Рівнобедрений прямокутний трикутник Описане та вписане коло у рівнобедреному прямокутному трикутнику. Відстань між центрами кіл однакова d = r {\displaystyle d=r\,} . Рівнобедрений прямокутний трикутник і рівнобедрений трикутник з рівними описаним і вписаним колом і однаковій відстані між їх центрами d = r {\displaystyle d=r\,} . Рівнобе́дрений прямоку́тний трику́тник — це особливий випадок рівнобедреного і прямокутного трикутника , у якому внутрішній кут дорівнює 45°:
α = β = 45 ∘ = π 4 , {\displaystyle \alpha =\beta =45^{\circ }={\frac {\pi }{4}}\!\,,} третій внутрішній кут є прямим :
γ = 180 ∘ − 2 α = 90 ∘ = π 2 , {\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\!\,,} так що внутрішні кути відносяться як 1 : 1 : 2 .
Бічні сторони трикутника дорівнюють:
a = b = c 2 2 , {\displaystyle a=b={\frac {c{\sqrt {2}}}{2}}\!\,,} основа дорівнює:
c = a 2 , {\displaystyle c=a{\sqrt {2}}\!\,,} тому сторони відносяться як 1 : 1 : √2 . Бічні сторони є катетами , основа є гіпотенузою .
Чотири таких трикутники утворюють квадрат , у яких основа така ж, як квадрат площі. Якщо основа дорівнює діагоналі квадрата, то квадрат складається з двох таких трикутників.
Висота , проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині:
v c = a 2 2 = c 2 = R , {\displaystyle v_{c}={\frac {a{\sqrt {2}}}{2}}={\frac {c}{2}}=R\!\,,} де R — радіус описаного кола .
У евклідовій геометрії трикутники з такими внутрішніми кутами є єдиними можливими трикутниками, які є одночасно прямокутними і рівнобедреними. У сферичній та гіперболічній геометрії існує нескінченно багато форм прямокутного рівнобедреного трикутника .
Периметр рівнобедреного прямокутного трикутника:
P = a + b + c = a ( 2 + 2 ) . {\displaystyle P=a+b+c=a(2+{\sqrt {2}})\!\,.} Площа рівнобедреного прямокутного трикутника:
S = a 2 2 = c 2 4 . {\displaystyle S={\frac {a^{2}}{2}}={\frac {c^{2}}{4}}\!\,.} Площу рівнобедреного прямокутного трикутника можна подати за допомогою формули Герона :
S = p ( p − a ) 2 ( p − a 2 ) , {\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)^{2}(p-a{\sqrt {2}})}}\!\,,} де p — півпериметр рівнобедреного прямокутного трикутника:
p = P 2 = a ( 1 + 2 2 ) . {\displaystyle p={\frac {P}{2}}=a\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!\,.} Загальні характеристики [ ред. | ред. код ] Описане і вписане коло [ ред. | ред. код ] Рівнобедрений прямокутний трикутник, як і всі трикутники, є біцентричним . У ньому:
r {\displaystyle r\!\,} R {\displaystyle R\!\,} a {\displaystyle a\!\,} c {\displaystyle c\!\,} R ( 2 − 1 ) = a 2 ( 2 − 2 ) = c 2 ( 2 − 1 ) {\displaystyle R\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {a}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)={\frac {c}{2}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\!\,} r 2 − 1 = a 2 2 = c 2 {\displaystyle {\frac {r}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {c}{2}}\!\,} 2 r 2 − 2 = R 2 = c 2 2 {\displaystyle {\frac {2r}{2-{\sqrt {2}}}}=R{\sqrt {2}}={\frac {c}{2}}{\sqrt {2}}\!\,} 2 r 2 − 1 = 2 R = a 2 {\displaystyle {\frac {2r}{{\sqrt {2}}-1}}=2R=a{\sqrt {2}}\!\,}
Тут r — радіус вписаного кола , R — радіус описаного кола, a — довжина катетів та c — довжина основи рівнобедреного прямокутного трикутника.
Відстань між центрами вписаного та описаного кіл d дорівнює радіусу вписаного кола r і дається рівнянням Ейлера :
d 2 = R ( R − 2 r ) = a 2 2 ( 3 − 2 2 ) {\displaystyle d^{2}=R(R-2r)={\frac {a^{2}}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)\!\,} d = r = a 2 ( 2 − 2 ) = a 1 2 ( 3 − 2 2 ) ≈ 0 , 2928932 a . {\displaystyle d=r={\frac {a}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)}}\approx 0,2928932\,a\!\,.} Рівнобедрений трикутник, що має те саме описане і вписане коло і однакову відстань між їх центрами ( d = r {\displaystyle d=r\,} ), має кути:
α = β = a r c t g 4 − 2 2 8 2 − 11 ≈ 72 , 968751 ∘ , {\displaystyle \alpha =\beta =\operatorname {arc\,tg} {\frac {4-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}{\sqrt {8{\sqrt {2}}-11}}}}\approx 72,968751^{\circ }\!\,,} γ = 180 ∘ − 2 α ≈ 34 , 062496 ∘ . {\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha \approx 34,062496^{\circ }\!\,.} Теорема Піфагора для рівнобедреного прямокутного трикутника [ ред. | ред. код ] Квадрат гіпотенузи дорівнює подвоєнному квадрату катета:
c 2 = 2 a 2 {\displaystyle c^{2}=2a^{2}}
Види трикутників Чудові лінії в трикутнику Чудові точки трикутника Основні теореми Додаткові теореми Узагальнення Інше