Трикутник із сторонами a , b й c . Фо́рмула Геро́на дозволяє визначити площу трикутника S {\displaystyle S} за даними довжинами його сторін a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} і c {\displaystyle c} .
S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) {\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}} , де p = a + b + c 2 {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}\,} — половина периметру трикутника або півпериметр.
Також, розписуючи вираз під коренем і використовуючи формули для квадрата двочлена і різниці квадратів, можна одержати еквівалентні варіанти формули:
S = 1 4 ( a + b + c ) ( − a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}} S = 1 4 2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}} S = 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}} S = 1 4 4 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}} S = 1 4 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 . {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.} Доведення (тригонометричне) [ ред. | ред. код ] Візьмемо широко відому формулу обчислення площі трикутника: S = 1 2 a b ⋅ sin γ {\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }} , де γ {\displaystyle \ \gamma } — кут трикутника, що лежить навпроти сторони c {\displaystyle c} .
Згідно з теоремою косинусів c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos γ {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma } . Звідси cos γ = a 2 + b 2 − c 2 2 a b {\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab}} .
Тому sin 2 γ = 1 − cos 2 γ = ( 1 − cos γ ) ( 1 + cos γ ) = {\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}
= 2 a b − a 2 − b 2 + c 2 2 a b ⋅ 2 a b + a 2 + b 2 − c 2 2 a b = c 2 − ( a − b ) 2 2 a b ⋅ ( a + b ) 2 − c 2 2 a b = {\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}=} = 1 4 a 2 b 2 ( c − a + b ) ( c + a − b ) ( a + b − c ) ( a + b + c ) {\displaystyle ={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)} . Оскільки справедливі рівності a + b + c = 2 p {\displaystyle a+b+c=2p} , a + b − c = 2 p − 2 c {\displaystyle a+b-c=2p-2c} , a + c − b = 2 p − 2 b {\displaystyle a+c-b=2p-2b} , c − a + b = 2 p − 2 a {\displaystyle c-a+b=2p-2a} , отримуємо, що
sin γ = 2 a b p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) . {\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.} Таким чином, S = 1 2 a b sin γ = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) {\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}} .
Доведення (геометричне) [ ред. | ред. код ] Ілюстрація до доведення формули Герона за допомогою зовнівписаного кола Нехай дано трикутник A B C {\displaystyle ABC} , w 1 {\displaystyle w_{1}} та w 2 {\displaystyle w_{2}} — вписане та зовнівписане (яке дотикається до сторони B C {\displaystyle BC} ) коло відповідно, I {\displaystyle I} — центр вписаного кола w 1 {\displaystyle w_{1}} (інцентр, точка перетину бісектрис), I a {\displaystyle I_{a}} — центр зовнівписаного кола w 2 {\displaystyle w_{2}} (точка перетину внутрішньої та двох зовнішніх бісектрис).
Нехай K {\displaystyle K} — точка дотику вписаного кола до сторони A B {\displaystyle AB} , а T {\displaystyle T} — точка дотику зовнівписаного кола до продовження сторони A B {\displaystyle AB} . Тоді I K = r {\displaystyle IK=r} — радіус вписаного кола w 1 {\displaystyle w_{1}} , I a T = r a {\displaystyle I_{a}T=r_{a}} — радіус зовнівписаного кола w 2 {\displaystyle w_{2}} , і нехай p = a + b + c 2 {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}} — півпериметр трикутника A B C {\displaystyle ABC} ..
З властивостей вписаного та зовнівписаних кіл відомо, що A K = p − a {\displaystyle AK=p-a} , K B = p − b {\displaystyle KB=p-b} , B T = p − c {\displaystyle BT=p-c} , a A T = p {\displaystyle AT=p} , причому I K ⊥ A B {\displaystyle IK\perp AB} та I a T ⊥ A B {\displaystyle I_{a}T\perp AB} .
