Мал. 1. Побудова цисоїди. Синя і червона лінії — гілки цисоїди. Цисоїда Діокла — плоска алгебрична крива третього порядку. В декартовій системі координат , де вісь абсцис спрямована за O X {\displaystyle OX} , а вісь ординат за O Y {\displaystyle OY} на відрізку O A = 2 a {\displaystyle OA=2a} , як на діаметрі будується допоміжне коло . В точці A {\displaystyle A} проводиться дотична U V {\displaystyle UV} . З точки O {\displaystyle O} проводиться довільна пряма O F {\displaystyle OF} , яка перетинає коло в точці E {\displaystyle E} і дотичну в точці F {\displaystyle F} . Від точки F {\displaystyle F} у напрямку точки O {\displaystyle O} , відкладається відрізок F M {\displaystyle FM} , довжина якого дорівнює довжині відрізка O E {\displaystyle OE} . При обертанні лінії O F {\displaystyle OF} навколо точки O {\displaystyle O} , точка M {\displaystyle M} описує лінію, яка називається цисоїда Діокла . Дві гілки цієї лінії на мал. 1 показані синім і червоним кольорами.
Рівняння цисоїди в прямокутній системі координат записується так:
y 2 = x 3 2 a − x . ( 1 ) {\displaystyle y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}.\qquad \qquad (1)} Рівняння цисоїди в полярній системі координат:
ρ = 2 a sin 2 φ cos φ . {\displaystyle \rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi }}.} Іноді рівняння цисоїди в полярній системі координат записують так:
ρ = 2 a ( 1 − cos 2 φ ) cos φ = {\displaystyle \rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi }}=} = 2 a ( 1 cos φ − cos φ ) = {\displaystyle =2a\left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\cos \varphi \right)=} = 2 a ( sec φ − cos φ ) . {\displaystyle =2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).} Параметричне рівняння цисоїди:
x = 2 a u 2 1 + u 2 , {\displaystyle x={\frac {2au^{2}}{1+u^{2}}},} y = 2 a u 3 1 + u 2 , {\displaystyle y={\frac {2au^{3}}{1+u^{2}}},} де
u = t g φ {\displaystyle u=\mathrm {tg} \,\varphi } . Вперше цисоїду досліджував грецький математик Діокл у II столітті до н. е. Діокл будував криву так: знаходиться точка P {\displaystyle P} , розташована на допоміжному колі симетрично точці E {\displaystyle E} ; вісь симетрії — діаметр B D {\displaystyle BD} . З точки P {\displaystyle P} проводиться перпендикуляр до осі абсцис. Точка M {\displaystyle M} , що належить цисоїді, знаходиться на перетині цього перпендикуляра і прямої O E {\displaystyle OE} . Цим методом Діокл побудував тільки криву D O B {\displaystyle DOB} всередині допоміжного кола. Якщо цю частину цисоїди ( D O B {\displaystyle DOB} ) замкнути дугою кола E A D {\displaystyle EAD} , то виходить фігура, що нагадує своєю формою листок плюща . Грецькою плющ — χισσος («хіссос»), від чого й походить назва кривої — «цисоїда».
В сучасному вигляді цисоїду відтворив французький математик Жиль Роберваль [ru] у 1640 році . Пізніше цисоїду також досліджував голландський математик Слюз [ru] .
Цисоїда симетрична відносно осі абсцис. Цисоїда перетинає допоміжне коло в точках B {\displaystyle B} і D {\displaystyle D} , які належать діаметру цього кола. Цисоїда має один касп і асимптоту U V {\displaystyle UV} , рівняння якої: x = 2 a {\displaystyle x=2a} , де a {\displaystyle a} — радіус допоміжного кола. Цисоїда є евольвентою параболи з каспом у вершині параболи. При цьому директриса параболи є асимптотою цисоїди.[1] Площа між цисоїдою і асимптотою [ ред. | ред. код ] Ця площа дорівнює:
S 1 = 3 π a 2 . {\displaystyle S_{1}=3\pi a^{2}.} Виведення
Площа, охоплена гілками цисоїди K O L {\displaystyle KOL} і асимптотою U V {\displaystyle UV} S 1 {\displaystyle S_{1}} . Рівняння верхньої гілки O L {\displaystyle OL} :
y = x 3 2 a − x . ( 2 ) {\displaystyle y={\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}.\qquad \qquad (2)} Половина площі, укладеної між цисоїдою і асимптотою, дорівнює інтегралу від рівняння (2) в межах від 0 до 2 a {\displaystyle 2a} :
1 2 S 1 = ∫ 0 2 a x 3 2 a − x d x . ( 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}=\int \limits _{0}^{2a}{\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}\,dx.\qquad \qquad (3)} Підстановка:
u 2 = 2 a − x , x = 2 a − u 2 , d x = − 2 u d u . {\displaystyle u^{2}=2a-x,\qquad x=2a-u^{2},\qquad dx=-2u\,du.} Межі інтегрування:
x = 0 ⇒ u = 2 a , x = 2 a ⇒ u = 0. {\displaystyle x=0\Rightarrow u={\sqrt {2a}},\qquad x=2a\Rightarrow u=0.} Інтеграл (3) перетворюється до вигляду:
1 2 S 1 = − 2 ∫ 2 a 0 ( 2 a − u 2 ) 3 d u = {\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}=-2\int \limits _{\sqrt {2a}}^{0}{\sqrt {(2a-u^{2})^{3}}}\,du=} = − 2 ( u 8 ( 10 a − 2 u 2 ) 2 a − u 2 + 3 a 2 2 arcsin u 2 a ) | 2 a 0 = 3 π a 2 2 . {\displaystyle =\left.-2\left({\frac {u}{8}}(10a-2u^{2}){\sqrt {2a-u^{2}}}+{\frac {3a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {u}{\sqrt {2a}}}\right)\right|_{\sqrt {2a}}^{0}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.} Отже:
1 2 S 1 = 3 π a 2 2 . {\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.} S 1 = 3 π a 2 . {\displaystyle S_{1}=3\pi a^{2}.} Об'єм тіла обертання [ ред. | ред. код ] Об'єм ( V 1 {\displaystyle V_{1}} ) тіла, утвореного при обертанні гілки O L {\displaystyle OL} навколо осі абсцис, розраховується так:
V 1 = π ∫ 0 2 a x 3 2 a − x d x = {\displaystyle V_{1}=\pi \int \limits _{0}^{2a}{\frac {x^{3}}{2a-x}}\,dx=} = π ∫ 0 2 a ( − x 2 − 2 a x − 4 a 2 + 8 a 3 2 a − x ) d x = {\displaystyle =\pi \int \limits _{0}^{2a}\left(-x^{2}-2ax-4a^{2}+{\frac {8a^{3}}{2a-x}}\right)\,dx=} = − 44 π a 3 3 − 8 π a 3 ( ln ( 2 a − x ) ) | 0 2 a . {\displaystyle =\left.-{\frac {44\pi a^{3}}{3}}-8\pi a^{3}(\ln(2a-x))\right|_{0}^{2a}.} Якщо x → 2 a {\displaystyle x\to 2a} , то ln ( 2 a − x ) → − ∞ {\displaystyle \ln(2a-x)\to -\infty } , тобто V 1 → ∞ {\displaystyle V_{1}\to \infty } .