Küresel koordinatlar (r , θ , φ ) fizikte ortak kullanılır: yarıçap uzunluğu r , kutupsal açı θ (teta ), ve azimut açı φ (fi ). ρ (rho ) sembolü ise r vektörünün xy düzlemindeki izdüşüm vektörüdür. Yaygın kullanım bu şekildedir. NOT: Bu sayfa küresel koordinatların fizik gösterimi içindir, θ {\displaystyle \theta } z ekseni arasındaki açıdır.ve yarıçap vektörü söz konusu noktaya orijinden bağlantılıdır, bu ϕ {\displaystyle \phi } açısı x-y düzlemi ve x ekseni ile vektör yarıçapının izdüşümü arası açıdır. Diğer bazı tanımları da kullanılıyor ve çok dikkatli farklı kaynaklardan karşılaştırarak alınmalıdır.[1]
Vektörler (p, φ, z ) ile silindirik koordinatlarda tanımlanıyor, burada
p , xy düzlemine r vektörünün izdüşüm uzunluğu, φ pozitif x -ekseninin (0 ≤ φ < 2π) xy -düzlemi (i.e. r )vektör izdüşümünü ile arasındaki açıdır, z bilinen z -koordinatı. (p, φ , z ) kartezyen koordinatlarda şöyle verilir:
[ p ϕ z ] = [ x 2 + y 2 arctan ( y / x ) z ] , 0 ≤ ϕ < 2 π , {\textstyle {\begin{bmatrix}p\\\phi \\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\operatorname {arctan} (y/x)\\z\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,} veya tersi yoluyla:
[ x y z ] = [ p cos ϕ p sin ϕ z ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p\cos \phi \\p\sin \phi \\z\end{bmatrix}}.} Herhangi bir vektör alanı birim vektörleri tarafından yazılabilir:
A = A x x ^ + A y y ^ + A z z ^ = A p p ^ + A ϕ ϕ ^ + A z z ^ {\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{p}\mathbf {\hat {p}} +A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}} } Silindirik birim vektörleri ile kartezyen birim vektörleri ilişkilidir:
[ p ^ ϕ ^ z ^ ] = [ cos ϕ sin ϕ 0 − sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1 ] [ x ^ y ^ z ^ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {p}} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}} "vektör alanı A"nın zaman içindeki değişikliklerini bulmak için biz zaman türevlerini hesaplıyoruz.
Bunu desteklemek için zaman türevleri için biz Newton gösterimini kullanıyoruz ( A ˙ {\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}} ). Kartezyen koordinatlar içinde bu basitçe:
A ˙ = A ˙ x x ^ + A ˙ y y ^ + A ˙ z z ^ {\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {A}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}} Bununla birlikte silindirik koordinatlar şu alınır:
A ˙ = A ˙ p p ^ + A p p ^ ˙ + A ˙ ϕ ϕ ^ + A ϕ ϕ ^ ˙ + A ˙ z z ^ + A z z ^ ˙ {\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{p}{\hat {\boldsymbol {p}}}+A_{p}{\dot {\hat {\boldsymbol {p}}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\hat {\boldsymbol {\phi }}}+A_{\phi }{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}+A_{z}{\dot {\hat {\boldsymbol {z}}}}} Birim vektörlerin zaman türevlerine ihtiyacımız var.
p ^ ˙ = ϕ ˙ ϕ ^ ϕ ^ ˙ = − ϕ ˙ p ^ z ^ ˙ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {p} }}}&={\dot {\phi }}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\\{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}{\hat {\mathbf {p} }}\\{\dot {\hat {\mathbf {z} }}}&=0\end{aligned}}} ile verilir. Zaman türevleri basitçe:
A ˙ = p ^ ( A ˙ p − A ϕ ϕ ˙ ) + ϕ ^ ( A ˙ ϕ + A p ϕ ˙ ) + z ^ A ˙ z {\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\hat {\boldsymbol {p}}}({\dot {A}}_{p}-A_{\phi }{\dot {\phi }})+{\hat {\boldsymbol {\phi }}}({\dot {A}}_{\phi }+A_{p}{\dot {\phi }})+{\hat {\mathbf {z} }}{\dot {A}}_{z}} fizikte ilginç olan ikinci zaman türevidir, klasik mekanik sistemde hareketin denklemi bulunuyor . Bir vektör alanının silindirik koordinatlarda ikinci zaman türevi şu denklem yoluyla veriliyor:
A ¨ = p ^ ( A ¨ p − A ϕ ϕ ¨ − 2 A ˙ ϕ ϕ ˙ − A p ϕ ˙ 2 ) + θ ^ ( A ¨ ϕ + A p ϕ ¨ + 2 A ˙ p ϕ ˙ − A ϕ ϕ ˙ 2 ) + z ^ A ¨ z {\displaystyle \mathbf {\ddot {A}} =\mathbf {\hat {p}} ({\ddot {A}}_{p}-A_{\phi }{\ddot {\phi }}-2{\dot {A}}_{\phi }{\dot {\phi }}-A_{p}{\dot {\phi }}^{2})+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}({\ddot {A}}_{\phi }+A_{p}{\ddot {\phi }}+2{\dot {A}}_{p}{\dot {\phi }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}^{2})+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {A}}_{z}} Bu ifadeyi anlamak için, A = P eşitliğine inanıyoruz, burada p, (r, θ, z) vektörüdür.