Звідси маємо, що трикутники A I K {\displaystyle AIK} та A I a T {\displaystyle AI_{a}T} подібні (як прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом ∠ I A K {\displaystyle \angle IAK} ). Тому A K A T = I K I a T {\displaystyle {\frac {AK}{AT}}={\frac {IK}{I_{a}T}}} , тобто p − a p = r r a {\displaystyle {\frac {p-a}{p}}={\frac {r}{r_{a}}}} . Звідси r a ( p − a ) = p r = S {\displaystyle r_{a}(p-a)=pr=S} .
Знайдемо кут ∠ B I a T {\displaystyle \angle BI_{a}T} . Оскільки △ B I a T {\displaystyle \bigtriangleup BI_{a}T} — прямокутний, то ∠ B I a T = 90 ∘ − ∠ I a B T {\displaystyle \angle BI_{a}T=90^{\circ }-\angle I_{a}BT} . За побудовою B I a {\displaystyle BI_{a}} — бісектриса кута ∠ C B T = 180 ∘ − ∠ B {\displaystyle \angle CBT=180^{\circ }-\angle B} (як зовнішній кут), а тому ∠ I a B T = ∠ C B T 2 = 180 ∘ − ∠ B 2 = 90 ∘ − ∠ B 2 {\displaystyle \angle I_{a}BT={\frac {\angle CBT}{2}}={\frac {180^{\circ }-\angle B}{2}}=90^{\circ }-{\frac {\angle B}{2}}} . Звідси ∠ B I a T = ∠ B 2 {\displaystyle \angle BI_{a}T={\frac {\angle B}{2}}} .
Але також ∠ B I K = ∠ B 2 {\displaystyle \angle BIK={\frac {\angle B}{2}}} , оскільки B I {\displaystyle BI} — бісектриса кута ∠ B {\displaystyle \angle B} . Отримали, що трикутники B I a T {\displaystyle BI_{a}T} та B I K {\displaystyle BIK} подібні (як прямокутні за рівними гострими кутами). Тому I a T B K = B T I K {\displaystyle {\frac {I_{a}T}{BK}}={\frac {BT}{IK}}} , тобто r a p − b = p − c r {\displaystyle {\frac {r_{a}}{p-b}}={\frac {p-c}{r}}} . Звідси r a r = ( p − b ) ( p − c ) {\displaystyle r_{a}r=(p-b)(p-c)} .
З рівностей r a ( p − a ) = p r = S {\displaystyle r_{a}(p-a)=pr=S} одержимо, що S 2 = p ( p − a ) r a r {\displaystyle S^{2}=p(p-a)r_{a}r} . Замінивши r a r {\displaystyle r_{a}r} по вище доведеній формулі r a r = ( p − b ) ( p − c ) {\displaystyle r_{a}r=(p-b)(p-c)} , одержимо остаточно S 2 = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) {\displaystyle S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c)} , або, що те саме, S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) {\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}} .
Варіації й узагальнення [ ред. | ред. код ] Формулу Герона можна записати за допомогою визначника у вигляді[1] : − 16 S 2 = | 0 a 2 b 2 1 a 2 0 c 2 1 b 2 c 2 0 1 1 1 1 0 | = | a b c 0 b a 0 c c 0 a b 0 c b a | {\displaystyle -16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}} Перший визначник останньої формули є окремим випадком визначника Келі — Менгера [en] для обчислення гіпероб'єму симплекса . Низка формул для площі трикутника подібні за структурою до формули Герона, але виражається через інші параметри трикутника. Наприклад, через довжини медіан m a {\displaystyle m_{a}} , m b {\displaystyle m_{b}} и m c {\displaystyle m_{c}} і їх півсуму σ = ( m a + m b + m c ) / 2 {\displaystyle \sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2} [2] : S = 4 3 σ ( σ − m a ) ( σ − m b ) ( σ − m c ) {\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}} ; через довжини висот h a {\displaystyle h_{a}} , h b {\displaystyle h_{b}} и h c {\displaystyle h_{c}} і півсуму їх обернених величин H = ( h a − 1 + h b − 1 + h c − 1 ) / 2 {\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2} [3] : S − 1 = 4 H ( H − h a − 1 ) ( H − h b − 1 ) ( H − h c − 1 ) {\displaystyle S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}} ; через кут трикутника α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } і γ {\displaystyle \gamma } , півсуму їх синусів s = ( sin α + sin β + sin γ ) / 2 {\displaystyle s=(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )/2} і діаметр описаного кола D = a sin α = b sin β = c sin γ {\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}} [4] : S = D 2 s ( s − sin α ) ( s − sin β ) ( s − sin γ ) . {\displaystyle S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma )}}.} Формула Герона — Тартальї [ ред. | ред. код ] Для тетраедрів існує формула Герона — Тартальї , узагальнена також на випадок інших багатогранників (згинаний многогранник ): якщо в тетраедра довжини ребер рівні l 1 , l 2 , l 3 , l 4 , l 5 , l 6 {\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}} , то для його об'єму V {\displaystyle V} істинний вираз:
