希尔伯特空间

在数学裡，希尔伯特空间（英語：Hilbert space）即完备的内积空间，也就是一個帶有內積的完備向量空間。內積的構造推廣了欧几里得空间的距离和角的概念；完備則確保了其上所有的柯西序列會收敛到此空間裡的一點，从而微积分中的許多概念都可以推广到希尔伯特空间中。

希尔伯特空间为基于任意正交坐标系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。另外希尔伯特空间也是量子力学的重要數學基礎之一。

简介

希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名，他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。冯·诺伊曼在其1929年出版的关于无界自伴算子的著作中^[1]，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。冯·诺伊曼可能是最早清楚地认识到希尔伯特空间的重要性的数学家之一，他在进行对量子力学的基础性和创造性地研究的时候认识到了这一点。此项研究由冯·诺伊曼与希尔伯特^[2]和朗道展开，随后由尤金·维格纳（Eugene Wigner）继续深入。“希尔伯特空间”这个名字迅速被其他科学家所接受，例如在外尔1931年出版的著作《群与量子力学的理论》^[3]（The Theory of Groups and Quantum Mechanics）中就使用了这一名词。

一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。在实际应用中，它可能代表了一列複數或是一个函数。例如在量子力学中，一个物理系统可以表示为一个複希尔伯特空间，其中的向量是描述系统可能状态的波函数。详细的资料可以参考量子力学的数学表述相关的内容。量子力学中由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为装备希尔伯特空间（rigged Hilbert space）

在所有的无穷维拓扑向量空间中，希尔伯特空间性质最好，也最接近有限维空间的情形。例如

酉群（unitary group）的表示论。
平方可积的随机过程理论。
偏微分方程的希尔伯特空间理论，特别是狄利克雷问题。
函数的谱分析及小波分析。
量子力学的数学描述。

傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基底函数的和（可能是无穷和）。这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基底中的元素或其倍数的和。

定义

若在複（或實）内积空间 $H$ 取值的柯西序列，都收斂於 $H$ 內的某個向量，那 $H$ 就被稱為是希尔伯特空间，也就是說

希爾伯特空間的定義 — $H$ 是個複（或實）內積空間，若其上的向量序列 ${\{v_{i}\in H\}}_{i\in \mathbb {N} }$ 滿足（注意 $d(v,\,w):=\|v-w\|={\sqrt {\langle v-w,\,v-w\rangle }}$ ，詳請參見内积空间#范数）

「對所有的正實數

\epsilon >0

，存在正整數

n\in \mathbb {N}

使所有的正整數

i,\,j\in \mathbb {N}

，只要有

i,\,j>n

就有

d(v_{i},\,v_{j})<\epsilon

」

時，就存在向量 $v\in H$ ，使得

「對所有的正實數

\epsilon >0

，存在正整數

n\in \mathbb {N}

使所有的正整數

i,\in \mathbb {N}

，只要有

i>n

就有

d(v_{i},\,v)<\epsilon

」

這時稱 $H$ 就被稱為複（或實）希尔伯特空间（Hilbert space）。

例子

欧几里得空间

$\mathbb {C} ^{n}$ 及其上的内积

\langle x,y\rangle =\sum _{k=1}^{n}{\overline {x_{k}}}y_{k}

构成了一个複希尔伯特空间（其中短横线表示一个複數的复共轭。），因為 $\mathbb {C} ^{n}$ 本身就是定義在域 $(\mathbb {C} ^{n},+,\times )$ 上的 $n$ 維向量空间，但有限維內積空間必完備，故 $\mathbb {C} ^{n}$ 是個複希尔伯特空间。

序列空间

更一般的希尔伯特空间都是无穷维的，假设 $B$ 是一个任意集合，可以定义其上的 $\ell ^{2}$ 序列空间，记为

\ell ^{2}(B)=\left\{x:B\rightarrow \mathbb {C} \,{\bigg |}\,\sum _{b\in B}\left|x\left(b\right)\right|^{2}<\infty \right\}

此空间在定义如下内积后，成为一个希尔伯特空间：

\langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}{\overline {x(b)}}y(b)

其中 $x$ 和 $y$ 是 $\ell ^{2}(B)$ 中的任意元素。在这个定义中， $B$ 并非一定要是可数的，在 $B$ 不可数之情形下， $\ell ^{2}(B)$ 不是可分（separable）的。在下面更具体的例子中，所有的希尔伯特空间在选定适当的 $B$ 的情况下，都可以表示成为 $\ell ^{2}(B)$ 的一个同构空间。特别地，当 $B=\mathbb {(} N)$ 的时候，可以将其简单记为 $\ell ^{2}$ 。

