Нерівність Коші—Шварца (Коші-Шварца ; англ. Cauchy–Schwarz inequality , англ. Cauchy–Schwarz–inequality ) — нерівність , що зв'язує норму та скалярний добуток векторів векторного простору .
Еквівалентно нерівності трикутника для норми в просторі зі скалярним добутком .
Знаходить застосування в лінійній алгебрі для векторів , в математичному аналізі для нескінченних рядів та інтегрування добутків та в теорії ймовірностей при застосуванні до варіації та коваріації .
Нерівність для сум було опубліковано Оґюстеном Коші (1821 ) (тому цей випадок називають — Нерівність Коші ), а відповідна нерівність для інтегралів була вперше сформульована Віктором Буняковським (1859 ) та вдруге відкрита Германом Шварцем (1888 ).
Для довільних векторів x {\displaystyle \ x} , y {\displaystyle \ y} із прегільбертового простору виконується наступна нерівність:
| ⟨ x , y ⟩ | 2 ≤ ⟨ x , x ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle } , де ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } — операція скалярного добутку , а | ⋅ | {\displaystyle \ |\cdot |} — модуль числа .
Якщо означити норму , то нерівність можна записати як:
| ⟨ x , y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ⋅ ‖ y ‖ {\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|} . Причому рівність виконується лише у випадку коли вектори x {\displaystyle \ x} , y {\displaystyle \ y} лінійно залежні .
Лінійний простір R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} [ ред. | ред. код ] Скалярний добуток векторів x = ( x 1 , x 2 , … x n ) {\displaystyle \ x=(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})} і y = ( y 1 , y 2 , … y n ) {\displaystyle \ y=(y_{1},y_{2},\ldots y_{n})} означимо за формулою
⟨ x , y ⟩ = ∑ i = 1 n x i y i {\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}} , тоді отримаємо, що для дійсних чисел x 1 , x 2 , … x n , y 1 , y 2 , … y n {\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots x_{n},y_{1},y_{2},\ldots y_{n}} виконується нерівність
( ∑ i = 1 n x i y i ) 2 ≤ ( ∑ i = 1 n x i 2 ) ( ∑ i = 1 n y i 2 ) . {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right).} у заданій формі нерівність Коші-Шварца часто використовується на математичних олімпіадах .
Лінійний простір C [ a ; b ] {\displaystyle \ C[a;b]} [ ред. | ред. код ] C [ a ; b ] {\displaystyle \ C[a;b]} — лінійний простір неперервних на відрізку C [ a ; b ] {\displaystyle \ C[a;b]} функцій.
Скалярний добуток для функцій f ( x ) , g ( x ) ∈ C [ a ; b ] {\displaystyle \ f(x),g(x)\in C[a;b]} означимо через
⟨ f ( x ) , g ( x ) ⟩ = ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \langle f(x),g(x)\rangle =\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx} , то виконуватиметься нерівність
| ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x | 2 ≤ ∫ a b | f ( x ) | 2 d x ⋅ ∫ a b | g ( x ) | 2 d x . {\displaystyle \left|\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \limits _{a}^{b}\left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \limits _{a}^{b}\left|g(x)\right|^{2}\,dx.} Для довільного λ ∈ R . {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} .} Розглянемо скалярний квадрат вектора x + λ y {\displaystyle \ x+\lambda y} :
0 ≤ ⟨ x + λ y , x + λ y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ + 2 λ ⟨ x , y ⟩ + λ 2 ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle 0\leq \langle x+\lambda y,x+\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle +2\lambda \langle x,y\rangle +\lambda ^{2}\langle y,y\rangle }
Отримуємо квадратичну нерівність λ 2 ‖ y ‖ 2 + 2 λ ⟨ x , y ⟩ + ‖ x ‖ 2 ≥ 0 {\displaystyle \lambda ^{2}\|y\|^{2}+2\lambda \langle x,y\rangle +\|x\|^{2}\geq 0} для всіх λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } . Це можливо, тоді і тільки тоді , коли її дискримінант 4 ⟨ x , y ⟩ 2 − 4 ‖ x ‖ 2 ‖ y ‖ 2 {\displaystyle 4\langle x,y\rangle ^{2}-4\|x\|^{2}\|y\|^{2}} не більший від нуля.
