Інтегрувальний множник (англ. integrating factor) — функція, за допомогою якої спрощують розв'язування певного рівняння із диференціалами. Інтегрувальний множник часто використовують для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь, але також використовується в аналізі функцій багатьох змінних, де множення на такий множник дозволяє неточний диференціал перевести в точний (який вже можна інтегрувати для отримання скалярного поля). Це особливо корисно в термодинаміці, де температура стає інтегрувальним множником, який робить ентропію точним диференціалом.
Використання для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь
[ред. | ред. код] Інтегрувальні множники стають у пригоді під час ров'язання звичайних диференціальних рівнянь, які можна записати в формі
![{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f547fb4f66c5d0ac5204869367a4854edb16251)
Ідея полягає у віднайдені деякої функції
, яка зветься "інтегрувальний множник," на яку ми можемо помножити наше диференціальне рівняння з тим, щоб отримати ліворуч похідну. Для лінійного диференціального рівняння в канонічній формі як наведено вище, інтегрувальний множник буде
![{\displaystyle M(x)=e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696eb952cbc141509a4a54113aa175fd57a6b5ad)
І множення на
дає
![{\displaystyle y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80450b2e9875648e8a309278e54baa907772f57a)
Використовуючи правило добутку в зворотньому напрямку, ми бачимо, що лівий бік рівняння можна виразити як одну похідну по
![{\displaystyle y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}={\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa1286e92fa0dc68040f9fe54737b101275fa53)
Ми використовуємо цей факт, щоб спростити вираз до
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da507da45d7fea23033229661a2fd588dda101f2)
Тоді ми інтегруємо обидва боки по
, спочатку через перейменування
у
, отримуємо
![{\displaystyle ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6858598d8ca8adb36a518ab4372620ce3b2bfb)
Насамкінець, ми можемо перенести показникову функцію праворуч для отримання загального розв'язку:
![{\displaystyle y=e^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+Ce^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c424439dec8b0b393d7b6f1b458f0a6d6a7df9)
У випадку однорідного диференціального рівняння, коли
, ми отримуємо
![{\displaystyle y={\frac {C}{e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44832a03408ad0169dd279178878331edced8378)
де
є сталою.
Розв'яжемо диференціальне рівняння
![{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2519160bb1d703086ff92b5e917deb44c4d13681)
Можна побачити, що в цьому випадку
![{\displaystyle M(x)=e^{\int P(x)\,dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cab6dc1583cd1ec4a2efe7ec9696e36a0f581d3)
(Зауважте, що ми не мусимо включати сталу інтегрування - нам потрібен лише розв'язок, а не загальний розв'язок)
![{\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f241a0a2a0468d8442b40f28d40101a926bc64)
Множимо на
і отримуємо
![{\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60982aace0946ad082e34f6c570908d6ec43222)
![{\displaystyle {\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7a67d6c2b5967f353f3b63d4733add62063972)
![{\displaystyle {\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f44a7c2e0dd856780ae9474801b318072fd7bdf)
![{\displaystyle {\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f3a31e4ebf57eecb7330af28f33ce0ddb1855e)
Згадуємо як брати похідну від дробу і робимо це у зворотньому напрямку
![{\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a0708192c9cd96d3489626cbc64252c3483316)
або
![{\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1478080566ed706f9fa0100b7eba498a9412d9)
що нам дає
![{\displaystyle y\left(x\right)=Cx^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e593b84a6dc4b51244e02cdbcc3ac7b97903f571)
Weisstein, Eric W. Інтегрувальний множник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.