勒贝格空间

勒贝格空间( 這裡指 $L^{2}(X)$ 空間 )是指定義在测度空间 $(X,{\mathcal {M}},\mu )$ 上的函数空间，其中 $X$ 代表函數的定義域， ${\mathcal {M}}$ 的元素是 $X$ 上的子集族，為一個 $\sigma$ 代数，一般把 ${\mathcal {M}}$ 稱作可測空間(measurable space)，而 $\mu$ 是 ${\mathcal {M}}$ 上的测度。

更仔細的說， $L^{2}(X,\mu )$ ( 簡寫做 $L^{2}(X)$ ) 表示 $X$ 上所有平方可积（square-integrable）的複數值的可测函数的集合。平方可积表示该函数的绝对值的平方的积分是有限的。要注意的是在 $L^{2}(X)$ 空間裡，對於几乎处处( almost everywhere )相同的函数，也就是說如果兩函數只在一个测度为0的集合上不相等，我們把這兩函數當做在 $L^{2}(X)$ 中相同的元素。

此时两个函数 $f$ 和 $g$ 的内积定義为

\langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\ d\mu (t)

因為 $f,g\in L^{2}(X)$ ，所以這內積的定義沒有問題。

但需要证明的是：

此空间在此内积下是完备的。

这个证明可以在相关的书籍中找到，与此例相关的内容可以参看关于 $L^{p}$ 空间的著作。

索伯列夫空间

索伯列夫空间一般表示为 $H^{s}$ 或者 $W^{s,2}$ 是希尔伯特空间的另一个重要实例，它多被应用于偏微分方程的研究。

基本性質

有限維必完備

定理 — 有限维内积空间都是希尔伯特空间

證明
若複內積空間 $V$ 為 $N$ 維，那根據格拉姆-施密特正交化，存在一列向量： $\{e_{1},\,e_{2},\,\ldots ,\,e_{N}\}$ 為 $V$ 的正交基底，現在假設 ${\{v_{i}\in V\}}_{i\in \mathbb {N} }$ 是柯西序列，換句話說：「對所有的正實數 $\epsilon >0$ ，存在正整數 $n\in \mathbb {N}$ 使所有的正整數 $i,\,j\in \mathbb {N}$ ，只要有 $i,\,j>n$ 就有 $d(v_{i},\,v_{j})<\epsilon$ 」這樣，對每個正整數 $i\in \mathbb {N}$ 存在唯一的一組複數 $z_{i1},\,z_{i2},\,\ldots ,\,z_{iN}\in \mathbb {C}$ 使得 $v_{i}=\sum _{k=1}^{N}z_{ik}\cdot e_{k}$ 這樣根據内积空间的勾股定理有 ${[d(v_{i},\,v_{j})]}^{2}=\sum _{k=1}^{N}{\|z_{ik}-z_{jk}\|}^{2}<\epsilon ^{2}$ 取 $x_{ik}=\operatorname {Re} (z_{ik})$ 和 $y_{ik}=\operatorname {Im} (z_{ik})$ ，則有 $\sum _{k=1}^{N}{\|z_{ik}-z_{jk}\|}^{2}=\sum _{k=1}^{N}{\|x_{ik}-x_{jk}\|}^{2}+\sum _{k=1}^{N}{\|y_{ik}-y_{jk}\|}^{2}<\epsilon ^{2}$ 所以 ${\|x_{ik}-x_{jk}\|}<\epsilon$ ${\|y_{ik}-y_{jk}\|}<\epsilon$ 這樣的話，對每個正整數 $k\in \mathbb {N}$ ，实数数列 ${\{x_{ik}\in \mathbb {R} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 和 ${\{y_{ik}\in \mathbb {R} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 是柯西數列，這樣根據实数完备性，存在唯一的 $x_{k}\in \mathbb {R}$ 和 $y_{k}\in \mathbb {R}$ 使得 $\lim _{i\to \infty }x_{ik}=x_{k}$ $\lim _{i\to \infty }y_{ik}=y_{k}$ 那這樣根據數列極限的定義，對每個正整數 $k\in \mathbb {N}$ ，和所有的正實數 $\epsilon >0$ ，存在正整數 $n_{1},\,n_{2},\,\ldots ,\,n_{2N}\in \mathbb {N}$ 使所有的正整數 $i\in \mathbb {N}$ ，只要有 $i>\max\{n_{1},\,n_{2},\,\ldots ,\,n_{2N}\}$ 就有 ${\|x_{ik}-x_{k}\|}<{\frac {\epsilon }{\sqrt {2N}}}$ ${\|y_{ik}-y_{k}\|}<{\frac {\epsilon }{\sqrt {2N}}}$ 這樣的話，取 $z_{k}=x_{k}+iy_{k}$ 和 $v=\sum _{k=1}^{N}z_{k}\cdot e_{k}$ 會有 ${[d(v_{i},\,v)]}^{2}=\sum _{k=1}^{N}{\|x_{ik}-x_{k}\|}^{2}+\sum _{k=1}^{N}{\|y_{ik}-y_{k}\|}^{2}<\epsilon ^{2}$ 換句話說： $\lim _{i\to \infty }v_{i}=v$ 這樣就證明了 $V$ 裡的柯西序列必然收斂於 $V$ 裡的向量，故 $V$ 為希爾伯特空間。 $\Box$

