyle |x_{n}-a|<{\dfrac {\epsilon }{2}}} olur. Dolayısıyla, n , m > N {\displaystyle n,m>N} için, | x n − x m | = | ( x n − a ) − ( x m − a ) | ≤ | x n − a | + | x m − a | < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ {\displaystyle |x_{n}-x_{m}|=|(x_{n}-a)-(x_{m}-a)|\leq |x_{n}-a|+|x_{m}-a|<{\dfrac {\epsilon }{2}}+{\dfrac {\epsilon }{2}}=\epsilon } olur ve kanıt biter ◻ {\displaystyle \Box } .
İspat:
( x n ) n {\displaystyle (x_{n})_{n}} bir Cauchy dizisi olsun. Tanımdaki ϵ {\displaystyle \epsilon } 'u, ϵ = 1 {\displaystyle \epsilon =1} seçelim. Demek ki, öyle bir N {\displaystyle N} göstergeci vardır ki, her n , m > N {\displaystyle n,m>N} için,
| x n − x m | < 1 {\displaystyle |x_{n}-x_{m}|<1} olur. Demek ki, her n > N {\displaystyle n>N} için, | x n − x N + 1 | {\displaystyle |x_{n}-x_{N+1}|} olur; bir başka deyişle,
x N + 1 − 1 < x n < x N + 1 + 1 {\displaystyle x_{N+1}-1<x_{n}<x_{N+1}+1} olur.
b = max { x 0 , x 1 , . . . , x N , x N + 1 + 1 } {\displaystyle b=\max\{x_{0},x_{1},...,x_{N},x_{N+1}+1\}} ve a = min { x 0 , x 1 , . . . , x N , x N + 1 − 1 } {\displaystyle a=\min\{x_{0},x_{1},...,x_{N},x_{N+1}-1\}} diye tanımlayalım.
O zaman, her için, a < x n < b {\displaystyle a<x_{n}<b} olur ve ispat biter ◻ {\displaystyle \Box } .
Bir Cauchy dizisinin her altdizisi Cauchy'dir [ değiştir | kaynağı değiştir ] İspat:
( x n ) n {\displaystyle (x_{n})_{n}} , bir Cauchy dizisi, ( x n k ) k {\displaystyle (x_{n_{k}})_{k}} dizisi de bu dizinin altdizisi olsun. ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} herhangi bir sayı olsun.Öyle bir N {\displaystyle N} var ki, her n , m > N {\displaystyle n,m>N} için, | x n − x m | < ϵ {\displaystyle |x_{n}-x_{m}|<\epsilon } dir.
Eğer k , l > N {\displaystyle k,l>N} ise N < k ≤ n k {\displaystyle N<k\leq n_{k}} ve N < l ≤ n l {\displaystyle N<l\leq n_{l}} olduğundan, | x n k − x n l | < ϵ {\displaystyle |x_{n_{k}}-x_{n_{l}}|<\epsilon } olur. ◻ {\displaystyle \Box } .
Bir Cauchy dizisinin bir altdizisi yakınsaksa dizinin kendisi de yakınsaktır ve her iki dizi de aynı limite yakınsar [ değiştir | kaynağı değiştir ] İspat:
( x n ) n {\displaystyle (x_{n})_{n}} Cauchy dizisi olsun ve ( x n k ) k {\displaystyle (x_{n_{k}})_{k}} bu dizinin altdizisi olsun. Teoremde belirtildiği üzere bu altdizi yakınsakmış (diyelim ki " a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } " ya yakınsasın), tanımı yazarsak,
n k , k > N {\displaystyle n_{k},k>N} ve ∀ ϵ > 0 {\displaystyle \forall \epsilon >0} için | x n k − a | < ϵ / 2 {\displaystyle |x_{n_{k}}-a|<\epsilon /2} önermesi doğrudur. Kanıtlamak istediğimiz ∀ ϵ > 0 {\displaystyle \forall \epsilon >0} için | x n − a | < ϵ {\displaystyle |x_{n}-a|<\epsilon } önermesi olduğundan bu önermeyi açalım;
| x n − a | = | ( x n − x n k ) + ( x n k − a ) | ≤ | x n − x n k | ⏟ 1 + | x n k − a | ⏟ 2 {\displaystyle |x_{n}-a|=|(x_{n}-x_{n_{k}})+(x_{n_{k}}-a)|\leq \underbrace {|x_{n}-x_{n_{k}}|} _{1}+\underbrace {|x_{n_{k}}-a|} _{2}}
2. ifade altdizinin tanımından dolayı ϵ / 2 {\displaystyle \epsilon /2} 'den küçüktür,
1. ifade ise, n k > n > N {\displaystyle n_{k}>n>N} olduğundan bir Cauchy dizisidir ve | x n − x n k | < ϵ / 2 {\displaystyle |x_{n}-x_{n_{k}}|<\epsilon /2} olarak doğrudur.
