Квазі-арифметичне середнє (середнє за Колмогоровим) для дійсних чисел
визначається як
![{\displaystyle M_{f}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\ldots +f(x_{n})}{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1346f1c341e557da431a95b5e3db60fdca01dfad)
де
— неперервна строго монотонна функція, а
— обернена функція до
.
- При
— отримуємо
— середнє арифметичне (AM), - При
— отримуємо
— середнє геометричне (GM), - При
— отримуємо
— середнє гармонійне (HM), - При
— отримуємо
— середнє квадратичне (RMS), - При
— отримуємо
— середнє степеневе.
У 1930 році А. М. Колмогоров довів, що будь-яка середня величина має вигляд функції
, якщо володіє властивостями:
- неперервна та монотонна по кожному
![{\displaystyle \ x_{i},i=1,\ldots ,n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3c9865bc4c946bd1e4b9d11fd91baaabf4cf8c)
- симетрична (значення не змінюється при перестановці аргументів)
- деяку групу значень можна замінити їх власним середнім, не міняючи спільного середнього.
Середні Колмогорова використовують в прикладній статистиці і економетриці.
|
---|
| Середнє | |
---|
| Геометрія | |
---|
| Теорія ймовірностей та мат. статистика | |
---|
| Теореми | |
---|
| Нерівності | |
---|
|