內積為連續函數

$H$ 是個複希爾伯特空間， $v\in H$ 為某向量則：

函数 $f(h)=\langle v,h\rangle \;(h\in H)$ 為 $\tau _{H}$ - $\tau _{\mathbb {R} }$ 连续
函数 $f(h)=\langle h,h\rangle \;(h\in H)$ 為 $\tau _{H}$ - $\tau _{\mathbb {R} }$ 连续

證明

在希爾伯特空間 $H$ 中，若序列 ${x n}$ 滿足對任意的 $v \in H$ , 都有

\lim _{n}\langle x_{n},v\rangle =\langle x,v\rangle ,

則稱該序列弱收斂（英语：Weak topology#Weak convergence）到向量 $x \in H .$

例如，任何正交序列 ${f n}$ 都弱收斂到 0. 此為贝塞尔不等式的結果。根據一致有界原理，每個弱收斂序列 ${x n}$ 都有界。

反之，希爾伯特空間中的每個有界序列，都有一個弱收斂子序列，此謂巴拿赫-阿拉奧盧定理。^[4] 這可用作證明某些連續凸泛函的最小值的存在性，正如波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理適用於 $ℝ d$ 上的連續函數。一個較簡單的結果是：^[5]

若

f : H \to ℝ

為凸的連續函數，使得當

‖ x ‖

趨向於

\infty

時，就有

f (x)

趨向於

+\infty

，則

f

在某點

x 0 \in H

取得最小值。

此個結論（並其若干推廣）是变分法中直接法（英语：direct direct method in the calculus of variations）的基礎。更抽象地說，凸泛函的最小值存在，也是因為希爾伯特空間 $H$ 上的閉有界凸集均為弱緊集（因為 $H$ 是自反空間）。弱收斂子序列的存在性是 Eberlein–Šmulian theorem（英语：Eberlein–Šmulian theorem）的特殊情況。

帕塞瓦尔恒等式（勾股定理）

在希爾伯特空間 $H$ 中，若兩支向量 $u$ 和 $v$ 滿足 $⟨ u, v ⟩ = 0$ ，則稱它們正交，記為 $u ⊥ v$ . 更一般地，若 $S$ 是 $H$ 的子集，則 $u ⊥ S$ 表示 $u$ 與 $S$ 的每個元素都正交。

當 $u$ 和 $v$ 正交時，就有

\|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\,\operatorname {Re} \langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}\,.

對 $n$ 使用數學歸納法，上式可以推廣到對任意 $n$ 支正交向量 $u 1, ..., u n$ 成立，即

\|u_{1}+\cdots +u_{n}\|^{2}=\|u_{1}\|^{2}+\cdots +\|u_{n}\|^{2}\,.

畢達哥拉斯恆等式對每個內積空間都成立，但希爾伯特空間具有完備性，故此恆等式可推廣到對級數成立。一列正交向量組成的級數 $\sum u k$ 在 $H$ 中收斂當且僅當各項範數平方組成的級數收斂，且此時

\left\|\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }\left\|u_{k}\right\|^{2}\,.

此外，正交向量的級數和與求和順序無關。

平行四邊形恆等式和極化恆等式

由定義，每個希爾伯特空間都是巴拿赫空間。而在每個希爾伯特空間中，以下平行四邊形恆等式成立:

\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2\left(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}\right)\,.

反之，若一個巴拿赫空間滿足平行四邊形恆等式，則其亦為希爾伯特空間，因為它的內積可由極化恆等式唯一確定。^[6] 對實希爾伯特空間，極化恆等式是

\langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)\,.

而對複希爾伯特空間，其為

\langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2}\right)\,.