144 V 2 = l 1 2 l 5 2 ( l 2 2 + l 3 2 + l 4 2 + l 6 2 − l 1 2 − l 5 2 ) + l 2 2 l 6 2 ( l 1 2 + l 3 2 + l 4 2 + l 5 2 − l 2 2 − l 6 2 ) + l 3 2 l 4 2 ( l 1 2 + l 2 2 + l 5 2 + l 6 2 − l 3 2 − l 4 2 ) − l 1 2 l 2 2 l 4 2 − l 2 2 l 3 2 l 5 2 − l 1 2 l 3 2 l 6 2 − l 4 2 l 5 2 l 6 2 {\displaystyle {\begin{aligned}144V^{2}=\;\;&l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})\\+&l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})\\+&l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})\\-&l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}\end{aligned}}} . Формулу Герона — Тартальї можна виписати для тетраедра в явному вигляді: якщо U {\displaystyle U} , V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} , u {\displaystyle u} , v {\displaystyle v} , w {\displaystyle w} — довжини ребер тетраедра (перші три з них утворюють трикутник; і, наприклад, ребро u {\displaystyle u} протлежне ребру U {\displaystyle U} і так далі), то справедливі формули[5] [6] :
V = ( − a + b + c + d ) ( a − b + c + d ) ( a + b − c + d ) ( a + b + c − d ) 192 u v w {\displaystyle {\text{V}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}} де: a = x Y Z b = y Z X c = z X Y d = x y z X = ( w − U + v ) ( U + v + w ) x = ( U − v + w ) ( v − w + U ) Y = ( u − V + w ) ( V + w + u ) y = ( V − w + u ) ( w − u + V ) Z = ( v − W + u ) ( W + u + v ) z = ( W − u + v ) ( u − v + W ) {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W)\end{aligned}}} . За теоремою Люїльє площа сферичного трикутника виражається через його сторони θ a = a R , θ b = b R , θ c = c R {\displaystyle \theta _{a}={\frac {a}{R}},\theta _{b}={\frac {b}{R}},\theta _{c}={\frac {c}{R}}} как:
S = 4 R 2 arctg tg ( θ s 2 ) tg ( θ s − θ a 2 ) tg ( θ s − θ b 2 ) tg ( θ s − θ c 2 ) {\displaystyle S=4R^{2}\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}} , де θ s = θ a + θ b + θ c 2 {\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}} — півпериметр. Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a , b , c , d і півпериметр p дорівнює
S = ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) . {\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.} У цьому випадку трикутник виявляється граничним випадком уписаного чотирикутника при прямуванні довжини однієї зі сторін до нуля. Та ж формула Брахмагупти через визначник[7] :
S = 1 4 − | a b c − d b a − d c c − d a b − d c b a | {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}}}} ↑ Weisstein, Eric W. Heron's Formula. [Архівовано 5 вересня 2015 у Wayback Machine .] From MathWorld--A Wolfram Web Resource. ↑ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, « Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326. ↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, " Mathematical Gazette 89, November 2005, 494. ↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines, " Mathematical Gazette 93, March 2009, 108—109. ↑ W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [1] [Архівовано 27 червня 2013 у Wayback Machine .] , pp. 16-17. ↑ Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132 ↑ Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39 Види трикутників Чудові лінії в трикутнику Чудові точки трикутника Основні теореми Додаткові теореми Узагальнення Інше
Основні поняття Формули і співвідношення Пов'язані теми