Звідки отримуємо ⟨ x , y ⟩ ≤ ‖ x ‖ ⋅ ‖ y ‖ {\displaystyle \langle x,y\rangle \leq \|x\|\cdot \|y\|} .
Лінійний простір R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} [ ред. | ред. код ] В лінійному просторі R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} з введеним скалярним добутком ⟨ x , y ⟩ = ∑ i = 1 n x i y i {\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}} нерівність Коші-Буняковського можна довести і по іншому, зокрема так
∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ( x i y j − x j y i ) 2 = ∑ i = 1 n x i 2 ∑ j = 1 n y j 2 + ∑ j = 1 n x j 2 ∑ i = 1 n y i 2 − 2 ∑ i = 1 n x i y i ∑ j = 1 n x j y j {\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}\left(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{j=1}^{n}y_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n}x_{j}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-2\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\sum _{j=1}^{n}x_{j}y_{j}} або після зведення однакових доданків
1 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ( x i y j − x j y i ) 2 = ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n y i 2 − ( ∑ i = 1 n x i y i ) 2 . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}.} Оскільки ліва частина останньої тотожності завжди є невід'ємною, бо є сумою квадратів, то права також приймає невід'ємні значення, звідки негайно слідує нерівність Коші-Шварца в лінійному просторі R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n y i 2 − ( ∑ i = 1 n x i y i ) 2 ≥ 0. {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\geq 0.} Найвідоміші застосування нерівності Коші-Буняковського [ ред. | ред. код ] ‖ x + y ‖ 2 = ⟨ x + y , x + y ⟩ = ‖ x ‖ 2 + ⟨ x , y ⟩ + ⟨ y , x ⟩ + ‖ y ‖ 2 ≤ ‖ x ‖ 2 + 2 | ⟨ x , y ⟩ | + ‖ y ‖ 2 ≤ ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ x ‖ ‖ y ‖ + ‖ y ‖ 2 = ( ‖ x ‖ + ‖ y ‖ ) 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\|x+y\|^{2}&=\langle x+y,x+y\rangle \\&=\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}\\&=\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2},\end{aligned}}} добувши корінь з обидвох частин, отримаємо нерівність трикутника .
Математичні олімпіади [ ред. | ред. код ] На математичних олімпіадах часто використовують наслідок з нерівності Коші-Буняковського для лінійного простору R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} :
для додатних дійсних a 1 , a 2 , … a n , b 1 , b 2 … b n {\displaystyle \ a_{1},a_{2},\ldots a_{n},b_{1},b_{2}\ldots b_{n}}
a 1 2 b 1 + a 2 2 b 2 + … + a n 2 b n ≥ ( a 1 + a 2 + … + a n ) 2 b 1 + b 2 + … + b n . {\displaystyle {\dfrac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\dfrac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+\ldots +{\dfrac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}\geq {\dfrac {(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}}.} Нерівність негайно слідує з нерівності Коші-Шварца, якщо покласти x i = a i 2 b i , y i = b i {\displaystyle x_{i}={\sqrt {\dfrac {a_{i}^{2}}{b_{i}}}},\quad y_{i}={\sqrt {b_{i}}}} .
Зокрема дану нерівність можна використати для доведення нерівності Несбіта :
з нерівностей Коші-Шварца і трьох квадратів отримуємо:
a 2 a ( b + c ) + b 2 b ( a + c ) + c 2 c ( a + b ) ≥ ( a + b + c ) 2 2 ( a b + b c + a c ) ≥ 3 2 , {\displaystyle {\dfrac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\dfrac {b^{2}}{b(a+c)}}+{\dfrac {c^{2}}{c(a+b)}}\geq {\dfrac {(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac)}}\geq {\dfrac {3}{2}},} з чого негайно слідує нерівність Несбіта.
Э. Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства . Москва: Мир. В. І. Андрійчук, Б. В. Забавський (2008). Лінійна алгебра . Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. ISBN 978-966-613-623-0 .