由平行四邊形恆等式，可以推出任何希爾伯特空間都是一致凸巴拿赫空間（英语：uniformly convex space）。^[7]

投影定理

最佳逼近

根據希爾伯特射影定理（英语：Hilbert projection theorem），若 $C$ 是希爾伯特空間 $H$ 的非空閉凸子集， $x$ 為 $H$ 的任一點，則存在唯一的 $y \in C$ 使其到 $x$ 的距離是各個 $C$ 中的點到 $x$ 的距離中最小的，即^[8]

y\in C\,,\quad \|x-y\|=\operatorname {dist} (x,C)=\min\{\|x-z\|:z\in C\}\,.

此等價於經平移的凸集 $D = C - x$ 中有範數最小的元素。欲證之，可先證明對每個序列 $(d n) \subset D$ ，若各項範數趨向於 $D$ 中範數的下確界，則其為柯西序列（利用平行四邊形恆等式），故由完備性知其收斂到 $D$ 的某點。此結論對任意一致凸巴拿赫空間均適用。^[9]

當對 $H$ 的閉子空間 $F$ 應用此結論時，可以證明最靠近 $x$ 的點 $y \in F$ 滿足^[10]

y\in F\,,\quad x-y\perp F\,.

該點 $y$ 稱為 $x$ 到 $F$ 上的 正交射影 ，而這給出的映射 $P F : x \mapsto y$ 是線性的。此結論於應用數學有用，而數值分析尤甚，因這結論是最小二乘法的基礎。 ^[11]

特別到，當 $F$ 不等於 $H$ 時，可找到一支非零向量 $v$ 與 $F$ 正交（選 $x \notin F$ 並考慮 $v = x - y$ ）。由此得到一個有用的判定條件：

H

的子集

S

線性生成一個稠密的子空間當且僅當向量

0

是

H

中與

S

正交的唯一向量。

對偶性

对偶空间 $H *$ 是所有由 $H$ 到其系數域的連續線性函數組成的空間。其具有一個自然的範數，由下式給出：

\|\varphi \|=\sup _{\|x\|=1,x\in H}|\varphi (x)|\,.

這滿足平行四邊形恆等式，故對偶空間亦為一個內積空間。同時它也是完備的，所以希爾伯特空間的對偶空間也是希爾伯特空間。

里斯表示定理描述了這個對偶空間。對每個 $H$ 的元素 $u$ ， $H *$ 中有唯一的 $φ u$ 滿足

\varphi _{u}(x)=\langle x,u\rangle \,.

則 $u \mapsto φ u$ 是從 $H$ 到 $H *$ 的反线性映射。里斯表示定理說此映射是個反線性同構。 ^[12] 所以對每個 $H *$ 的元素 $φ$ ，都存在唯一的 $u φ \in H$ 使得

\langle x,u_{\varphi }\rangle =\varphi (x)

對任意 $x \in H$ 都成立。對偶空間 $H *$ 上的內積滿足

\langle \varphi ,\psi \rangle =\langle u_{\psi },u_{\varphi }\rangle \,.

注意右邊的次序反轉了，才使 $u φ$ 的反線性變回上述內積對 $φ$ 的線性。當 $H$ 是實希爾伯特空間時，從 $H$ 到其對偶的反線性同構實際上是一般的同構，所以實希爾伯特空間自然地與其對偶同構。

表示 $φ$ 的向量 $u φ$ 可藉下列方法找到。當 $φ \neq 0$ 時，核 $F = Ker(φ)$ 是 $H$ 的閉子空間，且不等於 $H$ ，故存在非零向量 $v$ 與 $F$ 正交。取向量 $u$ 為 $v$ 的純量倍 $λv$ ，於是條件 $φ (v) = ⟨ v, u ⟩$ 給出

u=\langle v,v\rangle ^{-1}\,{\overline {\varphi (v)}}\,v\,.

物理學上廣泛應用的狄拉克符号正利用了 $φ \leftrightarrow u$ 的對應關係。物理學家通常約定，內積 $⟨ x | y ⟩$ 對右邊的運算元線性，即

\langle x|y\rangle =\langle y,x\rangle \,.

於是 $⟨ x | y ⟩$ 可以視為線性泛函 $⟨ x |$ （稱為左矢）作用在向量 $| y ⟩$ （稱為右矢）的結果。

里斯表示定理要求空間的完備性。事實上，從定理可知任意內積空間的拓撲對偶都與其完備化空間同構。作為里斯表示定理的直接推論，希爾伯特空間 $H$ 是自反空间, 即由 $H$ 到其對偶之對偶的自然映射是同構。