İspatlamak istediğimiz ifadeyi tekrar yazarsak,
n k > n > N {\displaystyle n_{k}>n>N} ve ∀ ϵ > 0 {\displaystyle \forall \epsilon >0} için | x n − a | ≤ | x n − x n k | + | x n k − a | < ϵ / 2 + ϵ / 2 = ϵ {\displaystyle |x_{n}-a|\leq |x_{n}-x_{n_{k}}|+|x_{n_{k}}-a|<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon }
ve ispat biter ◻ {\displaystyle \Box } .
Her Cauchy dizisinin R {\displaystyle \mathbb {R} } 'de bir limiti vardır [ değiştir | kaynağı değiştir ] İspat: ( x n ) n {\displaystyle (x_{n})_{n}} verilmiş bir Cauchy dizisi olsun.(Yukarıdaki teoremleri ve verilen kaynaklardaki teoremleri kullanarak.)
( x n ) n {\displaystyle (x_{n})_{n}} 'nin monoton bir ( y n ) n {\displaystyle (y_{n})_{n}} altdizisi bulunur. ( x n ) n {\displaystyle (x_{n})_{n}} bir Cauchy dizisi olduğundan sınırlıdır.[1] Demek ki ( y n ) n {\displaystyle (y_{n})_{n}} altdizisi de sınırlıdır. Monoton ve sınırlı olduğundan, ( y n ) n {\displaystyle (y_{n})_{n}} dizisi yakınsaktır.[2] 1 , 2 , 3 {\displaystyle 1,2,3} maddelerden, ( x n ) n {\displaystyle (x_{n})_{n}} dizisinin yakınsak olduğu görülür.[3] Dolayısıyla, R {\displaystyle \mathbb {R} } tamdır ve ispat biter. ◻ {\displaystyle \Box } .
Formal ispat:
R {\displaystyle \mathbb {R} } 'de (hatta metrik uzaylarda) yakınsak her dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek kolay. Bu yüzden R {\displaystyle \mathbb {R} } 'deki herhangi bir Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu gösterirsek ispat biter. Burada gerçel sayılar kümesi üzerinde alışılmış metriğin olduğunu varsayıyoruz. Farklı metrikler söz konusu olduğunda iddia doğru olmayabilir.
( x n ) n , R {\displaystyle (x_{n})_{n},\ \mathbb {R} } 'de bir Cauchy dizisi ve ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} olsun.
( x n ) n ∈ R N Cauchy dizisi ϵ > 0 } ⇒ ( ∃ N ( ϵ ) ∈ N ) ( ∀ n , m ≥ N ( ϵ ) ) ( | x n − x m | < ϵ 2 ) {\displaystyle \left.{\begin{array}{rr}(x_{n})_{n}\in \mathbb {R^{N}} {\text{ Cauchy dizisi}}\\\epsilon >0\end{array}}\right\}\Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n,m\geq N(\epsilon ))\left(|x_{n}-x_{m}|<{\frac {\epsilon }{2}}\right)}
⇒ ( ∃ N ( ϵ ) ∈ N ) ( ∀ n ≥ N ( ϵ ) ) ( | x n − x N ( ϵ ) | < ϵ 2 ) {\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(|x_{n}-x_{N(\epsilon )}|<{\dfrac {\epsilon }{2}}\right)}
⇒ ( ∃ N ( ϵ ) ∈ N ) ( ∀ n ≥ N ( ϵ ) ) ( x N ( ϵ ) − ϵ 2 < x n < x N ( ϵ ) + ϵ 2 ) {\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(x_{N(\epsilon )}-{\dfrac {\epsilon }{2}}<x_{n}<x_{N(\epsilon )}+{\dfrac {\epsilon }{2}}\right)}
⇒ ( ∃ N ( ϵ ) ∈ N ) ( ∀ n ≥ N ( ϵ ) ) ( x n ∈ A := ( x N ( ϵ ) − ϵ 2 , x N ( ϵ ) + ϵ 2 ) ) {\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(x_{n}\in A:=\left(x_{N(\epsilon )}-{\dfrac {\epsilon }{2}},x_{N(\epsilon )}+{\dfrac {\epsilon }{2}}\right)\right)}
⇒ ( ∃ N ( ϵ ) ∈ N ) ( ∀ n ≥ N ( ϵ ) ) ( x n ∈ B N := { x N ( ϵ ) , x N ( ϵ ) + 1 , x N ( ϵ ) + 2 , . . . } ⊆ A ) {\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(x_{n}\in B_{N}:=\left\{x_{N(\epsilon )},x_{N(\epsilon )+1},x_{N(\epsilon )+2},...\right\}\subseteq A\right)}
⇒ ( ∃ N ( ϵ ) ∈ N ) ( ∀ n ≥ N ( ϵ ) ) ( | B N | ≤ ℵ 0 ) ( x N ( ϵ ) − ϵ 2 ∈ B N l ≠ ∅ ) ( x N ( ϵ ) + ϵ 2 ∈ B N u ≠ ∅ ) {\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))(|B_{N}|\leq \aleph _{0})\left(x_{N(\epsilon )}-{\dfrac {\epsilon }{2}}\in B_{N}^{l}\neq \emptyset \right)\left(x_{N(\epsilon )}+{\dfrac {\epsilon }{2}}\in B_{N}^{u}\neq \emptyset \right)}
⇒ ( ∃ N ( ϵ ) ∈ N ) ( ∀ n ≥ N ( ϵ ) ) ( ∃ x ∈ R ) ( x = sup B N ) ( x N ( ϵ ) − ϵ 2 ≤ x ≤ x N ( ϵ ) + ϵ 2 ) {\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))(\exists x\in \mathbb {R} )(x=\sup {B_{N}})\left(x_{N(\epsilon )}-{\dfrac {\epsilon }{2}}\leq x\leq x_{N(\epsilon )}+{\dfrac {\epsilon }{2}}\right)}
⇒ ( ∃ N ( ϵ ) ∈ N ) ( ∀ n ≥ N ( ϵ ) ) ( | x − x N ( ϵ ) | ≤ ϵ 2 ) {\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(|x-x_{N(\epsilon )}|\leq {\dfrac {\epsilon }{2}}\right)}
⇒ ( ∃ N ( ϵ ) ∈ N ) ( ∀ n ≥ N ( ϵ ) ) ( | x n − x | ≤ | x n − x N ( ϵ ) | + | x N ( ϵ ) − x | < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ ) . {\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(|x_{n}-x|\leq |x_{n}-x_{N(\epsilon )}|+|x_{N(\epsilon )}-x|<{\dfrac {\epsilon }{2}}+{\dfrac {\epsilon }{2}}=\epsilon \right).} ◻ {\displaystyle \Box }
https://web.archive.org/web/20170111210130/http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22
Apostol-Mathematical_Analysis[Tom_M.Apostol] Second_Edition.
Temel Analiz(Analiz I(Bir))-[Ali Nesin]
http://matkafasi.com/20940/ustten-sinirli-ve-artan-bir-dizinin-limiti-vardir 16 Nisan 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi .
http://matkafasi.com/106636/dizisinin-mathbb-limiti-vardir-yakinsak-cauchy-dizisidir 31 Temmuz 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi .