Тривимірний графік середнього логарифмічного. У математиці , середнім логарифмічним називається функція двох невід'ємних чисел , що рівна частці їх різниці та логарифма їх частки. А саме
M lm ( x , y ) = lim ( ξ , η ) → ( x , y ) η − ξ ln η − ln ξ , = { 0 x = 0 ∨ y = 0 , x x = y , y − x ln y − ln x x ≠ y ∧ x , y > 0 {\displaystyle {\begin{array}{ll}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln \eta -\ln \xi }},\\&={\begin{cases}0&x=0\ \lor \ y=0,\\x&x=y,\\{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}&x\neq y\ \land x,y>0\end{cases}}\end{array}}} Середнє логарифмічне зокрема використовується для задач теплообміну і масообміну .
x ⋅ y ≤ M lm ( x , y ) ≤ x + y 2 for all x ≥ 0 and y ≥ 0. {\displaystyle {\sqrt {x\cdot y}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ for all }}x\geq 0{\text{ and }}y\geq 0.} Ці нерівності можна отримати, наприклад, як наслідок нерівності Ерміта — Адамара . L ( x 2 , y 2 ) L ( x , y ) = x + y 2 {\displaystyle {\frac {L(x^{2},y^{2})}{L(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}} (Середнє арифметичне ) Із теореми Лагранжа
∃ ξ ∈ ( x , y ) : f ′ ( ξ ) = f ( x ) − f ( y ) x − y {\displaystyle \exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}} середнє логарифмічне є значенням ξ {\displaystyle \xi } , якщо за функцію f {\displaystyle f} взяти ln {\displaystyle \ln } :
1 ξ = ln x − ln y x − y {\displaystyle {\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln x-\ln y}{x-y}}} і звідси
ξ = x − y ln x − ln y . {\displaystyle \xi ={\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}.} Середнє логарифмічне також можна інтерпретувати як площу під експоненційною кривою :
L ( x , y ) = ∫ 0 1 x 1 − t y t d t {\displaystyle L(x,y)=\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t} ∫ 0 1 x 1 − t y t d t = ∫ 0 1 ( y x ) t x d t = x ∫ 0 1 ( y x ) t d t = x ln y x ( y x ) t | t = 0 1 = x ln y x ( y x − 1 ) = y − x ln y − ln x {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t&=&\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t\\&=&x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}|_{t=0}^{1}\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)\\&=&{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}\end{array}}}
Звідси зокрема легко отримати властивість L ( c ⋅ x , c ⋅ y ) = c ⋅ L ( x , y ) {\displaystyle L(c\cdot x,c\cdot y)=c\cdot L(x,y)} .
Середнє логарифмічне можна узагальнити на n + 1 {\displaystyle n+1} змінні розглянувши узагальнену теорему Лагранжа для розділених різниць для логарифма n {\displaystyle n} -ї похідної . Тоді можна ввести
L M V ( x 0 , … , x n ) = ( − 1 ) ( n + 1 ) ⋅ n ⋅ ln [ x 0 , … , x n ] − n {\displaystyle L_{\mathrm {MV} }(x_{0},\dots ,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}\cdot n\cdot \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]}}} де ln [ x 0 , … , x n ] {\displaystyle \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]} — розділена різниця логарифму.
Для випадку трьох змінних:
L M V ( x , y , z ) = ( x − y ) ⋅ ( y − z ) ⋅ ( z − x ) 2 ⋅ ( ( y − z ) ⋅ ln x + ( z − x ) ⋅ ln y + ( x − y ) ⋅ ln z ) {\displaystyle L_{\mathrm {MV} }(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\cdot (y-z)\cdot (z-x)}{2\cdot ((y-z)\cdot \ln x+(z-x)\cdot \ln y+(x-y)\cdot \ln z)}}}} . Узагальнення інтегралу, який дорівнює середньому логарифмічному дає інше узагальнення. Нехай S {\displaystyle S} — симплекс S = { ( α 0 , … , α n ) : α 0 + ⋯ + α n = 1 ∧ α 0 ≥ 0 ∧ … ∧ α n ≥ 0 } {\displaystyle S=\{(\alpha _{0},\dots ,\alpha _{n}):\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\ \land \ \alpha _{0}\geq 0\ \land \ \dots \ \land \ \alpha _{n}\geq 0\}} і для деякої міри d α {\displaystyle \mathrm {d} \alpha } у якій об'єм симплекса дорівнює 1, отримуємо
L I ( x 0 , … , x n ) = ∫ S x 0 α 0 ⋅ ⋯ ⋅ x n α n d α {\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha } За допомогою розділених різниць можна записати
L I ( x 0 , … , x n ) = n ! ⋅ exp [ ln x 0 , … , ln x n ] {\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=n!\cdot \exp[\ln x_{0},\dots ,\ln x_{n}]} . Для випадку трьох змінних:
L I ( x , y , z ) = − 2 ⋅ x ⋅ ( ln y − ln z ) + y ⋅ ( ln z − ln x ) + z ⋅ ( ln x − ln y ) ( ln x − ln y ) ⋅ ( ln y − ln z ) ⋅ ( ln z − ln x ) {\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x,y,z)=-2\cdot {\frac {x\cdot (\ln y-\ln z)+y\cdot (\ln z-\ln x)+z\cdot (\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)\cdot (\ln y-\ln z)\cdot (\ln z-\ln x)}}} . Середнє
Геометрія Теорія ймовірностей та мат. статистика Теореми Нерівності