Bu demektir ki A = P = p p ^ + z z ^ {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {P} =p\mathbf {\hat {p}} +z\mathbf {\hat {z}} } .
Biz koymak yerine sonra:
P ¨ = p ^ ( p ¨ − p ϕ ˙ 2 ) + ϕ ^ ( p ϕ ¨ + 2 p ˙ ϕ ˙ ) + z ^ z ¨ {\displaystyle {\ddot {\mathbf {P} }}=\mathbf {\hat {p}} ({\ddot {p}}-p{\dot {\phi }}^{2})+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}(p{\ddot {\phi }}+2{\dot {p}}{\dot {\phi }})+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {z}}} Mekanikte,bu şekilde ifade açısından:
p ¨ p ^ = central outward acceleration − p ϕ ˙ 2 p ^ = centripetal acceleration p ϕ ¨ ϕ ^ = angular acceleration 2 p ˙ ϕ ˙ ϕ ^ = Coriolis effect z ¨ z ^ = z-acceleration {\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {p}}\mathbf {\hat {p}} &={\mbox{central outward acceleration}}\\-p{\dot {\phi }}^{2}\mathbf {\hat {p}} &={\mbox{centripetal acceleration}}\\p{\ddot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}&={\mbox{angular acceleration}}\\2{\dot {p}}{\dot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}&={\mbox{Coriolis effect}}\\{\ddot {z}}\mathbf {\hat {z}} &={\mbox{z-acceleration}}\end{aligned}}} Ayrıca bakınız: merkezcil çekim kuvveti , Açısal hız , Coriolis etkisi .
(r,θ,φ) ile küresel koordinatlar içinde tanımlanan vektörler
r vektörünün boyudur, θ pozitif z-ekseni ve söz konusu vektör arasındaki açı(0 ≤ θ ≤ π) φ vektör ontolojik "X-Y" düzleminin projeksiyonu ve x-ekseni pozitif tarafı arasındaki açıdır (0 ≤ φ < 2π), (by:
[ r θ ϕ ] = [ x 2 + y 2 + z 2 arccos ( z / r ) arctan ( y / x ) ] , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ < 2 π , {\displaystyle {\begin{bmatrix}\ r\\\theta \\\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\arccos(z/\ r)\\\arctan(y/x)\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \theta \leq \pi ,\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,} tarafından
ya da ters tarafından:
[ x y z ] = [ r sin θ cos ϕ r sin θ sin ϕ r cos θ ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ r\sin \theta \cos \phi \\\ r\sin \theta \sin \phi \\\ r\cos \theta \end{bmatrix}}.} Birim vektör yardımıyla herhangi bir vektör alanı yazılabilir:
A = A x x ^ + A y y ^ + A z z ^ = A r r ^ + A θ θ ^ + A ϕ ϕ ^ {\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}} Küresel birim vektör are Kartezyen birim vektörlerle şöyle ilişkilidir:
[ r ^ θ ^ ϕ ^ ] = [ sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ − sin θ − sin ϕ cos ϕ 0 ] [ x ^ y ^ z ^ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}} Zaman içinde nasıl vektör alanı bir değişiklik bulmak için biz zaman türevinin hesaplamalıyız Kartezyen koordinatlarda bu basitçe:
A ˙ = A ˙ x x ^ + A ˙ y y ^ + A ˙ z z ^ {\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{x}\mathbf {\hat {x}} +{\dot {A}}_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}_{z}\mathbf {\hat {z}} } Ancak, küresel koordinatlarda Bu hale gelir:
A ˙ = A ˙ r r ^ + A r r ^ ˙ + A ˙ θ θ ^ + A θ θ ^ ˙ + A ˙ ϕ ϕ ^ + A ϕ ϕ ^ ˙ {\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}+{\dot {A}}_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}} Bu birim vektörlerin zaman türevleri gerekir. Bunlar tarafından verilmektedir:
r ^ ˙ = θ ˙ θ ^ + ϕ ˙ sin θ ϕ ^ θ ^ ˙ = − θ ˙ r ^ + ϕ ˙ cos θ ϕ ^ ϕ ^ ˙ = − ϕ ˙ sin θ r ^ − ϕ ˙ cos θ θ ^ {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}&={\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}&=-{\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {r}}}-{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}\end{aligned}}} zamana göre türevleri alınırsa:
A ˙ = r ^ ( A ˙ r − A θ θ ˙ − A ϕ ϕ ˙ sin θ ) + θ ^ ( A ˙ θ + A r θ ˙ − A ϕ ϕ ˙ cos θ ) + ϕ ^ ( A ˙ ϕ + A r ϕ ˙ sin θ + A θ ϕ ˙ cos θ ) {\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}({\dot {A}}_{r}-A_{\theta }{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta )+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}({\dot {A}}_{\theta }+A_{r}{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta )+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}({\dot {A}}_{\phi }+A_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A_{\theta }{\dot {\phi }}\cos \theta )}