多重完全數

多重完全數（multiply perfect number）為一數學名詞，是一種廣義的完全數。

針對一自然數k，自然數n為k重完全數的充份必要條件是n所有正因數的和（即除數函數，σ(n)）等於n的k倍，此定義下，完全數的除數函數為本身的2倍，因此是2重完全數。不論k的數值為何，k重完全數都屬於多重完全數。至2004年7月為止．已經找到k為11的多重完全數。

可以證明：

• 針對一質數p，若n為p重完全數且p無法整除n，則pn為(p+1)重完全數。因此可推得若整數n3重完全數，可被2整除但不能可被4整除，其充份必要條件是n/2需為奇數的完全數，至2012年12月為止，尚未發現任何奇數的完全數。
• 若3n為4k重完全數，且3無法整除n，則n為3k-重完全數。

以下列出k <= 7時，各k值最小的k重完全數（OEIS數列A007539）：

例如，120的除數函數滿足以下的關係：

1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360 = 3 × 120.

120的除數函數為120的三倍，因此為3重完全數：

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• Ryan, Richard F. A simpler dense proof regarding the abundancy index. Math. Mag. 2003, 76 (4): 299–301. JSTOR 3219086. MR 1573698. 
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• Ward, Jeffrey. Does ten have a friend?. arXiv:0806.1001 . 

• The Multiply Perfect Numbers page （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Prime Glossary: Multiply perfect numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆）