有序交換群 此條目没有列出任何参考或来源。 (2024年6月16日)維基百科所有的內容都應該可供查證。请协助補充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除。 定義[编辑] 有序交換群係指一對 ( Γ , > ) {\displaystyle (\Gamma ,>)} ,其中 Γ {\displaystyle \Gamma } 為交換群, > {\displaystyle >} 為其上的一個二元關係,且滿足如下條件: 若 a < 0 {\displaystyle a<0} ,則 − a > 0 {\displaystyle -a>0} 。 若 a , b > 0 {\displaystyle a,b>0} ,則 a + b > 0 {\displaystyle a+b>0} 。 另一種等價的描述是:給定一個子集 Γ + ⊂ Γ {\displaystyle \Gamma _{+}\subset \Gamma } ,使得 Γ + {\displaystyle \Gamma _{+}} 對加法封閉,且 Γ = Γ + ∪ { 0 } ∪ − Γ + {\displaystyle \Gamma =\Gamma _{+}\cup \{0\}\cup -\Gamma _{+}} 。 若對於每個 x ∈ Γ {\displaystyle x\in \Gamma } 都存在 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 使得 n ⋅ 1 > x {\displaystyle n\cdot 1>x} ,則稱 ( Γ , > ) {\displaystyle (\Gamma ,>)} 滿足阿基米德性質。 範例與基本性質[编辑] 由上述公理可推出:對於每個 x ∈ Γ , x ≠ 0 {\displaystyle x\in \Gamma ,x\neq 0} 都有 x 2 > 0 {\displaystyle x^{2}>0} 。 Z , R , R ∗ {\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{*}} 都是有序交換群且滿足阿基米德性質。 若 ( Γ , > 1 ) , ( Γ 2 , > 2 ) {\displaystyle (\Gamma ,>_{1}),(\Gamma _{2},>_{2})} 為有序交換群,則 Γ 1 × Γ 2 {\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}} 配合其字典序也構成一個有序交換群。 ( Γ , > ) {\displaystyle (\Gamma ,>)} 滿足阿基米德性質的充要條件是它可以嵌入 ( R , + ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,+)} 。 參見[编辑] 序理論 環 查论编抽象代数相关主题代数结构 · 群 · 环 · 域 · 有限域 · 本原元 · 格 · 逆元 · 等价关系 · 代數中心 · 同态 · 同构 · 商结构(商系统) · 同构基本定理 · 自由對象群论群幺半群 · 半群 · 阿贝尔群 · 非阿贝尔群 · 循環群 · 有限群 · 单群 · 半单群 · 典型群 · 自由群 · 幂零群 · 可解群 · p-群 · 对称群 · 李群 · 伽罗瓦群 · 商群 · 置换群 · 有限生成阿貝爾群子群陪集 · 交换子群(交換子) · 双陪集 · 共轭类 · 正规子群 · 群中心 · 中心化子和正规化子 · 稳定子群群同態群同構 · 群同態相關定理拉格朗日定理 · 西羅定理 · 波利亞計數定理其他阶 · 群擴張 · 群表示 · 群作用 · 合成列環論环子環 · 整环 · 除环 · 多项式环 · 素环 · 商环 · 諾特環 · 局部環 · 賦值環 · 環代數 · 理想 · 主理想环 · 唯一分解整環 · 群環模深度 · 單模 · 自由模 · 平坦模 · 阿廷模 · 諾特模其他幂零元 · 特征 · 完備化 · 環的局部化域論域有限域 · 原根 · 代数闭域 · 局部域 · 分裂域 · 分式環域扩张单扩张 · 有限扩张 · 超越扩张 · 代数扩张 · 正规扩张 · 可分扩张 · 伽罗瓦扩张 · 阿贝尔扩张 · 伽罗瓦理论基本定理